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Théorie Des Catégories

Théorie des catégories

De l'aveu même de l'un de ses créateurs, Saunders MacLane, la théorie des catégories est un « abstract nonsense » (ce qui doit pouvoir se traduire par « abstraction délirante »). Quoi qu'il en soit, la théorie des catégories n'a rien de délirant. Elle constitue un chapitre essentiel des mathématiques contemporaines.

Définition

Il est vrai que pour définir une catégorie (notons-la \mathcal C), on demande peu :
- des objets ;
- des flèches reliant ces objets ;
- une loi de composition pour ces flèches, satisfaisant certaines propriétés. Plus précisément, les objets d'une catégorie ne doivent vérifier aucune hypothèse. En revanche, les flèches doivent en vérifier quelques-unes, tout à fait raisonnables :
- toute flèche a une origine et un but, qui sont des objets de la catégorie ;
- les flèches d'un objet A à un objet B forment un ensemble, noté Hom_(A,B) ;
- étant données f\in Hom_(A,B) et g\in Hom_(B,C) deux flèches de la catégorie, on peut leur associer une troisième flèche, de A dans C, notée g\circ f, appelée la composée ;
- cette opération de composition est associative : la flèche obtenue en composant un nombre fini de flèches ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a fait le calcul ;
- tout Hom_(A,A) contient une flèche particulière, appelée l'identité de A, notée I_A, telle que pour toute flèche de ou vers A, la composition avec cette identité ne modifie pas la flèche (en particulier : cette identité est donc unique). Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets, entre parenthèses pour signaler qu'il s'agit de leur catégorie ; nous suivrons ici cette convention.

Exemples


- La catégorie (Ens), dont les objets sont les ensembles, et les flèches les applications, avec la composition usuelle des applications. En particulier, on voit que les objets d'une catégorie ne forment pas forcément un ensemble !
- La catégorie (Top), dont les objets sont les espaces topologiques, et les flèches les applications continues, avec la composition usuelle.
- La catégorie (Met), dont les objets sont les espaces métriques, et les flèches les applications uniformément continues, avec la composition usuelle.
- La catégorie (Mon), dont les objets sont les monoïdes et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
- La catégorie (Grp), dont les objets sont les groupes et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
- La catégorie (Ab), dont les objets sont les groupes abéliens et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
- La catégorie (ACU), dont les objets sont les anneaux commutatifs unitaires et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle. Les exemples précédents ont une propriété en commun : les flèches sont toujours des applications, et les objets des ensembles (ce sont des catégories concrètes) ; cette propriété est très particulière. Voici des exemples de catégories sans cette propriété :
- On se donne un monoïde (M,
- ,e), et on définit la catégorie M ainsi : :
- objets : un seul, n'importe quoi ! :
- flèches : les éléments du monoïde, elles partent toute de l'unique objet pour y revenir ; :
- composition : donnée par la loi du monoïde (l'identité est donc la flèche associée à e).
- On se donne un ensemble E muni d'une relation réflexive et transitive R, et on définit la catégorie associée ainsi : :
- objets : les éléments de l'ensemble ; :
- flèches : pour tous objets e et f, il existe une flèche de e vers f si et seulement si eRf (et pas de flèche sinon) ; :
- composition : la composée de deux flèches est la seule flèche qui réunit les deux extrémités (la relation est transitive !) ; l'identité est la seule flèche qui relie un objet à lui-même (la relation est réflexive !). :cet exemple est particulièrement intéressant dans le cas suivant : l'ensemble est l'ensemble des ouverts d'un espace topologique, et la relation est l'inclusion ; cela permet de définir les notions de préfaisceau et de faisceau, via les foncteurs.

Catégorie duale

À partir d'une catégorie \mathcal C, on peut définir une autre catégorie \mathcal C^, dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches. Plus précisément : Hom_(A,B)=Hom_(B,A), et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition : :f^\circ g^=(g\circ f)^ Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (\mathcal C^)^=\mathcal C. Cette opération de dualisation extrêmement simple permet néanmoins de symétriser la plupart des énoncés, ce qui est parfois douloureux pour les débutants...

Propriétés des flèches

Définitions

Une flèche f:A\rightarrow B est dite un monomorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple g,h de flèches E\rightarrow A (et donc aussi pour tout E), si f\circ g=f\circ h, alors g=h. Une flèche f:A\rightarrow B est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple g,h de flèches B\rightarrow E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g=h. Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie duale. Une flèche f:A\rightarrow B est dite un isomorphisme s'il existe une flèche g:B\rightarrow A telle que g\circ f=I_A et f\circ g=I_B. Cette notion est autoduale.

