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Surface

Surface

Il existe de nombreuses acceptions au mot surface, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, souvent abusivement confondu avec sa mesure - l'aire ou la superficie.

Homonymies

- Surface réglée
- Surface au sol Ne pas confondre surface et superficie (ou aire), l'objet et sa mesure.

Notion de surface

En mathématiques, une surface dans un espace de dimension n est un ensemble de points de cet espace décrit par un système de ( n - 2 ) équations à n variables. On distingue entre :
- surfaces planes, quand le système d'équations est linéaire ou affine;
- et surfaces gauches dans les autres cas. Une surface peut être :
- orientable; dans ce cas, elle comporte deux faces. :
- Si la surface est ouverte, il est possible de passer d'une face à l'autre sans traverser la surface. :
- Si la surface est fermée, elle sépare l'espace en deux zones correspondant aux deux faces, l' intérieur et l' extérieur, et il faut traverser la surface pour passer d'une zone à l'autre.
- non-orientable; dans ce cas elle ne comporte qu'une seule face, ce qui défie a priori le sens commun. Elle peut avoir un bord ( exemple : ruban de Möbius ) ou non (exemple : bouteille de Klein ). On peut aussi rencontrer des surfaces connexes, convexes, ... En physique, la notion de surface a deux sens voisins :
- d'une part, la surface propre d'un objet désigne sa limite, sa frontière avec le reste de l'univers;
- d'autre part, la surface de contact entre deux objets ou, plus généralement, deux milieux différents, désigne la frontière commune à ces deux objets ou milieux.
- Un objet est rigide quand sa forme, donc celle de sa surface, ne peut être modifiée; on peut parler dans ce cas de l' état de surface de l'objet.
- Quand on parle de la surface d'un liquide, l' eau par exemple, il faut distinguer entre sa surface propre et sa surface libre, qui est la portion de sa surface totale en contact avec un gaz (l' air en général) ou le vide.
- Un gaz n'a pas de surface définie, sauf s'il est en contact avec un solide ou un liquide. En géographie, une surface est une portion de terrain délimitée par une frontière ou des ...limites

Mesures de surface

Voir l'article Superficie.

Voir aussi

- Dioptre
- Surface spécifique
- Surface minimale catégorie:Géographie catégorie:Géométrie Catégorie:Surface catégorie:Physico-chimie des interfaces ja:表面

Superficie

als:Fläche ko:면적 ja:面積 simple:Area th:พื้นที่ L'aire ou la superficie est la dimension d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette dimension par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un carré » alors qu'il faudrait parler de son aire). Le terme aire (du bas latin aera espace plan) est utilisé en mathématiques. Le terme superficie est utilisé principalement pour des terrains (superficie d'un jardin, d'un champ) et s'exprime (dans le système international d'unités) en mètres carrés (m²). Mesures du système métrique :
- are (1 a = 100 m²)
- hectare (1 ha = 10 000 m²)
- kilomètre carré (1 km² = 1 000 000 m²) Autres mesures :
- acre ou arpent

Calcul de l'aire

Le calcul d'aire est un large domaine des mathématiques allant de l'aire de surfaces usuelles jusqu'au calcul intégral. Le calcul de l'aire pour des figures géométriques élémentaires est simple. Les polygones plus complexes peuvent se découper en triangles, et l'on peut alors calculer l'aire de chaque triangle : : en géométrie euclidienne, l'aire d'un triangle est le produit de la longueur de sa base par sa hauteur, divisé par deux. Lorsqu'il s'agit d'une surface délimitée par une courbe, on fait une approximation de cette courbe par un polygone et l'on applique la méthode ci-dessus pour avoir une approximation de l'aire ; si cette courbe peut s'exprimer par une fonction, il suffit de calculer l'intégrale de cette fonction.

Exemples

- Carré de côté a : a²
image:geometrie_carre.png Donc l'aire vaut AD x AB = BA x BC = BC x CD = DA x DC

- Rectangle de largeur l et de longueur L : l x L
image:geometrie_rectangle.png Donc l'aire vaut AD x AB = BA x BC = BC x CD = DA x DC

- Triangle de base b et de hauteur h : (b x h) / 2
image:Triangle-hauteur.png Donc l'aire vaut (CD x AB) / 2

- Losangle de diagonale a et b: 1/2 x a x b
image:geometrie_losange.png Donc l'aire vaut 1/2 x AC x BD

- Parallélogramme de base b et de hauteur h : b x h
image:parallelograme-hauteur.png Donc l'aire vaut AB x AH = DC x AH

- Trapèze de petite base b, de grande base B et de hauteur H: 1/2 x (b + B) x H
image:trapeze-hauteur.png Donc l'aire vaut 1/2 x (AB + DC) x AH

- Cercle de rayon r : π x r²
Image:Cercle.png

- Ellipse de demi-axe a et b : a x b x π
image:Cometes trajectoires 5.png

Voir aussi

- Liste des pays par superficie
- Surface spécifique catégorie:Géométrie catégorie:physico-chimie des interfaces Catégorie:Quantité physique

Surface réglée

Catégorie:Géométrie En géométrie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe une droite contenue dans la surface. On peut obtenir une surface réglée en prenant l'union d'une famille de droites dépendant d'un paramètre. Les droites contenues dans une surface réglée sont appelées les génératrices. surface Un plan est donc une surface réglée évidente, mais on peut en trouver bien d'autres :
- le cône, dont toutes les génératricees passent par le sommet ;
- le cylindre, dont les génératrices sont parallèles ;
- le paraboloïde hyperbolique ;
- l'hyperboloïde à une nappe ;
- le ruban de Möbius ;
- les conoïdes

Mathématique

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Bouteille de Klein

En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Elle est étroitement liée au ruban de Möbius et à des plongements du plan projectif réel tels que la surface de Boy.

Construction

La bouteille de Klein n'est pas réalisable dans

\mathbb R^3

, car il faut alors qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est exacte. Dans

\mathbb R^4

, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection.

Visualisation

Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort mental moins important que ce que l'on pourrait croire. Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersections qu'il voit, mais que la courbe passe « dessus » et « dessous ». Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud. Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension, il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe « dessus » et « dessous » au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas. On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un « nœud ». En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.

Propriétés

- La bouteille de Klein est la somme connexe de deux espaces projectifs réels.
- En la coupant en deux par rapport à un plan de symétrie, on obtient deux fois un ruban de Möbius.
- Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.
- Ses nombres de Betti non nuls sont

b_0=1

b_1=1

.
- Son nombre chromatique est 6.
- Sa constante de powershmit-gradski vaut (2.2
- ln(2.2))^2.2

Lien externe

- [http://www.mathcurve.com/surfaces/klein/klein.shtml Équations et représentations de bouteilles de Klein] Catégorie:Surface Catégorie:Topologie ja:クラインの壺

Convexité

En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. Cette notion concrète a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe. Le terme convexe est également utilisé :
- en optique. Voir à ce sujet l’article sur les lentilles.
- en finance. Voir à ce sujet l’article sur le gamma.

