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Axiome

Axiome

catégorie:Raisonnement mathématique catégorie:Logique
- catégorie:épistémologie Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de αξιοσ (axios), signifiant digne. En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes. En mathématiques le mot axiome désigne une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide ; actuellement un axiome représente plutôt un point de départ dans un système de logique (cf. Robert Blanché). Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'« axiome de la commutativité de la multiplication ». On a longtemps confondu axiome et postulat, bien qu’on les différencie déjà dans les Éléments d'Euclide (les axiomes sont évidents alors qu’on demande d’admettre les postulats). Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) : # un nombre noté 0 existe # tout nombre X a un successeur noté succ(X) # X+0 = X # succ(X) + Y = X + succ(Y) Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes. En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit: :succ(X) = X + 1 et :1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4 :1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0)) :1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4 :1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3) Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome. Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne). Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une géométrie hyperbolique. Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois eut le temps de montrer avant de mourir en duel à 22ans, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique. Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née. Au , le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi

- Axiomes IST de l'analyse non standard
- Axiomatisation
- Axiome d'antifondation
- Axiome d'Archimède
- Axiome du choix
- Axiome de la paire
- Axiome de la réunion
- Axiome de l'ensemble des parties
- Axiome de l'ensemble vide
- Axiome de l'infini
- Axiome de fondation
- Axiome de Pasch
- Axiome de régularité
- Axiome de remplacement
- Axiome d'extensionnalité
- Axiome de la borne supérieure
- Axiome de séparation
- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Axiomes de Peano
- Axiomes des probabilités
- postulat de la droite parallèle
- Mathématiques renversées
- Axiomes selon R. Blanché
- Système axiomatique
- Théorie axiomatique des ensembles

Lien externe

- [http://metamath.planetmirror.com/mpegif/mmset.html#axioms Metamath axioms page] ja:公理 ko:공리

Catégorie:Axiome

catégorie:Mathématiques Article principal : Axiome

Grec

- Le grec (ἡ Ἑλληνικὴ γλῶττα hê hellênikề glỗtta) est une des langues indo-européennes, apportée en Grèce entre le et le On traite ici du grec ancien, le grec moderne étant décrit dans un article séparé.

Les dialectes

À l'origine, il existait une grande variété de dialectes, regroupés en quatre groupes : arcado-cypriote, occidental, éolien et ionien-attique. Parler du grec ancien n'a pas grand sens si l'on veut se référer à un des idiomes antiques : dans les faits, cependant, le grec désigne le dialecte d'Athènes. L'attique (dialecte du groupe ionien-attique), langue de l'Athènes antique, est la langue dans laquelle est écrite la majorité de la littérature grecque classique. Sous l'influence d'Alexandre le Grand, l'utilisation des dialectes a été réfrénée, de sorte que le monde grec utilisât la koinè, langue commune (c'est le sens de l'adjectif koinos) issue de plusieurs dialectes du groupe ionien-attique. Celui-ci lui permettait de communiquer avec son armée et était enseigné aux habitants des régions conquises, devenant ainsi la lingua franca de l'Antiquité, en concurrence avec le latin. La koinè est ensuite devenue langue officielle de l'Empire romain d'Orient, avant de continuer d'évoluer pour donner naissance au grec moderne d'aujourd'hui. Pour une étude comparative des différents dialectes, consulter Dialectes grecs.

Écritures

La première forme d'écriture attestée pour noter un dialecte grec est le linéaire B, un syllabaire sans rapport avec l'alphabet grec, servant à transcrire une forme archaïque d'un dialecte arcado-cypriote utilisé en Grèce continentale et en Crète entre environ -1550 et -1200. Entre -800 et -200, une écriture proche, le syllabaire cypriote, a été utilisée à Chypre. Ce syllabaire pourrait descendre du cypro-minoéen (voir plus bas). Il faut noter que des écritures plus anciennes que le linéaire B et le cypriote ont existé en Grèce, sans qu'on soit sûr qu'elles ont servi à noter du grec :
- le linéaire A (entre -1800 et -1450, en Crète et dans des îles égéennes) ;
- le crétois hiéroglyphique (entre -1750 et -1600, en Crète) ;
- le cypro-minoéen (entre -1500 et -1200, à Chypre), peut-être dérivé du linéaire A. C'est ensuite l'alphabet grec, hérité des Phéniciens et de leur alphabet, qui a été utilisé sous différentes versions (dites épichoriques) à partir du ou du puis a été normalisé et imposé au reste du monde hellénophone par Athènes en -403. En ajoutant des voyelles à cet abjad sémitique, les Grecs sont les inventeurs des alphabets occidentaux. En effet, emprunté par les Étrusques (cf. Alphabet étrusque), qui l'ont transmis aux Romains, il a donné naissance à l'alphabet latin, mais aussi, sans passer par les Étrusques, à l'alphabet gotique, au cyrillique, à l'alphabet copte… L'histoire de l'alphabet grec constitue un article séparé.