Exemples


- Dans la catégorie des ensembles, les monomorphismes sont les injections, les épimorphismes sont les surjections et les isomorphismes sont les bijections.
- Un contre-exemple important en théorie des catégories : un morphisme peut à la fois être un monomorphisme et un épimorphisme, sans être pour autant un isomorphisme ; pour voir ce contre-exemple, il faut se placer dans la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, et considérer la flèche (unique!) \mathbb Z\rightarrow\mathbb Q : elle est un monomorphisme car provient d'une application injective, un épimorphisme par localisation, mais n'est clairement pas un isomorphisme!
- On trouve aussi de tels épimorphisme-monomorphisme non-isomorphiques dans la catégories des espaces topologiques : toute injection y est un monomorphisme, toute surjection est un épimorphisme, les isomorphismes sont les homéomorphismes, mais il y a des fonctions continues à la fois injectives et surjectives qui ne sont pas des homéomorphismes : par exemple l'identité sur un ensemble muni de deux topologies différentes, l'une plus grossière que l'autre.

Propriétés des objets

Catégorie:Mathématiques Catégories
- ja:圏論

Saunders MacLane

MacLane, Saunders MacLane, Saunders MacLane, Saunders Saunders MacLane (4 août 1909 - 14 avril 2005) est un mathématicien américain, l'un des créateurs, de la théorie des catégories. Il est né à Taftville, Connecticut. Il étudie à l'université de Yale de 1926 à 1930 avant de rentrer à l'université de Chicago. Pendant la Seconde Guerre mondiale il travaille sur les mathématiques appliqués et devient professeur à Chicago en 1947.

Lien externe


- http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/MacLane.html

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x   ∈   A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z \ _\not\in A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : : ( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \, où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : : \forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \, L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : : \forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \, où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : : \forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \, SP2 : deux paires     et     sont égales ssi   a 1 est égal à b 1   et   a 2 à b 2 ,   ou si   a 1 est égal à b 2   et   a 2 à b 1 : : \forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, :: ( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : \ _\mathbb N = .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : : \forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \, L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
-   désigne l’ensemble des nombres réels,
-   désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et     note l’ensemble     de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
-   désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P.   Par exemple, si \ _\mathbb Z est l’ensemble des nombre entiers, alors     est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
-   désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent,     est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
-   est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple,     est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi


- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Espace topologique

catégorie:Topologie

Principe

L'espace topologique est (presque) le type le plus générique d'espace sur lequel on peut travailler avec des fonctions continues. C'est utile en analyse, en géométrie...

Définition d'espace topologique

Il existe mille et une façons équivalentes d'approcher et de définir ce qu'est une topologie. La plus couramment utilisée est celle en terme d'ouverts:
- Une topologie sur un ensemble E est une famille de sous-ensembles, contenant l'ensemble vide et E, stable par union quelconque, et par intersection finie. On appelle les éléments de cette famille des ouverts.
- Les fermés d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent : la famille des fermés contient E et l'ensemble vide, est stable par intersection quelconque, et par union finie.
- Un espace topologique est un ensemble muni d'une topologie.
- On appelle voisinage d'un point toute partie de l'ensemble qui contient un ouvert contenant ce point.
- L'adhérence d'une partie d'un espace topologique est l'intersection de tous les fermés la contenant. L'adhérence est un fermé puisqu'elle est intersection de fermés, et peut être vue comme « le plus petit fermé » contenant la partie. Une autre façon de définir les espaces topologiques consiste à faire appel à la notion prétopologique dadhérence : on définit une adhérence sur un ensemble E comme une application qui à toute partie A de E associe une partie contenant A, l'adhérence de la partie vide restant vide. Dans le cas où l'adhérence est idempotente et où l'adhérence de l'union de deux parties est égale à l'union des adhérences, on dit que l'adhérence est topologique. Un espace topologique peut se définir comme un ensemble muni d'une adhérence topologique. Les ouverts sont alors les complémentaires des parties stables pour l'adhérence.

Applications continues

L'intérêt fondamental de la notion d'espace topologique est de pouvoir définir ce qu'est une application continue. Une application f : A → B entre deux espaces topologiques A et B est dite continue si l'image inverse f^(U) de tout ouvert U de B est un ouvert de A. (L'image inverse f^(U) est l'ensemble de tous les points de A que f envoie dans U.) En termes d'adhérences, une application d'un espace topologique dans un autre est continue si et seulement si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie.