Ensemble convexe

On désigne ici par E un espace vectoriel réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E.
- Quels que soient x et y éléments de E, on appelle segment d'extrémités x, y le sous-ensemble de E ainsi défini : :

[x, y] = \

- Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tous x et y dans C,

[x,\, y] \subset C

; la partie vide est convexe.

Propriétés élémentaires

- Soit C un sous-ensemble convexe de E. :Si

x_1,\, \dots,\, x_p

sont des points de

\ C

t_1,\, \dots,\, t_p

des réels positifs ou nuls tels que

t_1 + \cdots + t_p = 1

, alors la combinaison linéaire (dite convexe)

t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p

est un point de C.
- L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E.

Enveloppe convexe

Étant donnée une partie quelconque A de E, il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A, à savoir E lui-même ; on peut alors définir l'enveloppe convexe

\mathrm(A)

de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A. C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A, caractérisé par les deux propriétés suivantes :
-

\ \mathrm(A)

est convexe et

A \subset \mathrm(A)

;
- si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors

\ \mathrm(A) \subset C

. Si x, y sont deux points de E, l'enveloppe convexe de la paire est le segment [x, y].

Exemples

- Les sous-ensembles convexes de l'ensemble

\R

des nombres réels sont les intervalles de

\ \R

.
- Étant donnés n intervalles

\ I_1,\, \dots, \, I_n

\ \R

, leur produit cartésien

\ I_1 \times \cdots \times I_n

est un sous-ensemble convexe de

\ \R^n

.
- Dans un espace vectoriel (réel ou complexe), tout sous-espace vectoriel est convexe ; il en est de même de tout sous-espace affine.
- Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'elle soit ouverte ou fermée.

Projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert

Soit H un espace de Hilbert de dimension finie ou infinie ; par définition, H est un espace vectoriel (réel ou complexe) normé complet dont la norme est définie par un produit scalaire.

Théorème et définition

Étant donné un sous-ensemble convexe fermé non vide C de H, il existe, pour tout x de H, un élément unique

p_C(x)

de C tel que : :

|| x - p_C(x)\, || = \min_ || x - y\, ||

. Le vecteur

p_C(x)

est appelé projeté de x sur C.

Fonction convexe (d'une variable réelle)

- En analyse, une fonction f d’un intervalle I vers

\mathbb

est dite convexe si, pour tous x et y de I et tout t dans [0, 1] on a : :

f(t\, x+(1-t)\, y) \leq t\, f(x)+(1-t)\, f(y)

:Cela signifie que pour tous x et y de I, le segment

\ [A, B]

\ \R^2

, où

\ A = (x ; f(x))

\ B = (y ; f(y))

:est situé au-dessus de la courbe représentative de f.
- On dit que la fonction f est concave si la fonction opposée est convexe. :Cela équivaut à : pour tous x et y de I et tout t dans [0, 1] on a : :

f(t\, x+(1-t)\, y) \geq t\, f(x)+(1-t)\, f(y)

.
- La fonction f est dite strictement convexe sur I si : :quels que soient les éléments x et y distincts dans I et t compris entre 0 et 1 exclus, on a : :

\ f(t\, x+(1-t)\, y) < t\, f(x)+(1-t)\, f(y)

.
- On dit que la fonction f est strictement concave si la fonction opposée est strictement convexe. :Cela équivaut à : quels que soient les éléments x et y distincts dans I et t compris entre 0 et 1 exclus, on a : :

f(t\, x+(1-t)\, y) > t\, f(x)+(1-t)\, f(y)

. Remarque : on montre aisément ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe (ou concave) #La fonction f est convexe sur I si et seulement si

\ \

est un sous-ensemble convexe de

\ \R^2

. #La fonction f est concave sur I si et seulement si

\ \

est un sous-ensemble convexe de

\ \R^2

Inégalités de convexité

- Toute fonction f convexe sur I vérifie l'inégalité suivante (qu'on démontre par récurrence sur l'entier p): :Si

x_1,\, \dots,\, x_p

sont des points de

I

t_1,\, \dots,\, t_p

des réels positifs ou nuls tels que

t_1 + \cdots + t_p = 1

, alors : :

f(t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p) \leq t_1\, f(x_1) + \cdots + t_p\, f(x_p)

:(lorsque f est strictement convexe, l'inégalité est stricte dès que les

x_i

ne sont pas tous égaux et que les

t_i

sont tous non nuls).
- Toute fonction f concave sur I vérifie l'inégalité suivante : :Si

x_1,\, \dots,\, x_p

sont des points de

I

t_1,\, \dots,\, t_p

des réels positifs ou nuls tels que

t_1 + \cdots + t_p = 1

, alors : :

f(t_1\, x_1 + \cdots + t_p\, x_p) \geq t_1\, f(x_1) + \cdots + t_p\, f(x_p)

:(lorsque f est strictement concave, l'inégalité est stricte dès que les

x_i

ne sont pas tous égaux et que les

t_i

sont tous non nuls). Nota : on utilise souvent ces inégalités avec des coefficients tous égaux :

t_1 = \dots = t_p = \frac

Régularité des fonctions convexes

Pour toute fonction f convexe sur un intervalle ouvert I, on démontre que
- f est continue en tout point ;
- f est dérivable à gauche et à droite en tout point, et les fonctions

\ f\,'_g\,,\, f\,'_d

sont croissantes sur I ;
- l'ensemble des points x où f n'est pas dérivable (c'est-à-dire tels que

\ f\,'_g(x) \neq  f\,'_d(x)

) est au plus dénombrable.

Cas des fonctions continues

- Une fonction f continue sur I est convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x et y de I : :

f\left(\frac\right) \leq \frac

(respectivement : concave, ≥).
- Une fonction f continue sur I est strictement convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x et y distincts dans I : :

f\left(\frac\right) < \frac

(respectivement : strictement concave, >).

Cas des fonctions dérivables

On dispose des caractérisations suivantes :
- Une fonction f dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si sa courbe représentative est "au-dessus" (respectivement : "au-dessous") de chacune de ses tangentes.
- Une fonction f dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si sa dérivée est croissante (respectivement : décroissante) sur I.
- Une fonction f dérivable sur I est strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I si et seulement si sa dérivée est strictement croissante (respectivement : strictement décroissante) sur I.