Phonologie

Consulter Prononciation du grec ancien pour un article complet. Résumé :
Le grec ancien est une langue à accent de hauteur possédant deux (ou trois, selon les interprétations) intonations : aiguë et circonflexe (cf. Accentuation du grec). Il se caractérise aussi par un système de consonnes aspirées et par un jeu d'oppositions de quantités vocaliques. Il existe plusieurs règles de sandhi, tant internes qu'externes. En passant de l'indo-européen au grec, la langue a subi de nombreuses modifications phonétiques dont les plus flagrantes sont décrites par la loi de Grassmann, la loi d'Osthoff et la loi de Rix. On note d'autre part qu'il permet de restituer dans de nombreux cas la coloration des laryngales IE. Enfin, c'est une langue centum.

Morphologie

Le grec, comme d'autres langues indo-européennes anciennes, est hautement flexionnel. Outre l'utilisation de désinences, le grec se caractérise par des procédés hérités de l'indo-européen comme l'alternance vocalique, l'utilisation du redoublement et de l'augment pour les verbes.

Système nominal

L'article complet se trouve dans Déclinaisons du grec ancien. Par exemple, les noms possèdent cinq cas (nominatif, vocatif, accusatif, génitif et datif), trois genres (masculin, féminin et neutre, parfois réduits à un opposition animé / inanimé) et trois nombres (singulier, duel, pluriel et collectif pour les neutres). Le grec moderne n'utilise plus le datif, excepté dans quelques expressions comme en taxei, mais les autres cas sont généralement conservés. On compte trois grands types de déclinaisons, tant pour les noms que les adjectifs (type en -α/η, type thématique en -ος et type athématique), lesquels possèdent plusieurs sous-types. Les pronoms suivent un système qui leur est propre et qui, ayant influencé les types nominaux, n'en sont pas très éloignés. La richesse de la flexion nominale en fait la complexité.

Système verbal

L'article complet se trouve dans Conjugaisons du grec ancien. Les verbes ont trois voix (active, moyenne et passive), trois personnes et trois nombres. Il se conjugue selon six modes, quatre personnels (indicatif, impératif, subjonctif et optatif) et deux impersonnels (infinitif et participe). Il existe six temps (présent, imparfait, aoriste, futur, parfait, plus-que-parfait), répartis de manière inégale entre les modes. Certaines formations secondaires existent, comme le futur antérieur. Outre le temps, le verbe exprime surtout, de manière très précise, trois aspects (imperfectif, aspect zéro et statique) et plusieurs modes de procès (inchoatif, itératif, fréquentatif, etc.). Seul l'indicatif marque les temps : à tous les autres modes, ce n'est que l'aspect qui est indiqué. Il existe deux grandes catégories de conjugaisons : les thématiques (ou verbes en -ω) et les athématiques (dits verbes en -μι). Ces catégories se divisent en un grand nombre de sous-catégories. Le système verbal est très complexe car la flexion met en œuvre de nombreux procédés comme l'alternance vocalique, la suffixation par le jeu de désinences, l'utilisation d'une voyelle thématique, celle de l'augment et du redoublement. À tous ces procédés s'ajoutent des modifications phonétiques importantes au sein d'un même paradigme. En sorte, il n'est presque pas exagéré de dire qu'il existe plus de verbes irréguliers que de réguliers.

Influence du grec ancien sur les langues modernes

Mots savants et radicaux grecs

Un grand nombre de mots en latin, français et anglais, pour ne citer que ces langues, sont d'origine grecque et la majorité des néologismes savants utilisés de par le monde est bâtie sur des radicaux grecs (souvent mêlés de radicaux latins). Seuls quelques langues, comme l'islandais de manière systématique et, dans une moindre part, l'allemand, n'utilisent pas ces radicaux mais traduisent par calque les termes savants grecs au moyen de radicaux qui leur sont propres.

Mots courants

Des mots comme boutique, caractère ou beurre viennent aussi du grec. Passés par le latin et hérités comme tel dans la langue française (via d'autres langues, comme l'occitan), ils ont subi les mêmes modifications phonétiques que les autres mots hérités et sont maintenant très éloignés de leur étymon grec : il faut reconnaître derrière chacun d'entre eux ἀποθήκη apothếkê, χαρακτήρ kharaktếr et βούτυρον boúturon.