Propriétés


- On dit qu'un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue lorsque l'on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement ouvert. On parle aussi despace quasi-compact.
- On dit qu'un espace est séparé ou de Hausdorff lorsque deux points distincts quelconques admettent des voisinages disjoints.
- Un espace quasi-compact et séparé est dit compact.

Exemples


- Le premier exemple historique d'espace topologique est l'ensemble des nombres réels. Cet exemple est celui qui est à la base de la théorie des espaces topologiques. Il apparaît comme un cas particulier de la deuxième famille d'exemples données ici.
- Les espaces métriques et, en particulier les espaces vectoriels normés sont des espaces topologiques.
- Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques, espace de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire, compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes, groupe topologique, anneau topologique etc.). ja:位相空間 ko:위상공간 (수학)

Espace métrique

Principe

En mathématiques, un espace métrique est un cas particulier d'espace topologique ; il correspond au cas fort pratique où on dispose d'une notion de distance sur l'espace.

Définitions


- On appelle distance sur un ensemble E \,, une application d:E\times E\rightarrow\mathbb R_+ telle que: :
- \forall x,y\in E, d(x,y)=d(y,x); :
- d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y; :
- d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire).
- On appelle boule (ouverte) centrée en a\in E et de rayon r\in\mathbb R_+, l'ensemble \\subset E. On la note souvent B(a,r)\,.
- On appelle boule fermée centrée en a\in E et de rayon r\in\mathbb R_+, l'ensemble \\subset E. On la note souvent B_f(a,r)\,.
Voir aussi boule.
- La distance munit E\, d'une topologie, en définissant une partie U\, comme ouverte lorsque: \forall u\in U,\exists\varepsilon>0/B(u,\varepsilon)\subset U. Un ouvert est donc une partie qui a une certaine « épaisseur » autour de ses points. Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance définissant sa topologie ; il n'y a jamais unicité de cette distance et on prendra garde que les notions de boule, de borné (i.e. inclus dans une boule), de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques. Cette topologie définit comme voisinage d'un point tout sous ensemble contenant une boule ouverte centrée sur ce point. Les nombres réels sont un exemple de topologie défini à l'aide d'une métrique.
- Un intérêt des espaces métriques sur des espaces topologiques quelconques est qu'ils vérifient la propriété de Séparation. En effet, si on choisit deux éléments distincts x\, et y\, d'un espace métrique E\,, leur distance d\, est non nulle, par conséquent les ouverts B(x,d/2)\, et B(y,d/2)\, sont disjoints et sont des voisinages de x\, et y\,.

Exemples


- distance triviale (ou encore distance discrète): sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est 1. Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que pour toute partie F de E est ouverte.
- les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
- si on munit R+ de la distance d(x,y)=|ex- ey|, on retrouve la topologie usuelle sur R+ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.

Pièges


- le lien entre une boule fermée et l'adhérence de la boule ouverte correspondante est en général une simple inclusion: :B_f(a,r)\subset\overline B(a,r) (c'est une chausse-trappe classique de topologie, discutée ici et là). Catégorie:Topologie ja:距離空間 ko:거리공간

Monoïde

Définition

En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif et unifère. En d'autres termes, (E,
- ) est un monoïde si : # pour tout x,y dans E, x
- y est dans E (loi de composition interne) ; # pour tout x,y,z dans E, x
- (y
- z) = (x
- y)
- z (associativité) ; # il existe un élément e dans E vérifiant : pour tout x dans E, x
- e=e
- x=x. On trouve aussi parfois une définition d'un monoïde où l'existence d'un élément neutre n'est pas requise. Un monoïde E est dit simplifiable à gauche, ou encore régulier à gauche, (resp. à droite) si pour tout a,b,c dans E, a
- b=a
- c (resp. b
- a=c
- a) entraîne b=c. Un monoïde est dit libre s'il est isomorphe à l'ensemble des séquences d'éléments d'un ensemble fini (alphabet), muni de la concaténation. À ce moment-là, on appelle ensemble des générateurs libres du monoïde l'image de l'alphabet par l'isomorphisme. Cet ensemble est unique, et deux monoïdes libres sont isomorphes si et seulement s'ils ont le même nombre de générateurs libres.