Corollaire

- Une fonction f deux fois dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si

f

(x) \geq 0 (respectivement : $f$ (x) \leq 0) pour tout

x \in I

.
- Une fonction f deux fois dérivable sur I est strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I si et seulement si

f

(x) \geq 0 (respectivement : $f$ (x) \leq 0) pour tout

x \in I

et l'ensemble des x tels que

\ f

(x) = 0 est d'intérieur vide.
Remarque
En particulier, pour qu'une fonction f deux fois dérivable sur I soit strictement convexe (respectivement : strictement concave) sur I, il suffit que $\ f$ (x) > 0 (respectivement :

\ f

(x) < 0) pour tout $x \in I$ ; mais cette condition n'est pas nécessaire.
Exemples

- La fonction $\ \R \to \R,\, x \mapsto |x|$ est convexe (mais pas strictement)
- La fonction $\ \R \to \R,\, x \mapsto x^2$ est strictement convexe
- La fonction $\ \R \to \R,\, x \mapsto \exp$ est strictement convexe
- La fonction $\ \R^ - _+ \to \R,\, x \mapsto \ln$ est strictement concave.
- La fonction $\ \R \to \R,\, x \mapsto x^2 + 2\, \cos x$ est strictement convexe Justification : pour la valeur absolue, cela résulte de l'inégalité triangulaire. Pour les 4 autres fonctions, on utilise la dérivée seconde ; en particulier, la dernière a pour dérivée seconde la fonction $\ \R \to \R,\, x \mapsto 2\, (1 - \cos x)$ : elle est partout à valeurs positives ou nulles, et l'ensemble des points où elle s'annule est l'ensemble (noté $\ 2\, \pi\, \mathbb$ ) des multiples de $\ 2\, \pi$ : il est d'intérieur vide (les seuls intervalles non vides qu'il contient sont réduits à un point).
Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique
Étant donnés n réels strictement positifs $x_1,\, \dots,\, x_n$ , on définit leur moyenne arithmétique $\ m_a$ et leur moyenne géométrique $\ m_g$ : : $m_a = \frac\, (x_1 + \cdots + x_n)$ et $m_g = \sqrt[n\,]$ . Il est classique que :
- $m_g \leq m_a$ .
- $\ m_g = m_a$ si et seulement si les $\ x_i$ sont tous égaux. On démontre habituellement cela à l'aide d'une inégalité de convexité. Démonstration Comme $\ m_g > 0$ et $\ m_a > 0$ , $m_g \leq m_a$ équivaut (par croissance stricte du logarithme) :à $\ln(m_g) \leq \ln(m_a)$ , :ou à $\frac\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac\right)$ . :Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave), et aux coefficients (tous égaux) $t_1 = \dots = t_n = \frac$ . Le cas d'égalité résulte de ce que le logarithme népérien est strictement concave. Catégorie:Mathématiques

Physique

zh-min-nan:Bu̍t-lí-ha̍k als:Physik ko:물리학 ms:Fizik ja:物理学 simple:Physics th:ฟิสิกส์ La physique (du grec φυσικη) est la science de la Nature dans son sens le plus large.

Généralités

Les physiciens observent, mesurent et modélisent le comportement et les interactions de la matière à travers l'espace et le temps (définis comme « phénomènes physiques »).
- Les théories, bien établies ou non, contiennent des lois exprimées sous forme d'équations mathématiques, mais, comme toutes les théories scientifiques, ou n'importe quelles autres théories, ces théories et leurs lois peuvent être remises en cause dès qu'une expérience ne rentre pas parfaitement dans le cadre de ces lois.
- L'effort du physicien consiste à rendre le monde et tous ses aspects observables – et donc mesurables – toujours plus rationnels. Or ce n'est qu'à travers une observation approfondie d'un phénomène que l'on peut l'analyser et essayer de le comprendre, le saisir et, en quelque sorte, le transcrire.
- Approcher la compréhension d'un phénomène, un fait du réel, signifie donc expliciter les mécanismes et lois sous-jacentes qui le régissent.
- Le point de départ de la physique est donc une expérience du réel : la physique est avant tout une science expérimentale ; la physique est également une activité qui mène à une analyse théorique du fait expérimental observé. Les mathématiques sont le langage rationnel dans lequel s'expriment de façon concise et élégante les modèles des phénomènes observés.
- La physique possède une dimension esthétique : les meilleures théories sont les plus simples, le rôle du théoricien est d'arriver à une épure où l'inutile n'a pas lieu d'être. Ce qui se comprend bien, s'énonce simplement. Un formalisme mathématique adapté et qui manifeste cette forme d'esthétisme est capable d'aboutir à des prévisions, c'est-à-dire que le calcul théorique peut précéder et être vérifié par l'observation expérimentale.
- Dans ce cas, la théorie est prédictive et de ce fait validée et intègre un vaste corpus de connaissances, magma dans lequel se forgent de nouveaux concepts et de nouveaux modèles toujours plus pertinents.
- La physique trouve sa limite et son permanent renouveau naît dans l'impossibilité évidente d'atteindre un état de connaissance parfait et sans faille du réel. En effet, le phénomène, ce fait du réel qui se manifeste à nous, ne peut coïncider avec le modèle dont se revendique toute théorie physique.
- L'histoire de la physique est riche en rebondissements, en révolutions. Une expérience vient toujours mettre en défaut les « croyances » que l'on croyait à tort comme abouties, par méconnaissance de cette non-limite. Ce qui progresse quotidiennement en physique est une sorte de résolution, de finesse, avec laquelle est saisi, à l'image d'un peintre, le modèle qui se présente aux yeux de l'artiste. Cependant, le modèle ne peut se confondre avec la réalité mais juste y tendre. Le peintre surréaliste belge Magritte exprime cette limite dans son célèbre tableau, La trahison des images, où il représente une pipe et précise : Ceci n'est pas une pipe. On pourra aussi retenir l'idée d'Albert Einstein sur le travail du physicien: faire de la physique c'est comme émettre des théories sur le fonctionnement d'une horloge sans jamais pouvoir l'ouvrir.
- Le travail du physicien existe depuis toujours dans l'histoire de l'humanité dès lors qu'elle s'est mise en quête de techniques. La roue et le levier sont les premières machines que l'on ait inventées : sciences et techniques sont étroitement liées.
- Cependant, c'est par l'effort de rationalité des penseurs grecs et, par la suite, le perfectionnement des mathématiques, que la physique a pu révéler sa profondeur conceptuelle et sa portée philosophique. Le principal moteur du progrès matériel, que ce soit pour le meilleur ou pour le pire, n'est autre que la physique et ses nombreuses extensions dans tous les champs du monde réel.
- Les sciences physiques sont bien sûr en relation avec d'autres sciences, en particulier la chimie, science des molécules et des composés chimiques. La chimie et la physique partagent de nombreux domaines, tels que la mécanique quantique, la thermodynamique et l'électromagnétisme.
- Toutefois, les phénomènes chimiques sont suffisamment vastes et variés pour que la chimie soit généralement considérée comme une discipline à part entière.
- La science est souvent en conflit avec les religions du fait que la première n'admet pas de dogme et ne cherche d'explications aux phénomènes de la Nature qu'elle observe (car c'est seulement de cela que la science s'occupe) que dans la Nature elle même. Nombreux sont les scientifiques qui ont eu le statut d'hérétiques. La science ne prétend cependant pas (ou plus) être le seul moyen d'accéder à une connaissance utile. Elle reconnaît la légitimité d'autres moyens de quête de la connaissance et s'est distancée du scientisme de ses débuts.