Le dédale synchrone du cosmos politique

Voici, pour illustrer l'omniprésence du grec dans les langues occidentales, un extrait d'un texte de Xénophon Zolotas (Ξενοφών Ζολώτας) dans lequel chaque mot (hormis les mots-outils) est d'origine grecque : :« Sans apostropher ma rhétorique dans l’emphase et la pléthore, j’analyserai elliptiquement, sans nul gallicisme, le dédale synchrone du cosmos politique caractérisé par des syndromes de crise paralysant l’organisation systématique de notre économie. Nous sommes périodiquement sceptiques et neurasthéniques devant ces paroxysmes périphrasiques, cette boulimie des démagogues, ces hyperboles, ces paradoxes hypocrites et cyniques qui symbolisent une démocratie anachronique et chaotique. Les phénomènes fantastiques qu’on nous prophétise pour l’époque astronomique détrôneront les programmes rachitiques, hybrides et sporadiques de notre cycle atomique [...] ».

Divers

- code ISO 639-2 : grc

Voir aussi

Liens internes

- linguistique
- dictionnaire des langues
- langues par famille
- langues indo-européennes
- dialectes grecs;
- déclinaisons du grec ancien ;
- conjugaisons du grec ancien
- phonologie du grec, accentuation du grec ;
- alphabet grec, diacritiques de l'alphabet grec, lettres supplémentaires de l'alphabet grec et histoire de l'alphabet grec ;
- grec moderne ;
- littérature grecque.

Liens externes

- [http://www.passion-histoire.net/phpBB_Fr/viewforum.php?f=81 Forum consacré aux langues anciennes]
- [http://www.lorem-ipsum.info/_greek Générateur de texte aléatoire grec] en plus de l'habituel lorem ipsum.
- [http://www.freelang.com/dictionnaire/grec.html Dictionnaire Freelang] - Dictionnaire grec-français/français-grec
- [http://www.freelang.com/dictionnaire/grec_ancien.html Dictionnaire Freelang] - Dictionnaire grec ancien-français/français-grec ancien als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Philosophe

Catégorie:Philosophie Un philosophe est une personne pratiquant la philosophie, et puisqu'il y a certainement autant de manières de la pratiquer qu'il y a de philosophes, il n'est pas facile de décrire brièvement ce que peut être un philosophe ; néanmoins, l'idée la plus générale que l'on peut s'en faire est sans doute celle d'un homme qui dispose sa vie et sa pratique (ses valeurs et ses actions), suivant des considérations théoriques, i.e suivant des principes.

Quelques aspects du philosophe

Vocation de base

Un des traits les plus caractéristiques est certainement que le philosophe fait de la philosophie une activité libre à laquelle il consacre sa vie, i.e. qu'il s'agit d'une vocation. Mais cette vocation s'entend elle aussi de plusieurs manières : par exemple, la philosophie suppose un certain genre de vie, ce que l'on appelle une sagesse, ou un art de vivre. L'idée de vocation sera développée plus bas dans l'article... De plus, la plupart des grands philosophes étaient aussi des scientifiques pratiquant plusieurs disciplines. L'ensemble de ces disciplines leur permettait de se construire une représentation de l'univers comportant plusieurs perspectives plus ou moins solidaires (biologique, physique, philosophique, etc).

Le philosophe dans la culture occidentale

La valorisation de la connaissance dans la culture occidentale fait que le philosophe est largement considéré, à tort ou à raison, comme le sommet du prestige intellectuelle. Mais ce statut est aussi souvent remis en cause, et cela pour des raisons qui apparaissent depuis l'Antiquité, comme par exemple l'utilisation de la philosophie par des opportunistes, ou parce qu'il arrive qu'il y ait des malentendus sur ce que l'on peut attendre de la philosophie. Ce prestige de la philosophie a aussi souffert du développement du monde moderne et de la professionalisation de cette discipline. Dans le monde moderne, la philosophie peut en effet paraître inutile, d'une part face aux sciences qui prétendent parfois être la source unique de la connaissance, d'autres part face au idéaux de confort et de bien-être des sociétés démocratiques, idéaux soutenus par la science (mais au bénéfice d'une partie de la population mondiale). L'esprit moderne n'est donc peut-être pas compatible avec la discipline de l'esprit et de la vie exigée par une pratique de la philosophie qui ne semble pas rentable. Bien plus, au yeux du philosophe, la culture moderne comporte bien des aspects pour le moins douteux. Le philosophe peut donc apparaître soit comme un vestige archaïque de temps révolus, soit au contraire comme un défenseur d'une vie authentique menacée par la rationalisation outrancière des sociétés marchandes et par la dévalorisation que fait subir de tels systèmes de consommation aux individus. Ainsi, si la place des philosophes dans la société est un problème soulévé depuis Platon, ce problème est remarquable aujourd'hui par la force avec laquelle il se pose : il remet en cause la légitimité même de la philosophie.