Exemples


- l'ensemble des entiers naturels, muni de l'addition, est un monoïde, dont 0 est l'élément neutre ;
- l'ensemble des entiers naturels, muni de la multiplication, est un monoïde d'élément neutre 1 qui n'est pas simplifiable (0.n=0.m pour tout n,m) ;
- l'ensemble des mots formé sur un alphabet, muni de la concaténation, est un monoïde que l'on appelle monoïde libre, dont le mot vide est l'élément neutre.

Applications

En mathématiques, il est rare d'utiliser les monoïdes ; car souvent, lorsqu'une structure est trop pauvre en termes de propriétés pour pouvoir continuer son étude, elle se trouve plongée dans une structure plus riche, comme les groupes, ou les anneaux... Les entiers naturels en sont un exemple frappant : pour les étudier, on étudie les entiers relatifs, qui eux forment un groupe, et mieux, un anneau factoriel ! En informatique théorique, les monoïdes et plus particulièrement le monoïde libre sont parmi les structures les plus utilisées, notamment dans la théorie des codes et dans la théorie des langages. Catégorie:Algèbre abstraite ja:モノイド

Relation binaire

catégorie:Théorie des ensembles Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est élément de l’ensemble ... » en théorie des ensembles. C’est un cas particulier de relation générale ou correspondance. On retrouve aussi ce concept en théorie des graphes.

Approche expérimentale

De manière informelle, une relation entre deux ensembles est une proposition qui lie certains éléments du premier ensemble avec d’autres éléments du second ensemble. Sur un ensemble F constitué de filles et un ensemble G constitué de garçons, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou une autre relation « Béatrice connaît Paul »... On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles. Dans le cas d’un ensemble fini, on peut alors tenter de représenter la relation par un diagramme: si F = et si G = , la relation aime peut être schématisée par le diagramme suivant : ensemble On pourra déplorer le fait que Delphine n’aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul. On peut aussi tenter de faire la liste des couples ainsi en relation. (pour plus de commodité, on ne conservera que les deux premières lettres du prénom) :G = En mathématique, un « couple » est formé de deux éléments mis entre parenthèses dans un ordre particulier. La relation est définie en première approche comme un ensemble de couples, c’est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l’ensemble relation. Si l’on appelle F l’ensemble des filles, et G l’ensemble des garçons, alors l’ensemble de tous les couples possibles est appelé « produit cartésien de F par G » et est noté F×G et la relation aime est alors définie par l’ensemble E, l’ensemble F et un sous-ensemble de E×F.

Définition formelle

Une relation binaire \mathcal d’un ensemble E vers un ensemble F est définie par une partie \mathcal de E×F. Si (x,y) \in \mathcal on dit que x est en relation avec y et on le note « x\mathcaly ».
- Dans le cas particulier où E = F on dit que \mathcal est une relation binaire définie sur E ou dans E.
- Dans le cas où E = F×F, on parlera de relation ternaire interne sur F.
- Plus généralement, si E = F n - 1, on parlera de relation n-aire sur F. On remarquera qu’il est nécessaire, dans une relation binaire, de préciser l’ensemble E (appelé ensemble de départ), l’ensemble F (appelé ensemble d’arrivée) ET la partie \mathcal de E \times F appelée le graphe de la relation. Une relation binaire peut être considérée comme une fonction de E×F à valeur dans l’ensemble , et qui à un couple ( x , y ) associe Vrai si x est en relation avec y et Faux sinon (indiquant si le couple ( x , y ) est un élément du graphe de la relation ou non).

Composition et inversion

Composition

Si \mathcal est une relation de E dans F et \mathcal de F dans G, on peut définir une relation \mathcal\circ \mathcal de E dans G par : : \mathcal_ = \left\ \, Notation: si \mathcal est une relation sur un ensemble E et n un entier naturel, on note \mathcal^n la composition de \mathcal avec elle-même n fois, avec la convention que \mathcal^0 dénote la relation d’égalité sur E.

Inversion

Si \mathcal est une relation de E sur F, on peut définir une relation de F sur E dite relation inverse ou réciproque, par : : \mathcal_ = \left\ \,. Exemples: : « plus petit que » et « plus grand que » sont des relations inverses l’une de l’autre. : « aime » et « est aimé par » sont aussi inverses l’une de l’autre.