La recherche en physique

Théorie et expérience

La culture de la recherche en physique présente une différence notable avec celle des autres sciences en ce qui concerne la séparation entre théorie et expérience. Depuis le , la majorité des physiciens sont spécialisés soit en physique théorique, soit en physique expérimentale. En revanche, presque tous les théoriciens renommés en chimie ou en biologie sont également des expérimentateurs. En première approche, les théoriciens tentent de développer des théories qui expliquent les résultats expérimentaux existants tandis que les expérimentateurs conçoivent et exécutent des expériences pour tester les prédictions théoriques. La simulation numérique occupe une place très importante dans la recherche en physique et ce depuis les débuts de l'informatique. Elle permet en effet la résolution approchée de problèmes mathématiques qui ne peuvent pas être traités analytiquement. Beaucoup de théoriciens sont aussi des numériciens.

Principales théories

Bien que la physique s'intéresse à une grande variété de systèmes, certaines théories ne peuvent être rattachées qu'à la physique dans son ensemble et non à l'un de ses domaines. Chacune de ces théories est supposée juste, dans un certain domaine de validité ou d'applicabilité. Par exemple, la théorie de la mécanique classique (ou newtonienne) décrit fidèlement le mouvement d'un objet, pourvu que ses dimensions soit bien plus grandes que celles d'un atome et que sa vitesse soit bien inférieure à la vitesse de la lumière et que l'objet ne soit pas trop proche d'une masse importante et que celui-ci soit dépourvu de charge. Les théories anciennes comme par exemple la mécanique newtonienne sont encore des sujets de recherche notamment dans l'étude des phénomènes complexes (exemple : la théorie du chaos). Elles constituent la base de toute recherche en physique et tout étudiant en physique, quelle que soit sa spécialité, est censé acquérir les bases de chacune d'entre elles. ! Théorie !! Grands domaines !! Concepts |- | Mécanique newtonienne | Cinématique - Lois du mouvement de Newton - Mécanique analytique - Mécanique des fluides - Mécanique du point - Mécanique du solide - Transformation de Galilée - Mécanique des milieux continus | Dimension - Espace - Temps - Longueur - Vitesse - Vitesse relative - Masse - Moment cinétique - Force - Énergie - Moment angulaire - Couple - Loi de conservation - Oscillateur harmonique - Onde - Travail - Puissance |- | Électromagnétisme | Electrostatique - Électricité - Magnétisme-Équations de Maxwell | Charge électrique - Courant électrique - Champ électrique - Champ magnétique - Champ électromagnétique - Onde électromagnétique |- | Physique statistique et Thermodynamique | Machine thermique - Théorie cinétique des gaz | Constante de Boltzmann - Entropie - Énergie libre - Chaleur - Fonction de partition - Température |- | Mécanique quantique | Intégrale de chemin - Équation de Schrödinger - Théorie quantique des champs | Hamiltonien - Particules identiques - Constante de Planck - Oscillateur harmonique quantique - Fonction d'onde - Énergie de point zéro |- | Théories de la relativité | Relativité galiléenne - Relativité restreinte - Relativité générale | Principe d'équivalence - Quadrivecteur - Référentiel - Espace-temps - Vitesse de la lumière - Vitesse relative |{{fr{fr{fr{fr{fr{fr{en{portail physique

Eau

L'eau (que l'on peut aussi appeler oxyde de dihydrogène, hydroxide d'hydrogène ou acide hydroxique) est un composé chimique simple. Sa formule chimique est H₂O, c'est-à-dire que chaque molécule d'eau se compose d'un atome d'oxygène entre deux atomes d'hydrogène. L'eau lourde est un composé formé d'un atome d'oxygène et de deux atomes de deutérium, qui est un isotope de l'hydrogène (oxyde de deutérium, D₂O). À pression ambiante, l'eau est gazeuse au-dessus de 100 °C, solide en dessous de 0 °C, et liquide dans les conditions ambiantes de température et de pression. C'est là une particularité essentielle : les autres composés proches ou apparentés, (sulfure d'hydrogène, ammoniac, et méthane par exemple), sont tous gazeux à des températures bien plus basses. L'eau se trouve presque partout sur la Terre et est un composé essentiel pour tous les organismes vivants connus. Ainsi, et par construction des êtres vivants, l'eau est pour eux (sauf exception très notable) incolore, insipide, inodore, etc. Près de 70 % de la surface de la Terre est recouverte d'eau, essentiellement sous forme d'océans. Une étendue d'eau peut être un océan, une mer, un lac, un étang, un fleuve, une rivière, un ruisseau, un canal (voir Les ressources en eau sur Terre pour plus de détails). La circulation de l'eau au sein des différents compartiments terrestres est décrite par son cycle biogéochimique.

Étymologie

Du latin aqua ([http://hera.crdp.ac-aix-marseille.fr/journal/mediter1/etymol.htm plus de détails...]).

Origine de l'eau

Articles détaillés : Origine de l'eau sur la Terre et Origine de la molécule d'eau. Selon la conception actuelle,
- L'hydrogène est produit très tôt dans l'histoire de l'univers, c'est le premier atome formé (Cf. big bang)
- L'oxygène est le produit un peu plus tardif de réaction de fusion thermonucléaire au sein de certaines étoiles.
- Ces deux atomes se combinent assez facilement pour former l'eau.
- Lorsque la terre s'est formée, l'eau était une des molécules présente en quantité importante (comme dans les météorites)

Physique de l'eau

météorite L'état solide de l'eau est la glace ; l'état gazeux est la vapeur (d'eau). L'état de l'eau dépend des conditions de pression P et de température T. Il existe une situation unique (P,T) dans laquelle l'eau coexiste sous les trois formes solide, liquide, et gazeux ; cette situation est appelée « point triple de l'eau », elle a lieu lorsque
- la température vaut 273,16 K (0,01 °C) et
- la pression 611,2 Pa. Les unités de température (anciennement les degrés Celsius, maintenant les kelvins) sont définis grâce à ce point triple de l'eau. La vélocité du son dans l'eau est de 1 500 m/s dans les conditions ambiantes de température et de pression. La masse de 1 cm³ d'eau à la température de 4 °C est sensiblement de 1 g. Par approximation, on prend pour masse volumique de l'eau dans les conditions normales la valeur de 1 000 kg/m³, une tonne par mètre cube soit un kilogramme par litre. La chaleur massique de l'eau est de 4186 J/(kg·K) dans les conditions ambiantes de température et de pression. L'eau était utilisée comme étalon de chaleur dans d'anciens systèmes d'unité : la calorie (et la frigorie) quantifiait la chaleur à apporter (resp. soustraire) pour augmenter (resp. réduire) d'un degré Celsius la température d'un gramme d'eau : soit 4,185 joules. Les chimistes se réfèrent parfois en blaguant à l'eau avec un nom savant (et justifié) comme du monoxyde de dihydrogène dans des parodies de recherche scientifique sérieuse qui présentent ce produit comme mortellement dangereux et à bannir. Tableau 1:

Chimie de l'eau

La nature dipolaire de l'eau

parodie Une propriété très importante de l'eau est sa nature polaire. La molécule d'eau forme un angle au niveau de l'atome d'oxygène entre les deux atomes d'hydrogène. Puisque l'oxygène a une électronégativité plus forte que l'hydrogène, le côté de la molécule d'eau où se trouve l'atome d'oxygène est chargé négativement, par comparaison avec le côté hydrogène. Une molécule avec une telle différence de charge est appelée un dipôle (molécule polaire). Cette différence de charge fait que les molécules d'eau s'attirent les unes les autres, le côté positif de l'une attirant le côté négatif d'une autre. Un tel lien électrique entre deux molécules s'appelle un pont hydrogène ou liaison hydrogène. Cette force d'attraction, relativement faible par rapport aux liaisons chimiques covalentes de la molécule elle-même, est à la source de propriétés comme un point d'ébullition élevé (quantité d'énergie calorifique nécessaire pour briser les ponts hydrogènes), ainsi qu'une chaleur spécifique élevée. Du fait des ponts hydrogènes également, la densité de l'eau liquide est supérieure à la densité de la glace (état où l'eau est cristallisée). De ce fait, en hiver la glace qui se forme à la surface d'un étang y reste et protège du gel l'eau située plus bas, ce qui permet aux poissons et autres êtres vivants d'y survivre. L'eau atteint sa plus haute densité à la température de 4 °C, qui est ainsi la température qu'on trouve typiquement au fond d'un étang gelé. Un autre conséquence est que la glace fond quand suffisamment de pression lui est appliquée.

Équilibre acide/base

L'eau se dissocie naturellement en ion oxonium (ou hydronium) H₃O⁺ et ion hydroxyde OH^- :2H₂O = H₃O⁺ + OH^-. Du fait de l'équilibre, à une température donnée, le produit entre des concentrations de ces ions, ou « produit de dissociation », est constant : à 25 °C, il vaut :[H₃O⁺].[OH^-] = 10^-14 uSI Les ions oxonium et hydroxyde sont très réactifs, ils peuvent attaquer d'autres matériaux, les dissoudre. On définit l'acidité grâce à la concentration en ion oxonium, par le pH :pH = -log₁₀[H₃O⁺] À 25 °C, le pH de l'eau pure vaut 7, il est dit neutre. L'ajout de certains produits dits « acides » va déplacer l'équilibre de dissociation de l'eau et abaisser le pH (augmentation du nombre d'ions oxonium) ; à l'inverse, l'ajout de certains produits dits « bases » va déséquilibrer la réaction dans l'autre sens, favoriser la présence d'ions hydroxyde et augmenter le pH. On note que l'eau peut capturer un proton ou en libérer un, c'est donc un amphotère, c'est-à-dire à la fois un acide et une base. Cet équilibre acide/base est d'une importante capitale en chimie minérale comme en chimie organique.

L'eau comme solvant

chimie organique Grâce à sa polarité, l'eau est un excellent solvant. Quand un composé ionique ou polaire pénètre dans l'eau, il est entouré de molécules d'eau. La relative petite taille de ces molécules d'eau fait que plusieurs d'entre elles entourent la molécule de soluté. Les dipoles négatifs de l'eau attirent les régions positivement chargées du soluté, et vice versa pour les dipoles positifs. L'eau fait un excellent écran aux interactions électriques (la permittivité électrique ε_e de l'eau est de 78,5 à 25 °C), il dissocie donc facilement les ions. En général, les substances ioniques et polaires comme les acides, alcools, et sels se dissolvent facilement dans l'eau, et les substances non-polaires comme les huiles et les graisses se dissolvent difficilement. Ces substances non-polaires restent ensemble dans l'eau car il est énergétiquement plus facile pour les molécules d'eau de former des ponts hydrogène entre elles que de s'engager dans des interactions de van der Waals avec les molécules non polaires. Un exemple de soluté ionique est le sel de cuisine alias chlorure de sodium, NaCl, qui se sépare en cations Na⁺ et anions Cl^-, chacun entourés de molécules d'eau. Les ions sont alors facilement transportés loin de leur matrice cristalline. Un exemple de soluté non-ionique est le sucre de table. Les dipoles des molécules d'eau forment des ponts hydrogène avec les régions dipolaire de la molécule de sucre, et celle-ci est ainsi extraite vers l'eau liquide. Cette faculté de solvant de l'eau est vitale en biologie, parce que certaines réactions biochimiques n'ont lieu qu'en solution (par exemple, réactions dans le cytoplasme ou le sang.)

Tension superficielle

Les ponts hydrogène confèrent à l'eau une grande tension superficielle et une grande cohésion. Cela se voit quand de petites quantités d'eau sont posées sur une surface non soluble et que l'eau reste ensemble sous forme de gouttes. Cette propriété est utile dans le transport vertical de l'eau chez les végétaux.

Conductivité

L'eau pure est en réalité un isolant, qui conduit mal l'électricité. Mais puisque l'eau est un si bon solvant, elle contient souvent une bonne quantité de soluté dissous, le plus souvent des sels. Si l'eau contient de telles impuretés, elle peut conduire l'électricité facilement. Le stator des très gros alternateurs est refroidi par circulation d'eau désionisée dans les conducteurs creux de l'enroulement. Malgré les différences de potentiel de plusieurs dizaines de milliers de volts entre le circuit de refroidissement et les conducteurs électriques, il n'y a pas de problèmes de fuite de courant. Voir conductivité électrique(mesure).

Décomposition de l'eau (thermolyse et électrolyse)

La première décomposition de l'eau fût faite par Lavoisier, en faisant passer de la vapeur d'eau sur du fer chauffé au rouge (thermolyse). Ce faisant, il établis que l'eau n'état pas un élément mais un corps chimique composé de plusieurs éléments. La thermolyse de l'eau commence à devenir significative vers 750 °C, et elle est totale vers 3 000 °C. La réaction produit du dioxygène et du dihydrogène : 2H₂O ↔ 2H₂ + O₂ L'autre manière de décomposer l'eau est l'électrolyse. Sous l'effet d'un courant qui la traverse, l'eau peut être divisée en dihydrogène et dioxygène. Les molécules d'eau se dissocient naturellement en ions H₃O⁺ et OH^-, qui sont attirés par la cathode et l'anode respectivement. À l'anode, quatre ions OH^- se combinent pour former des molécules de dioxygène O₂, deux molécules d'eau, et libérer quatre électrons. Les molécules de dioxygène ainsi produites s'échappent sous forment de bulles de gaz vers la surface, où elles peuvent être collectées. À la cathode, il y a une libération de molécule de dihydrogène H₂ : 4OH^- → O₂ + 2H₂O + 4e^- : 2H₃O⁺ + 2e^- → H₂ + 2H₂O