Le philosophe dans la société

Conditions matérielles

- Développement des arts (artisanat et art) : l'accumulation des savoirs purement pratiques aboutit à une systématisation des connaissances dans la science et dans la philosophie ; par exemple, le savoir pratique des arpenteurs égyptiens permet la géométrie comme science.
- Production esclavagiste : il y a une séparation entre les hommes :
- les esclaves, en vue de satisfaire les besoins matériels ;
- les hommes libres, qui peuvent se livrer à une activité désintéressée (science, politique, philosophie, au sens où ce n'est pas l'utilité immédiate qui est visée).
- Liaison avec la mer : la navigation et le commerce permettent des rencontres avec d'autres cultures. Comme on le voit, le philosophe est loin de naître grâce à un système démocratique tel que nous le concevons aujourd'hui. Il ne faut pas oublier que la démocratie antique est esclavagiste.

Rôle social et politique

Bien que l'on croit souvent que le travail du philosophe puisse servir à répondre à des questions touchant les hommes en général, ou les hommes d'une société en quête de valeurs, il n'est pas certain que cela soit sa tâche première. En particulier, on peut se demander si un philosophe a vocation à intervenir dans des débats d'actualité, comme si son statut réel ou non de penseur lui donnait une supériorité intellectuelle sur les autres hommes. Par exemple, sur un débat concernant la société, en quoi un philosophe est-il mieux placé que n'importe quel citoyen ? Il est plus probable qu'en réalité un philosophe use de son prestige pour intervenir dans un débat. Or, ceci non seulement paraît fort peu philosophique, mais peut nuire à la philosophie surtout lorsque ce pouvoir médiatique met en lumière l'opportunisme de certains intellectuels. Cette dernière attitude est surtout une tradition continentale. Il semble donc que dans une société un philosophe n'ait pas particulièrement vocation à penser le quotidien, l'actualité, et toute la cacophonie internationale. S'il agit, c'est plutôt comme un autre, i. e. comme citoyen ou comme être humain. Pourtant, s'il est vrai que la philosophie est aussi un art de vivre, il parait naturel que les autres hommes viennent le consulter notamment lorsque les valeurs se perdent, et que personne ne sait plus ce qu'il en est de la valeur des actions humaines. Cela arrive en effet lorsqu'il y a de grands bouleversements politiques. On explique ainsi le succès de l'éthique pendant la période hellénistique, à un moment où les cadres de la cité s'effondrent. La philosophie serait alors la planche de salut. Mais cette conception qui demande à la philosophie des solutions contre le chaos extérieur et intérieur (angoisse, malheurs, souffrances morales, etc.) suppose sans doute un oubli de la perspective propre de celui qui vit pour la pensée. En effet, si l'art de vivre du philosophe est une sagesse, alors cette sagesse est au moins idéalement indépendante des contingences historiques. Ce n'est donc que par accident que le philosophe se trouve dans la position du « thérapeute » de la culture. Mais le problème, au moins dans cette perspective, reste le même : ou bien le philosophe aspire à la sagesse, et son sentiment est qu'il n'appartient à aucune société (il est cosmopolite comme les Stoïciens) ; ou bien il aspire à réformer les hommes et la société, et dans ce cas il risque de se voir réduit au rôle de moraliste. En revanche, à certaines périodes de l'histoire, le philosophe semble avoir pu jouer un rôle à sa mesure, et en particulier un rôle politique plus ou moins important. C'est le cas de certains Présocratiques, qui chercherent à favoriser une union des cités grecques que des conflits incessants menaient à leur perte.

Bibliographie

- Gorgias, Platon
- Protagoras, Platon
- Apologie de Socrate, Platon
- Phédon, Platon
- Théétète, Platon
- Métaphysique, livre A, Aristote
- Lettres, Epicure
- Discours de la Méthode, Descartes
- Problèmes philosophiques, Bertrand Russell
- Philosophie par gros temps, Vincent Descombes
- La demande philosophique, Jacques Bouveresse
- Le Monde de Sophie, Jostein Gaarder

Citations

- "Le philosophe consume sa vie à observer les hommes et il use ses esprits à en démêler les vices et le ridicule" (La Bruyère)
- "Les vrais philosophes passent leur vie à ne point croire ce qu'ils voient et à tâcher de deviner ce qu'ils ne voient point" (Fontenelle)
- "L'esprit philosophique est un esprit d'observation et de justesse qui rapporte tout à ses véritables principes." (Diderot)
- "J'estime philosophe tout homme, de quelque degré de culture qu'il soit, qui essaye de temps à autre de se donner une vision d'ensemble, une vision ordonnée de tout ce qu'il sait, et surtout de ce qu'il sait par expérience directe, intérieure et extérieure." (Paul Valéry)
- "Le philosophe se reconnaît à ce qu'il a inséparablement le goût de l'évidence et le sens de l'ambiguïté." (Maurice Merleau-Ponty)
- "La philosophie c'est creer des concepts."(Gilles Deleuze)

Voir aussi

- Sagesse
- Philosophie
- Raison
- Philosopher
- Liste des philosophes par année de naissance
- Liste des écoles philosophiques

Lien Externe

- [http://wikisource.org/wiki/Le_Philosophe Le Philosophe de Du Marsais]
- [http://dmoz.org/Society/Philosophy/Philosophers/ Philosophers sur l'Open Directory]

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
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Annexes

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- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
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- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
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- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Éléments d'Euclide

Les Éléments (Στοιχεία en grec) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive. Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systèmatique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il faisait partie du cursus universitaire standard.