Relation fonctionnelle

Lorsque, pour tout élément x de E, x n’est en relation qu’avec 0 ou 1 élément y de F, on dit que la relation est fonctionnelle. C’est un cas particulier de fonction. En langage formel, la propriété précédente s’écrit : : \forall x \in E, \forall y \in F, \forall z \in F , [ ( x , y ) \in \mathcal_ \and ( x , z ) \in \mathcal_ ] \Rightarrow ( y = z ) \, Pour plus de précisions, voir l'article « Fonction mathématique ». Exemple important : : La diagonale de E est définie par : :: \Delta_E = \left\ \,. : C’est le graphe de la relation d’égalité sur E, notée « =E », ou « = » en l’absence d’ambiguïté sur l’ensemble concerné. : Cette relation est aussi une fonction, l’identité de E, notée « IdE ».

Relation sur (ou dans) un ensemble

Si E = F, on parlera de relation sur (ou dans) E.

Propriétés liées à la réflexivité

Relation réflexive

La relation \mathcal sur E est réflexive ssi tout élément de E est en relation avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall x \in E , x \mathcal x \, Une relation est donc réflexive ssi son graphe contient la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \Delta_E \subseteq \mathcal_ \, En d’autres termes, l’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E est égale à cette diagonale. Exemples:
- la relation d’inclusion entre ensembles est réflexive : tout ensemble est inclus dans lui-même;
- dans un ensemble de nombres, la relation « est un diviseur de » est réflexive : tout nombre est son propre diviseur;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est réflexive... La clôture réflexive, notée « \mathcal^ \, », d’une relation \mathcal sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de \mathcal et de la diagonale de E : : \mathcal_ = \mathcal_ \cup \Delta_E \,

Relation irréflexive

La relation \mathcal sur E est irréflexive ssi tout élément de E n’est pas en relation avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall x \in E , x \not \!\,\mathcal x \, Une relation est donc irréflexive ssi son graphe est disjoint de la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \Delta_E \cap \mathcal_ = \empty \, L’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E se réduit donc à l’ensemble vide. Exemples :
- l’inégalité stricte sur les entiers est un exemple de relation irréflexive : aucun entier n’est strictement inférieur à lui-même;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est irréflexive : personne n’est son propre enfant;
- dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation irréflexive entre ses faces : aucune face n’a qu’un seul côté commun avec elle-même...

Relation aréflexive

La relation \mathcal sur E est aréflexive ssi elle n’est ni réflexive, ni irréflexive. L’intersection de son graphe avec la diagonale de E est donc une partie propre de cette diagonale. Exemple :
- parmi les entiers naturels, la relation « forme un produit pair avec » est aréflexive, puisque 2 est en relation avec lui-même (4 est pair) et 3 ne l’est pas (9 est impair). Remarque : les seules relations à la fois réflexives et irréflexives sont les relations vides. En conséquence, une relation non-vide est :
- soit réflexive
- soit irréflexive
- soit aréflexive

Propriétés liées à la symétrie

Relation symétrique

La relation \mathcal sur E est symétrique ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément est lui aussi en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( y \mathcal x ) \, Une relation est donc symétrique ssi son graphe se confond avec celui de sa relation inverse, c’est-à-dire si : : \mathcal_ = \mathcal_ \, ou encore : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \mathcal_ \,. Exemples :
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est symétrique;
- dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation symétrique entre ses faces : si une face a un côté commun avec une autre face, cette dernière a le même côté commun avec la première face;
- parmi les entiers naturels, la relation « forme un produit pair avec » est symétrique, car la multiplication des entiers est commutative. La clôture symétrique, notée « \mathcal^ \, », d’une relation \mathcal sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de \mathcal et de sa réciproque (ou inverse) : : \mathcal_ = \mathcal_ \cup \mathcal_ \, Cette clôture symétrique est d’ailleurs universelle parmi les relations symétriques contenant \mathcal (ce qui ici, sans entrer dans des considérations catégoriques, signifie que c’est la plus petite!).