Indice de réfraction de l'eau

dihydrogène L'indice de réfraction n d'un milieu transparent est une mesure de sa capacité de changer la direction de propagation d'un rayon de lumière le traversant. Si la lumière devait voyager dans l'espace vide puis pénétrer une surface planaire de l'eau, les angles d'incidence mesurés et la réfraction pourraient être substitués dans la loi de Snell-Descartes (voir Réfraction) pour calculer l'indice de réfraction de l'eau relativement au vide. Cet indice ne dépendrait que de l'état physique de l'eau (solide, liquide ou gazeux). Mais, dans la pratique, il est plus simple d'entreprendre des expériences en utilisant une interface ou dioptre air-eau pour obtenir l'indice de réfraction de l'air relatif à l'eau, et puis pour le convertir de l'air en vide en appliquant les corrections appropriées. Le résultat, qui est toujours plus grand que 1, est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans l'eau : la lumière voyage plus lentement dans l'eau que dans un vide (ou dans l'air). Tous les milieux transparents sont dispersifs, ce qui signifie que la vitesse de la lumière change avec sa longueur d'onde λ. Plus précisément, dans la partie visible du spectre électromagnétique (approximativement 400 à 700 nanomètres) l'indice de réfraction est généralement une fonction décroissante de longueur d'onde : la lumière violette est plus déviée que le rouge. En outre, le taux de changement de l'indice de réfraction augmente également tandis que la longueur d'onde diminue. L'indice de réfraction augmente habituellement avec la densité du milieu. L'eau présente toutes ces caractéristiques. Le tableau 1 montre les résultats de quelques mesures (Tilton et Tailor) de l'indice de réfraction de l'eau, n(λ), en ce qui concerne l'air sec ayant la même température T que l'eau et à une pression de une atmosphère (760 mmHg). Tableau 1 : Pour convertir les valeurs sous forme de tableaux relatifs à l'indice du vide , ajoutez 4 à la quatrième position décimale. Notez que le n(λ) augmente pendant que la température de l'eau diminue. Ces résultats sont conformes ax attentes, puisque la densité de l'eau augmente lorsqu'elle se refroidit. Il est intéressant, cependant, que si les mesures sont faites à de plus basses températures l'indice ne montre pas d'extremum à 4 °C, malgré le fait que la densité de l'eau soit maximale à cette température (ce qui explique que les fonds marins soient à cette température de 4 °C). L'eau de mer contient des impuretés dissoutes, principalement sous forme de sels dissociés de sodium, de magnésium, de calcium, et de potassium. Sa densité, et par conséquent n(λ), dépendent donc de sa salinité , d'une quantité habituellement exprimée comme des grammes de sels dissous en kilogramme d'eau de mer (g/kg), ou des parties par mille en poids. Le tableau 2 (pris de Dorsey) montre comment le n(λ) augmente avec la salinité pour les D-lignes de sodium (moyenne : 5 893 angströms = 5 89,3 nm) à 18 °C. Tableau 2 : L'indice de réfraction est également une fonction de la pression de l'eau, mais la dépendance est tout à fait faible en raison de l'incompressibilité relative de l'eau (comme tous les liquides). En fait, sur les gammes normales des températures (0-30 °C), l'augmentation approximative du n(λ) est 0,000016 quand la pression de l'eau augmente d'une atmosphère. Clairement, les facteurs les plus significatifs affectant le n(λ) sont la longueur d'onde de la lumière et la salinité de l'eau. Néanmoins, le n(λ) excède de moins de 1% la gamme indiquée des valeurs de ces variables. ; Références
- L. W. Tilton et J. K. Taylor, stand national de bureau de recherche de J., 20, 419 (RP1085) 1938.
- E. Dorsey, « propriétés d'Eau-Substance ordinaire », (Reinhold Publishing Corporation 1940).

Purification de l'eau

Voir aussi : Épuration des eaux. De l'eau pure ou relativement pure est nécessaire à beaucoup d'applications industrielles et à la consommation humaine. Les humains ont besoin d'eau sans trop de sels et autres impuretés, comme des produits toxiques ou de bactéries pathogènes. pathogène Voici sept méthodes courantes pour purifier l'eau : #Filtration : l'eau est passée à travers un filtre qui intercepte les petites particules. Plus petites sont les mailles du filtre, plus petite doit être une particule pour passer. La filtration n'est pas suffisante, mais est souvent nécessaire comme étape préparatoire, pour empêcher les plus grosses particules d'interférer avec les méthodes de purification plus avancées. On distingue la filtration (quelques micromètres), de la microfiltration (de 1 à 0,1 micromètre) de l'ultrafiltration (jusqu'à 0,0001 micromètre). L'ultrafiltration permet d'obtenir une eau purifiée au niveau particulaire, bactérien et pyrogénique. #Ébullition : l'eau est maintenue à ébullition un temps suffisamment long pour inactiver ou tuer les microorganismes qui vivent dans l'eau à température ambiante. L'ébullition n'élimine pas les solutés qui ont une température d'ébullition supérieure à celle de l'eau, au contraire leur concentration peut augmenter si de l'eau s'évapore. L'autoclave et la Cocotte minute raffine et améliore le procédé en y ajouant une presson élevée, qui évite la fuite de l'eau et augmente sa température avant ébulition. #Filtrage au carbone : le charbon de bois, un composé à haute teneur en carbone, adsorbe beaucoup d'autres composés dont certains toxiques. Le chlore est éliminé par catalyse et les organiques sont dissous par adsorption. L'eau est passée à travers du charbon actif, issu de la noix de coco ou du charbon, pour la purifier de ces composés. Cette méthode est surtout utilisée pour filtrer l'eau des ménages et l'eau des aquariums. Elle permet aussi d'éviter le colmatage par les composés organiques dissous. #Distillation : on fait bouillir l'eau de façon à produire de la vapeur, qui s'élève, et est mise en contact avec une surface refroidie où la vapeur se condense à nouveau en eau et peut être recueillie. Les solutés ne se vaporisent normalement pas et restent ainsi dans la solution mise à bouillir. Cela dit, même la distillation ne purifie pas complètement l'eau, du fait de contaminants ayant à peu près la même température d'ébullition que l'eau, et de gouttelettes d'eau non vaporisée transportées avec la vapeur. #Osmose inverse : une forte pression mécanique (en milliers de d'hectopascals) est appliquée à une solution impure pour forcer l'eau à passer à travers une membrane semi-perméable. On appelle cela l'osmose inverse parce que l'osmose normale verrait l'eau pure se déplacer dans l'autre sens pour diluer les impuretés. L'osmose inverse est en théorie la meilleure méthode pour la purification à grande échelle de l'eau, mais il est difficile de créer de bonnes membranes semi-perméables. Selon le type de membrane, on obtient 85 à 98 % d'élimination des ions inorganiques, 99% des colloïdes, bactéries, pyrogènes et virus, 80 à 98% d'élimination de la silice. Cette méthode est parfois appelée hyperfiltration. #Chromatographie par échange d'ions : dans ce cas, l'eau est passée à travers une colonne chargée de résine qui capte les ions en libérant en échange d'ions hydroxyde (pour les ions négativement chargés : sulfate, carbonates, etc.) ou hydronium (pour les ions positifs : calcium, magnésium, autres métaux, etc.), qui se recombinent pour reformer de l'eau. Dans de nombreux laboratoires, cette méthode de purification a remplacé la distillation car elle procure un grand volume d'eau très pure plus rapidement et en consommant moins d'énergie. L'eau obtenue de cette façon est appelée eau déionisée ou eau déminéralisée. Contrairement à la distillation, la déminéralisation permet une production à la demande. Les résines échangeuses d'ions sont parfois couplées à une post-filtration afin d'éliminer les particules issues de la résine. #Photo-oxydation : l'eau subit un rayonnement ultraviolet de haute intensité. Cela permet de cliver et d'ioniser les composées organiques, qui peuvent ensuite être éliminés dans les colonnes échangeuses d'ions. Cela provoque en outre l'apparition de composés oxydants, capables de détruire les micro-organismes et certaines molécules.