Principes

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des postulats et des « notions ordinaires » (ces deux termes seraient de nos jours appelés des axiomes). Par exemple, le livre I contient 23 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires. Postulats du livre I : # Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. # Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. # Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre. # Tous les angles droits sont congruents # Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté. Notions ordinaires du livre I : # Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles. # Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales. # Si des choses égales sont soustraites à d'autres choses égales, les restes sont égaux. # Des choses qui coïncident avec une autre sont égales entre elles. # Le tout est plus grand que la partie.

Postérité

Le succès des Éléments est du principalement à la présentation logique de la quasi totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systèmatique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduits d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles. Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néammoins, les Éléments restent une oeuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leur propre travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosphes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leur propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives. Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, appelé « postulat des parallèles » a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du , il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non-euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Histoire

Les Éléments furent rédigés vers 300 av. J.-C. par Euclide, mathématicien grec qui fut probablement un disciple de Platon. Bien que la plupart des théorèmes leur soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les oeuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes. La première édition imprimée date de 1482 et fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodlean library à Oxford, mais ces manuscripts sont de qualité variable et toujours incomplets. Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.

Axiomisation ultérieure

Les mathématiciens du découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original. David Hilbert en donna une liste révisée contenant 23 axiomes supplémentaires.

Livres

Les Éléments sont organisés comme suit :
- Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
- Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
- Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre.
- Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
- Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.
- Les livres V à X font intervenir les proportions :
- Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
- Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
- Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
- Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
- Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une série géométrique, nombres parfaits.
- Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles introduisant la méthode par exhaustion, prémice de l'intégration, irrationalité de

\sqrt

.
- Les livres XI à XII traitent de géométrie dans l'espace :
- Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
- Le livre XII calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
- Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère. Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Voir aussi

Liens internes

- Archimède
- Eudoxe
- Proclos
- Pythagore

Liens externes

- [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-68013&M=pagination&Y=Image Euclide. Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant], traduction de 1632, site Gallica
- [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] adapté pour Internet par D. E. Joyce
- [http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/byrne.html Oliver Byrne's edition of Euclid] (version en couleurs)

Bibliographie

- Les Éléments d'Euclide, traduction François Peyrard, éd. Blanchard Paris, 1993 (1^re éd. 1819)
- Les Éléments d'Euclide, traduction Bernard Vitrac, éd. PUF Paris, ISBN 2130432409 Elements d'Euclide Elements d'Euclide ja:ユークリッド原論

Robert Blanché

Robert Blanché : philosophe des sciences français du XXe siècle, il a écrit de nombreux ouvrages abordant les mathématiques sous un angle philosophique.

Ouvrages

- La Notion de fait psychique, essai sur les rapports du physique et du mental – 1934, ed. PUF.
- Le Rationalisme de Whewell – 1935, ed. PUF.
- Whewell : de la construction de la science – 1938, ed. J. Vrin
- La Science physique et la réalité : réalisme, positivisme, mathématisme - 1948, ed. PUF
- Les Attitudes idéalistes – 1949, ed. PUF
- L’Axiomatique – 1955, ed. P.U.F. coll. Quadrige, 112p.
- Introduction à la logique contemporaine - 1957, ed. Armand Colin, coll Cursus, 205p.
- Structures intellectuelles, essai sur l’organisation systématique des concepts - 1966, ed. J. Vrin
- Raison et discours, défense de la logique réflexive – 1967, ed. J. Vrin
- La Méthode expérimentale et la philosophie de la physique – 1969, ed. Armand Collin, 384p
- La logique et son histoire d’Aristote à Russell (avec Jacques Dubucs) – 1970, ed. Armand Colin, coll. U Philosophie, 112p
- L’Épistémologie - 1972 ; ed. PUF
- Le Raisonnement – 1973, ed. PUF
- L’Induction scientifique et les lois naturelles – 1975, ed. PUF

Les axiomes en mathématiques selon Blanché

Cette partie résume sommairement l’idée exprimée par R. Blanché dans le premier chapitre de l’Axiomatique.