Relation antisymétrique

La relation \mathcal sur E est antisymétrique ou faiblement antisymétrique ssi lorsque deux éléments de E sont en relation mutuelle, ils sont en fait confondus, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal x ) ] \Rightarrow ( x = y ) \, Une relation est donc faiblement antisymétrique ssi l'intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est incluse dans la diagonale de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ \subseteq \Delta_E \,. Exemples:
- les relations « plus grand que » et « plus petit que » sur les entiers naturels ou sur les réels.
- la relation « divise » dans l’ensemble des entiers naturels

Relation asymétrique

La relation \mathcal sur E est asymétrique ou fortement antisymétrique ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément n’est pas en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( y \not \!\,\mathcal x ) \, Une relation est donc fortement antisymétrique ssi l’intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est vide, c’est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,. Exemple :
- la relation « est strictement plus grand que » est une relation asymétrique dans l’ensemble des réels.
- dans l’univers des ensembles, la relation « est une partie propre de » est asymétrique;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est asymétrique : personne n’est son propre enfant, ni a fortiori l’enfant de ses enfants... Une relation est fortement antisymétrique ssi elle est faiblement antisymétrique et irréflexive (en d’autres termes, l’asymétrie est un cas particulier d’antisymétrie). Les seules relations symétriques et fortement antisymétriques sont les relations vides.

Relation isolante

La relation \mathcal sur E est isolante ssi tout élément de E ne peut être en relation qu’avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( x = y ) \, Une relation est donc isolante ssi son graphe est inclus dans la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \Delta_E \, Une relation est isolante ssi elle est symétrique et faiblement antisymétrique. Exemples :
- les relations vides sont isolantes;
- l’égalité est une relation isolante...

Relation dissymétrique

La relation \mathcal sur E est dissymétrique ssi elle n’est ni symétrique, ni antisymétrique. L’intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est donc une partie propre de son graphe non contenue dans la diagonale de E. Exemple :
- la relation « divise » dans l’ensemble des entiers relatifs est dissymétrique.

Propriétés liées à la transitivité

Relation transitive

La relation \mathcal sur E est transitive ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément est aussi en relation avec le troisième, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( x \mathcal z ) \, Une relation \mathcal est donc transitive ssi son graphe contient celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \mathcal_ \, Exemple :
- la relation \leq sur les entiers naturels est transitive. On appelle clôture transitive de \mathcal la relation :\bigcup_\mathcal^n elle est universelle parmi les relations transitives contenant \mathcal. Elle est notée « \mathcal^ ».

Relation circulaire

La relation \mathcal sur E est circulaire ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, ce troisième élément est aussi en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( z \mathcal x ) \, Une relation \mathcal est donc circulaire ssi le graphe de sa réciproque contient celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \mathcal_ \, Exemple :
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est circulaire...

Relation antitransitive

La relation \mathcal sur E est antitransitive ssi lorsqu'un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément n'est pas en relation avec le troisième, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( x \not \!\,\mathcal z ) \, Une relation \mathcal est donc antitransitive ssi son graphe est disjoint de celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,

Relation anticirculaire

La relation \mathcal sur E est anticirculaire ssi lorsqu'un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, ce troisième élément n'est pas en relation avec le premier, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( z \not \!\,\mathcal x ) \, Une relation \mathcal est donc anticirculaire ssi le graphe de sa réciproque est disjoint de celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,

Autres propriétés

Relation connexe

La relation \mathcal sur E est connexe ssi pour toute paire d'éléments distincts de E, elle institue au moins un lien entre les deux éléments considérés, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \vee ( y \mathcal x ) \vee ( x = y ) \, La relation est donc connexe ssi l'union de son graphe, de celui de sa réciproque et de la diagonale de E est égale au carré cartésien de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cup \mathcal_ \cup \Delta_E = E^2 \,

Relation totale

La relation \mathcal sur E est totale ssi pour toute paire d'éléments de E, elle institue au moins un lien entre les deux éléments considérés, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \vee ( y \mathcal x ) \, La relation est donc totale ssi l'union de son graphe avec celui de sa réciproque est égale au carré cartésien de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cup \mathcal_ = E^2 \, Exemple : la relation \leq sur l'ensemble des réels est une relation totale. Contre-exemple : la relation « divise » sur l'ensemble des entiers naturels n'est pas totale.

Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. C'est une erreur fréquente que de penser que la réflexivité est inutile : une relation transitive et symétrique semble être réflexive. En effet, pour tous x et y , si x\mathcaly alors y\mathcalx (par symétrie) et donc x\mathcalx (par transitivité). Mais la première assertion, x\mathcaly , n'est pas forcément toujours vraie ! Donc la propriété de réflexivité n'est pas une conséquence des deux autres. Le plus parfait exemple de relation d'équivalence, celui qui motive cette définition, est l'égalité. On appelle clôture équivalente de \mathcal, la relation dont le graphe est : : \Delta_E\cup(\mathcal_\cup \mathcal_)^ elle est universelle parmi les relations d’équivalences qui contiennent \mathcal. Pour plus d’information voir l’article « Relation d'équivalence ».