Symbolique, usage et mythologie

- L'eau, élément vital pour l'homme, est la boisson naturelle par excellence.
- L'eau est un des quatre éléments classiques mythiques avec le feu, la terre et l'air (et l'un des cinq éléments chinois avec l'air, le feu, le bois et le métal), et était vue par certains comme l'élément de base de l'univers. Les caractéristiques de l'eau dans ce système sont le froid et l'humidité.
- Dans la théorie des humeurs corporelles, l'eau était associée au phlegme.
- Dans la symbolique occidentale, l'eau symbolise la purification le renouveau, ex.: l'eau bénite du baptème, l'eau coulante d'un fleuve.

L'eau dans l'alimentation

- Eau potable
- Eau de table
- Eau de source
- Eau minérale
- Eau gazeuse
- Eau plate Thalassothérapie

Référence dans le système métrique pour la détermination de la masse

À l'origine, un décimètre cube d'eau définissait une masse de un kilogramme (kg). L'eau avait été choisie car elle est simple à trouver et à distiller. Dans notre système actuel de mesure —le système international d'unités (SI) — cette définition de la masse n'est plus valable depuis 1889, date à laquelle la première Conférence générale des poids et mesures définit le kilogramme comme la masse d'un prototype de platine iridié conservé à Sèvres. Cette correspondance reste néanmoins une excellente approximation pour tous les besoins de la vie courante. ; Voir aussi
- [http://www.cybersciences.com/Cyber/2.0/Q7615.asp Combien pèse exactement un litre d'eau douce en kilogramme?]

Voir aussi

- Origine de la molécule d'eau
- Origine de l'eau sur la Terre
- Épuration des eaux
- Assainissement
- Eau potable
- Eau potable en France
- Prix de l'eau potable
- Dessalement
- Agence de l'eau
- SDAGE
- SAGE
- Eau minérale
- Pollution de l'eau par les produits phytosanitaires
- Cycle de l'eau
- Project:Portail_de_l'eau
- Dans le Wikilivre de Tribologie, des données concernant le Frottement sur la glace
- Le monoxyde de dihydrogène

Liens externes

- [http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/accueil.html « L'eau douce : une ressource précieuse », dossier SagaScience sur le site du CNRS]
- [http://www.populationdata.net/eau/ Chapitre « L'Eau dans le monde » sur PopulationData.net]
- [http://www.symposium-h2o.com/ Cannes Water Symposium]
- [http://eau.apinc.org/ PlaneteBleue.info, portail alternatif sur l'eau]
- [http://www.h2o.net/ Site de la revue « H2o.net magazine »]
- [http://www.cieau.com/accueil.htm Centre d'information sur l'eau]
- [http://www.thermexcel.com/french/tables/vap_eau.htm Caractéristiques physiques de la vapeur d'eau saturée]
- Julien Tap et al [http://julientap.free.fr/travail_fichiers/TP_chimie_eau.pdf TP chimie des eaux] IUT génie biologie Creteil, 2003
- [http://www.centre-evian.com/dossier_presse/index.html?contenu-medias.html?http://www.centre-evian.com/dossier_presse/dos-media/12037.html Evian - dossier sur l'eau] Catégorie:Composé de l'hydrogène Catégorie:Composé de l'oxygène Catégorie:Composé inorganique
- Catégorie:Hydraulique Catégorie:Hydroxyde Catégorie:Mécanique des fluides als:Wasser ja:水 ko:물 ms:Air simple:Water th:น้ำ zh-min-nan:Chúi

Vide

Le vide est avant tout un concept philosophique. Il désigne l'absence de matière.

Au quotidien

Dans le sens commun, lorsque l'on dit qu'un contenant est vide, il est en fait rempli d'air. Un verre vide, une bouteille vide, un carton vide… contiennent en fait environ 2·10¹⁵ molécules par millimètre cube, deux billions de molécules.

En philosophie

La notion de vide est intimement liée à la notion d'être. Le vide est l'absence de matière, l'absence d'être. Mais peut-on parler du vide comme d'une entité en soi, ou uniquement comme une absence. Parménide disait « l'être est, le non-être n'est pas » ; le vide est-il de l'être ou du non-être ? Le statut du vide varie beaucoup selon les cultures. Leucippe, lorsqu'il imaginait la division de la matière, concluait que l'on arrivait à une particule indivisible (a-tomos, l'atome), sinon on arriverait au vide ; il était inconcevable pour lui que la matière pût être faite de vide. Ainsi, lorsqu'un européen voit un verre, il voit d'abord la matière, sa forme ; un taoïste y verrait d'abord le vide qui le rend utile (qui permet d'être rempli). Le vide taoïste est conçu comme un potentiel, quelque chose qui attend d'être rempli, et par extension d'être réalisé : c'est l'esprit vide de pensée dans lequel peuvent naître les idées, c'est le blanc de la feuille qui attend d'être dessiné (voir Taoïsme : Plénitude du vide et autres paradoxes).