La géométrie_euclidienne

Le mathématicien grec Euclide est l’auteur des Éléments, ouvrage ayant servi de base à la géométrie classique pendant des siècles. C’est un exemple quasiment parfait de théorie déductive. Chaque démonstration élémentaire s’appuie sur un ensemble d’hypothèses clairement définies, et s’oblige à démontrer tout résultat sans jamais demander au lecteur d’admettre une proposition externe (non contenue dans les hypothèses). En cascadant judicieusement nombres de démonstrations élémentaires, de telle sorte que la conclusion de l’une devienne hypothèse de la suivante, il est possible de démontrer un très grand nombre de résultats à partir d’un jeu d’hypothèses premières (car il faut bien commencer quelque part) très réduit, et dont la véracité ne fait pas de doute. L’aspect empirique est alors réduit au minimum pour justifier les hypothèses premières. En pratiquant le doute, Descartes a tenté de pousser la théorie déductive jusqu’au bout. Partant d’une vérité absolue non empirique (« Je pense donc je suis ») comme hypothèse première, puis en chaînant les démonstrations élémentaires, il semble possible, étape par étape, de démontrer en quelque sorte « la véracité de l’univers »…

Échec de l’idéal déductif

Malheureusement, deux obstacles s’opposent à la réalisation de l’idéal déductif cartésien. D’abord, sans remettre en cause le « je pense donc je suis » de Descartes, il n’est pas possible d’en déduire quoi que ce soit : aucune démonstration ne peut utiliser cette vérité absolue pour hypothèse. Par ailleurs, la théorie d’Euclide n’était pas parfaitement déductive : il avait dû faire appel, pour ne pas rester bloqué, à des principes. C’est-à-dire des propositions qui, bien qu’elle semblent évidentes, n’ont pu être démontrées. L’un de ces principes affirme qu’étant donné une droite et un point quelconque, il ne passe par ce point qu’une et une seule parallèle à la droite. Si l’existence d’une telle droite a pu être démontrée (il suffit d’en trouver une), son unicité a résisté à toute tentative de preuve pendant des siècles. Faces aux échecs répétés de la démonstration directe, les mathématiciens se sont orientés vers une démonstration par l’absurde : en prenant pour hypothèse que le nombre de parallèles puisse être supérieur à un, il s’agit alors de parvenir à démontrer un résultat dont on sait par ailleurs (par une autre démonstration) qu’il est faux. Or si les mathématiciens parviendront fort bien à démontrer nombres de résultats à partir de cette hypothèse, ils ne « tomberont » jamais sur une contradiction. Il faudra bientôt réviser ses positions : il est parfaitement possible, mathématiquement, de construire une théorie cohérente ayant pour postulat un nombre indéterminé de parallèles. La géométrie euclidienne n’est que le cas particulier où ce nombre vaut un.

Théorie hypothético-déductive

L’avènement de la Géométrie non euclidienne va mettre un terme à l’idéal déductif. Il ne s’agira plus alors de raisonner juste à partir d’hypothèses vraies, puisque l’apparente véracité du principe des droites parallèles ne découlait finalement que de l’impossibilité de se représenter d’autres possibilités dans notre monde réel régi par la géométrie euclidienne. Il est désormais acceptable de choisir des hypothèses folkloriques et d’en tirer par démonstration un résultat tout aussi folklorique. Qu’importe, du moment que le raisonnement, lui, est valide. On exigera en général du jeu d’hypothèses non pas qu’elle soient vraies mais seulement qu’elles ne soient pas contradictoires (consistantes). Ce n’est en fait pas une obligation. Mais partant de deux hypothèses contradictoires, on sait par avance - avant même de s’engager dans toute démonstration - qu’il est possible de prouver une chose et son contraire, ce qui en limite considérablement l’intérêt. Rendant obsolète l’idéal d’une théorie définitive partant d’une proposition vraie de manière absolue, la théorie devient hypothético-déductive : :- aussi loin que l’on remonte dans la chaîne des démonstrations, il faut toujours, à un moment, se donner des hypothèses de départ qui soient admises ; :- il est possible de démontrer à peu près tout et n’importe quoi, pour peu que l’on choisisse judicieusement les hypothèses de départ.

Axiomes et définitions

Toute théorie déductive nécessite donc comme point de départ des propositions non démontrées, qu’on appellera indifféremment postulats ou axiomes. De plus, il est courant, dans le cadre d’une démonstration mathématique, d’énoncer dès le départ un certain nombre de définitions. Or contrairement à une idée répandue, une définition ne saurait être un point de départ. Lorsqu’on définit un segment [AB] par l’ensemble des points de la droite (AB) compris entre les points A et B, il faut bien déjà connaître ce qu’est un point, une droite, un ensemble, ou ce que signifie pour des points qu’être compris entre… Il s’agit là du paradoxe du dictionnaire : bien que tous les mots y soient définis, il faut bien au préalable en connaître quelques-uns pour pouvoir l’utiliser. Aussi, toute théorie déductive repose d’une part sur des axiomes (propositions admises), à partir des quels on va démontrer de nouvelles propositions, et d’autre part sur des termes non définis, servant précisément à en définir de nouveaux.