Relation d’ordre

Une relation d’ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique. Ces relations servent à généraliser la notion de « plus grand que ». Tous les éléments ne sont pas forcément comparables par une relation d’ordre; par exemple, dans le plan, si on utilise la relation « loin de l’origine », tous les points sur un même cercle centré sur l’origine sont incomparables. Si la relation est totale alors on dit que l’ordre est total. C’est le cas de la relation « plus grand que » sur les entiers naturels. Plus de détails dans l’article « Relation d'ordre ».

Exemples


- La relation d’appartenance sur E \times \mathcal(E)
- La relation d’inclusion sur \mathcal(E) (relation d’ordre)
- La relation inférieur ou supérieur sur \mathbb (relations d’ordres)
- la relation divise sur \mathbb (relation d’ordre)
- La relation d’égalité (congruencielle ou non) sur E (relation d’équivalence)

Nombre de relations binaires sur des ensembles finis

Considérons un ensemble E fini de cardinal n et un ensemble F fini de cardinal p. Nous pouvons facilement démontrer qu’il y a autant de relations binaires de E sur F que d’applications de E×F dans , ce qui donne 2 np relations. En particulier, si E = F , on trouve 2^ \, relations binaires sur E, dont
- 2^ \, relations réflexives
- 2^ \, relations symétriques
- Pour le nombre de relations transitives, il n’y a toujours pas actuellement de formule « fermée » Le nombre de relations d’équivalence est égal au nombre de partitions d’un ensemble, c’est-à-dire le nombre de Bell.

Voir aussi


- relation d'équivalence
- relation d'ordre
- fonction ja:二項関係

Préfaisceau

En mathématiques, dans la théorie des catégories, un préfaisceau sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie. On peut donc avoir des préfaisceaux d'ensembles, de groupes, d'anneaux ou de tout autre type d'objets... C'est un objet qui sert essentiellement à définir la notion de faisceau.

Vocabulaire

Soit \mathcal F un préfaisceau sur un espace X. Les éléments de \mathcal F(U), pour un ouvert U, sont appelés les sections du préfaisceau. Les éléments de \mathcal F(X) sont appelés sections globales. Lorsque V\subset U sont des ouverts de X, l'application de \mathcal F(U)\rightarrow\mathcal F(V) induite par le préfaisceau est appelée restriction. D'ailleurs, la restriction d'une section s de U à V est notée s|_V, comme la restriction d'une application.

Exemples


- sur tout espace topologique, on peut considérer le préfaisceau des fonctions constantes à valeurs dans n'importe quel ensemble;
- sur tout espace topologique, on peut considérer le préfaisceau des fonctions localement constantes à valeurs dans n'importe quel ensemble; c'est même un exemple de faisceau;
- sur une variété différentielle, on a le faisceau des fonctions C^\infty;
- sur une variété holomorphe, on a le faisceau des fonctions holomorphes. catégorie:Théorie des catégories

Faisceau

=Géométrie= En géométrie algébrique, un faisceau \mathcal F sur un espace topologique X est un préfaisceau vérifiant la propriété de recollement suivante: :pour tout ouvert U\subset X, tout recouvrement (U_i)_i de U, et toute famille de sections s_i\in\mathcal F(U_i), si pour tous i,j, s_i|_=s_j|_, alors il existe une unique section s\in\mathcal F(U) telle que \forall i, s|_=s_i. En des termes plus simples: un faisceau est un préfaisceau dont les sections sont définies localement et peuvent être construites par recollement.

Exemples


- Le préfaisceau des fonctions constantes n'est pas un faisceau, car si on considère deux ouverts disjoints, et deux fonctions constantes sur ces ouverts, on ne peut pas définir une fonction constante sur les deux ouverts, qui coincide avec elles en général. C'est dû au fait qu'une fonction constante est définie par une propriété globale.
- Les fonctions localement constantes, en revanche, forment bien un faisceau, de même que les fonctions dérivables, C^\infty, holomorphes... C'est dû au fait que la définition de ces fonctions est locale. =Autres acceptions=

Antiquité

Les faisceaux, longues baguettes liées ensemble et emblème de l'autorité des consuls de la République romaine, portés par les licteurs.