En physique

En physique, le vide est un concept encore assez mystérieux, bien qu'il soit fondamental. Ce n'est pas le néant (l'absence de tout). Les physiciens n'hésitent d'ailleurs pas à discuter de l'énergie du vide. Ce n'est pas non plus un éther, milieu fixe et indépendant de tout référentiel, imaginé comme support des ondes électromagnétiques. On n'a pas pu en prouver l'inexistence. On a abandonné l'idée de son existence. On peut dans une première approche dire que le vide est un espace dans lequel les molécules sont fortement raréfiées. Ainsi, pour « faire le vide », on prend une enceinte étanche et on pompe l'air avec une pompe à vide ; on définit la qualité du vide par la pression d'air résiduelle, exprimée en pascal (Pa, unité du système international), ou plus souvent dans le milieu industriel en millibar (mbar) ou torr (mm de mercure). On ne peut atteindre ainsi qu'un vide partiel. Un vide considéré comme très poussé, « ultra-vide », correspond à une pression de l'ordre de 10^-8 Pa ; on y dénombre encore 2 millions de molécules par centimètre cube. Mais qui dit absence de matière ne dit pas absence d'événement. Ainsi, les ondes électromagnétiques traversent le vide, et c'est le milieu qui s'oppose le moins à leur avancement (la vitesse de la lumière dont on parle usuellement, limite à toute transmission d'information, est celle dans le vide) ; il y a dans le vide des variations du champ électrique et du champ magnétique, mais ces champs ne nécessitent aucun support matériel. Le vide défini ci-dessus est donc un milieu statistiquement sans particules élémentaires. Cependant, la physique quantique montre qu'il reste le siège de matérialisations spontanées et fugaces de particules et de leur antiparticule associée, qui s'annihilent presque immédiatement après leur création. Ainsi l'énergie globale du vide reste nulle. On appelle ce phénomène les fluctuations quantiques du vide. Il se peut que le vide soit polarisé, c’est-à-dire que les particules et les antiparticules deviennent réelles et non virtuelles comme elles l'étaient avant. Cette polarisation se produit lorsque le vide reçoit un champ magnétique. Einstein consacre l'annexe 5 de son livre Relativité - Théories spéciale et générale (Relativity - The Special and the General Theory, traduction de Robert Lawson, 1961) à la relativité et [au] problème de l'espace. Il y cite Descartes et Kant et donne raison au premier contre le second, en niant l'existence du vide, c'est-à-dire, précise-t-il, l'existence d'un espace vide de champ. Il note dans sa préface à la 9 édition du livre : « les objets physiques ne sont pas dans l'espace, mais ces objets ont une étendue spatiale. De la sorte, le concept d' « espace vide » perd son sens. »

voir aussi

- Hémisphères de Magdebourg
- ensemble vide
- vide quantique Pour l'instant, le vide est un espace trans-porteur magnétique. Il n'y a pas de théorie qui réunisse les espace vides. Une onde parcourt le vide qui n'est pas une substance. On sait ce qui se passe dans le vide mais on ne sait pas ce qu'est le vide. On l'a mis en relation avec le temps, solution provisoire. Le néant est non existant. (Guy Dessauges) Catégorie:Astronomie catégorie:philosophie ja:真空

Superficie

Calcul de l'aire

Exemples

Voir aussi

- Liste des pays par superficie
- Surface spécifique catégorie:Géométrie catégorie:physico-chimie des interfaces Catégorie:Quantité physique

Surface minimale

Une surface minimale est, en mathématiques, une surface possédant une courbure moyenne nulle.

Exemples

Quelques exemples de surfaces minimales :
- Le caténoïde
- Le gyroïde
- L'hélicoïde
- La surface de Bour
- La surface de Catalan
- La surface de Costa
- La surface d'Enneper
- La surface d'Hennerberg
- La surface d'Hoffman
- Les surfaces de Scherk
- Le trinoïde La sphère, qui possède une courbure moyenne constante non-nulle, n'est pas une surface minimale au sens mathématique du terme.

Voir aussi

- Courbure
- Surface
- Théorème de Plateau Minimale

Catégorie:Surface

Category:Géométrie algébrique Category:Géométrie différentielle Article principal : Surface.

Catégorie:Physico-chimie des interfaces

catégorie:chimie catégorie:science des matériaux

Plexus vertebralis internus

Der Wirbelkanal (Canalis vertebralis) ist der schützende Kanal innerhalb der Wirbelsäule, in dem das Rückenmark verläuft. Er läuft vom Hinterhauptsbein (bzw. dem Hinterhauptsloch, Foramen occipitale magnum) durch die Hals-, Brust- und Lendenwirbelsäule bis zum Kreuzbein. Ventral wird der Kanal abwechselnd durch die Wirbelkörper (Corpora vertebrae) und die Bandscheiben (Disci intervertebrales), dorsal durch die Wirbelbögen (Arcus vertebrae) begrenzt. Zwischen den jeweiligen Wirbelkörpern gibt es eine Austrittsöffnung aus dem Wirbelkanal für den jeweiligen segmentalen Spinalnerven, das Foramen intervertebrale.

Bänder

Zwischen den Wirbeln gibt es im Bereich des Wirbelkanals zwei Bänder:
- Ligamentum longitudinale posterius (Mensch) bzw. dorsale (Tiere): an der Vorder- (Mensch) bzw. Unterseite (Tiere) des Wirbelkanals
- Ligamentum flavum: zwischen den Wirbelbögen benachbarter Wirbel

Strukturen im Wirbelkanal

Das Rückenmark wird, wie alle Teile des Zentralnervensystems, durch die drei Hirnhäute überzogen. Zwischen der außen liegenden harten Hirnhaut (Dura mater) und der Innenwand des Wirbelkanals befindet sich ein mit Fett- und Bindegewebe ausgefüllter Raum, der Epiduralraum. Im Epiduralraum liegen die Nervenwurzeln der abgehenden Rückenmarksnerven und das Spinalganglion. Über eine Injektion eines örtlich wirkenden Betäubungsmittels (Lokalanästhetikum) in diesen Raum kann man diese Nervenwurzeln ausschalten (Epiduralanästhesie). Außerdem liegen in diesem Raum die Blutgefäße zur Versorgung des Rückenmarks. Sie erfolgt über Rückenmarksäste (Rami spinales) der Arteria vertebralis, der Arteriae intercostales posteriores (bei Tieren dorsales) und der Arteriae lumbales. Diese Spinaläste ziehen über das Zwischenwirbelloch (Foramen intervertebrale) von beiden Seiten in den Wirbelkanal und bilden auf der Vorderseite (bei Tieren Unterseite) des Rückenmarks eine unpaarige, in Längsrichtung verlaufende Arterie, die Arteria spinalis anterior (bei Tieren als Arteria spinalis ventralis bezeichnet). Sie kann als Längsanastomose der segmentalen Rückenmarksäste angesehen werden, verbindet also alle Zuflüsse in Längsrichtung untereinander. Die entsprechenden Venen bilden auf der Vorderseite (Tiere Unterseite) des Rückenmarks ein dichtes Netzwerk (Plexus) von Gefäßen, den Plexus vertebralis internus ventralis. Dieses Gefäßgeflecht ist bei chirurgischen Eingriffen nahe des Wirbelkanals besonders verletzungsgefährdet. Blutungen aus diesem Plexus lassen sich oft nicht völlig stillen, was später zu Narben führt (Arachnoiditis adhaesiva). Zusammen mit dem periduralen Fettgewebe bildet der venöse Plexus eine Polsterung für das Rückenmark.

Verletzungen

Eine Verletzung der Integrität des Wirbelkanals und somit des Rückenmarks, vor allem durch einen Wirbelbruch oder einen Bandscheibenvorfall, hat oft schwerwiegende Folgen, es kann eine Querschnittlähmung auftreten. Kategorie: Knochen Kategorie:Anatomie

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