Démontrer, convaincre

Qu’est ce qu’une bonne démonstration ? Le terme est ambigu : du point de vue de la logique, une bonne démonstration est celle qui n’utilise que les axiomes et les termes de départ, sans jamais faire (involontairement) appel à une notion externe. Ce n’est déjà pas une mince affaire, tant il est facile qu'une notion soit implicitement cachée. Une bonne démonstration se doit alors d’être rigoureuse. Mais pour l’élève une bonne démonstration est celle qu’il comprend. Une bonne démonstration se doit d’être pédagogique. Or, qu’un élève ne comprenne pas une démonstration, c’est-à-dire qu’il ne parvienne pas à accepter par lui-même sa validité, ne change en rien la validité de cette démonstration. Inversement, l’exemple cité plus haut du principe des parallèles montre qu’il ne suffit pas d’être convaincu de l’évidence d’une proposition pour se passer de sa démonstration, fusse-t-elle infiniment plus complexe a saisir que la proposition elle-même. Pas de meilleur exemple ici que celui cité par Robert Blanché : "On connaît l’anecdote de ce précepteur princier qui, à bout de ressources, parvint néanmoins à faire admettre son théorème en s’écriant enfin, excédé : Monseigneur, je vous en donne ma parole d’honneur !"

Éléments d'Euclide

Principes

Postérité

Histoire

Axiomisation ultérieure

Livres

\sqrt

Voir aussi

Liens internes

- Archimède
- Eudoxe
- Proclos
- Pythagore

Liens externes

Bibliographie

Logique

ko:논리학 ms:Logik ja:論理学 simple:Logic th:ตรรกศาสตร์ Catégorie:Philosophie Catégorie:Algorithmique Catégorie:Sciences cognitives Catégorie:Logique Catégorie:Rhétorique La logique est initialement l'une des grandes disciplines de la philosophie, elle est devenue au une partie des mathématiques. Aujourd'hui, elle est en outre partie intégrante de : l'ingénierie informatique, la linguistique, la psychologie cognitive et, la communication sociale.

Généralités

La logique est l'étude de la nature, des concepts, de la vérité, des jugements et, de la validité des raisonnements. Elle se déploie ainsi aujourd'hui selon les quatre grands axes que sont :
- la théorie des ensembles,
- la théorie des modèles,
- la théorie de la démonstration,
- la théorie de la calculabilité. Cette classification en quatre grands axes, généralement admise, est celle proposée par J. Barwise dans son ouvrage [http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/501736/description Handbook of Mathematical Logic]. Depuis, un cinquième grand axe semble se dessiner avec les travaux sur la théorie des types.

Disciplines de la logique

- Les syllogismes aristotéliciens
- Le calcul des propositions
- Le calcul des prédicats
- La logique intuitionniste
- La logique classique
- Les logiques multivalentes :
- La logique trivalente
- La logique tétravalente
- Les logiques à plus de 4 valences
- Les logiques à une infinité de valences (cf. probabilités)
- Les logiques modales :
- La logique épistémique
- La logique déontique
- La logique temporelle
- Les paradoxes
- L'algorithme d'unification en logique
- La logique floue

Philosophie

Antiquité

La logique est à l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non contradictoire. Par suite, elle est un outil (organon) assurant la cohérence de la reflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.
La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :
- La cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
- La cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : « adequatio rei et intellectus », l'accord du contenu avec la réalité.
Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.
En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même. La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : « ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées ». La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen Âge, est restée soumise à la pensée de l'être.

Kant, quant à lui, définit la logique comme une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée. L'œuvre d'Aristote appelée l'Organon, où figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle non prédicative, à partir du , a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept. La logique a pour origine la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être. Il a fallu attendre le début du pour que l'évidence de cette bivalence soit remise en question : des logiques trivalentes, ajoutant une valeur indéterminée, sont alors inventées (Kleene, Lukasiewicz, Bochvar). Mais celles-ci, se généralisant en logiques polyvalentes, ne remettaient néanmoins pas en question l'appartenance stricte d'une proposition à l'une (et une seule) de ces valeurs. C'est à partir de 1965 que Zadeh élabore une logique floue (fuzzy logic) dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Loin du monde tranché de la certitude classique, un monde flou se révèle dans toute sa complexité.

Mathématiques

Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

Notions élémentaires de logique formelle

Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous formes de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de preuve nous permet également de calculer la signification des formules en construisant des démonstrations. La logique comprend classiquement :
- la logique des propositions,
- la logique des prédicats. Considérons un langage logique. Ce dernier est : soit un langage propositionnel, on parle alors de logique des propositions ; soit un langage du premier ordre, on parle alors de logique des prédicats. Bien évidemment, ces langages logiques diffèrent de par leur syntaxe. Considérons leurs syntaxes respectives. La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.). Ces symboles représentent des propriétés qui sont, soit vraies, soit fausses. Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont : # le connecteur binaire disjonctif (ou), # le connecteur binaire conjonctif (et), # le connecteur binaire de l'implication (->), # le connecteur monadique de la négation (non). Ces variables forment alors des formules appelées également propositions. Nous les notons par des lettres grecques minuscules (phi, psi, thêta, etc.). La syntaxe de la logique d'ordre un, contrairement à celle d'ordre zéro, considère d'une part les termes qui représentent les objets étudiés, et d'autre part les formules qui sont des propriétés sur ces objets. Dans la suite de ce manuscript, nous noterons V l'ensemble des variables (x,y,z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f,g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P,Q…). On dispose également d'une application dite d'arité m. Qu'en est-il de la signification d'une formule? C'est l'objet de la sémantique. Là encore, elle diffère selon le langage envisagé. En logique propositionnelle, une formule est soit vraie soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai (1) et le faux (0). La signification des booléens est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité. La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation. Comme dans le cas propositionnel, la sémantique de la logique du premier ordre est décrite par une interprétation. Cependant le langage de la logique du premier ordre est plus riche. En conséquence, de nouvelles définitions sont nécessaires. Contrairement au langage propositionnel, les interprétations et les affectations sont des objets différents. Une affectation donne une valeur à chaque variable, alors qu'une interprétation décrit le domaine des valeurs et la sémantique des symboles de fonctions et de prédicats. Nous avons doté la logique propositionnelle ainsi que la logique du premier ordre d'une sémantique. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, de l'utiliser pour décider si une formule est satisfiable (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela énumérer toutes les interprétations. Leur nombre est exponentiel. Une alternative consiste à examiner les preuves bien formées, et à considérer leurs conclusions. Pour cela nous utilisons un système de preuve. Un système de preuve est un couple (A,R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion). On appelle dérivation à partir d'un ensemble d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite. Une preuve d'une formule phi à partir d'un ensemble de formules Gamma est une dérivation à partir de Gamma dont la dernière formule est phi.

Quantification

On introduit essentiellement deux quantificateurs en logique classique :
-

\exists

(il existe au moins un), appelé quantificateur existentiel.
-

\forall

(pour tout), appelé quantificateur universel. Un troisième quantificateur, qui peut être défini à partir des quantificateurs précédents, est souvent introduit :
-

\exists

! (il existe un seul). Grâce à la négation, les quantificateurs existentiels et universels jouent des rôles duals et donc, en logique classique, on peut fonder le calcul des prédicats sur un seul quatificateur.

Automatisme et Informatique

Dans ces deux domaines la logique est omniprésente et représente le fondement de ces diciplines.
- En automatisme, afin de pouvoir ordonner des processus en fonction de conditions précises, un fonctionnement logique est nécessaire. À l'aide d'opérateurs logiques simples et combinés, la logique combinatoire permet de déterminer des conditions et des prises de décisions automatisées. Autrefois, les automates contenaient de multiples relais assurant ces fonctions. Aujourd'hui, ce sont en fait des micro-ordinateurs spécialisés disposant d'une partie d'électronique de puissance pour interagir avec son environnement et, une interface homme/machine adaptée.
- En informatique :
- dans la partie électronique numérique, les mêmes opérateurs logiques sont utilisés en grand nombres ;
- dans la partie logiciel, les opérateurs de logique booléenne des langages de programmation sont très utilisés, comme système de comparaison et de prise de décision ;
- au niveau des langages de programmation, il existe des relations profondes entre la logique intuitionniste et le lambda-calcul (et donc les langages fonctionnels). La correspondance de Curry-Howard propose de voir les propositions comme des types, et une preuve d'une proposition P comme un terme ayant le type P. On obtient alors des règles identiques à celles utilisées pour le typage des termes du lambda-calcul. Cette approche est utilisée dans un certain nombre de logiciels d'aide à la preuve, comme Coq ou [http://www.cl.cam.ac.uk/Research/HVG/HOL/ HOL]. Enfin, l'ajout de continuations au langage permet de retrouver la logique classique, le type de ces nouveaux termes pouvant être rapproché du tiers-exclus.
- Afin de spécifier un système (protocole, logiciel...), notamment en model-checking, on fait appel aux logiques temporelles.

Voir aussi

- Tractatus logico-philosophicus
- Fonction logique

Euclide

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme un des textes fondateurs des mathématiques modernes : la rigueur n'est pas toujours à la hauteur des canons actuels mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni de conique, ni de résolution par neusis ou ajustement). La géométrie telle que définie par Euclide dans ce texte fut considérée comme la géométrie pendant des siècles, et fut difficile à expugner de ce rôle ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi ses papiers qu'il avait aussi songé à des géométries non euclidiennes ! Depuis, l'existence d'une grande variété de géométries distinctes, mais toutes aussi valables est communément admise. Euclide est aussi l'auteur des Données, de L'optique et la catoptrique et d'un livre perdu sur les coniques.