Politique italienne

Dans les années vingt, les Faisceaux italiens de combat sont les prodromes du fascisme italien : ils reprennent dans une version nationaliste le symbole romain. Catégorie:Géométrie algébrique ko:층 (수학)

Foncteur

théorie des catégories La notion de foncteur est le pendant catégorique de la notion d'application pour les ensembles.

Définitions

Un foncteur covariant d'une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal C', est une règle, notons-la \mathcal F, qui:
- à tout objet A de \mathcal C associe un objet de \mathcal C', noté \mathcal F(A);
- à toute flèche f : A\rightarrow B de \mathcal C associe une flèche \mathcal F(f) : \mathcal F(A)\rightarrow\mathcal F(B). Cette règle doit vérifier les propriétés suivantes:
- respect des identités: \mathcal F(I_A)=I_;
- respect de la composition: \mathcal F(g\circ f)=\mathcal F(g)\circ\mathcal F(f) Un foncteur contravariant de \mathcal C dans \mathcal C' est un foncteur covariant de \mathcal C^ dans \mathcal C'. C'est donc une règle qui inverse le sens des flèches.

Exemples


- Le foncteur identité d'une catégorie dans elle-même, qui laisse tout invariant.
- Les foncteurs d'oubli, d'une catégorie dont les objets sont donnés par beaucoup de propriétés, dans une catégorie dont les objets en ont moins, par exemple: :
- (Ab)\rightarrow(Grp), le foncteur qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (les flèches sont les mêmes); :
- (Grp)\rightarrow(Ens) qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (il y a plus de flèches dans la catégorie d'arrivée!).
- En théorie de Galois, la correspondance entre les sous-groupes du groupe de Galois et les extensions algébriques, est un foncteur (la correspondance ne porte ni sur tous les sous-groupes, ni sur toutes les extensions: voir l'article correspondant) [à étoffer].

Propriétés

Un foncteur transforme un isomorphisme en isomorphisme. catégorie:Théorie des catégories

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x   ∈   A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z \ _\not\in A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : : ( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \, où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : : \forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \, L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : : \forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \, où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : : \forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \, SP2 : deux paires     et     sont égales ssi   a 1 est égal à b 1   et   a 2 à b 2 ,   ou si   a 1 est égal à b 2   et   a 2 à b 1 : : \forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, :: ( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : \ _\mathbb N = .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : : \forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \, L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
-   désigne l’ensemble des nombres réels,
-   désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et     note l’ensemble     de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
-   désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P.   Par exemple, si \ _\mathbb Z est l’ensemble des nombre entiers, alors     est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
-   désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent,     est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
-   est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple,     est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi


- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Fonction et application

Mathématiques > Algèbre abstraite > Correspondance et relation > fonction

Présentation

On peut voir une fonction comme une « transformation » d’un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...).

Définition


- Formellement, une fonction f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une correspondance ou relation qui est fonctionnelle; : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   n’apparait au plus qu’une fois. :
- E   est l’ensemble de départ de f ; :
- F   est l’ensemble d’arrivée de f ; :
- et G   est le graphe de f ; G   est noté parfois « Gf » ou « G( f ) » pour préciser de quelle fonction on parle.
- On appelle ensemble de définition de la fonction f   l’ensemble-antécédent de f, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de E   tels qu’il existe un élément y dans F   vérifiant   ( x , y ) ∈ G. L'ensemble de définition de f, noté habituellement « D( f ) » , est un sous-ensemble de E. :Pour tout x de D( f ) , on note « f ( x ) » l’unique élément de F tel que   ( x , f ( x )) ∈ G. :
- Si X et Y sont deux variables, dans Y = f ( X ) , X est une variable indépendante et Y une variable dépendante ( de X ).
- On appelle ensemble-image de f   l’ensemble des éléments y de F   tels qu’il existe un élément x dans E   vérifiant f ( x ) = y. :L’ensemble-image de f, noté « Im( f ) » , est un sous-ensemble de F.
- L’image par f   d’un sous-ensemble E ' de E   est :   f ( E ' ) = . :C’est un sous-ensemble de F , et on a : Im( f ) = f ( E ).
- L’image réciproque ou antécédent par f   d’un sous-ensemble F ' de F   est :   f -1( F ' ) = . :C’est un sous-ensemble de E , et on a : D( f ) = f -1( F ).
- On peut appliquer une fonction f en un point x de son ensemble de définition ; le résultat est noté f ( x ) , et c'est l’unique élément de l’image tel que ( x , f ( x )) ∈ Gf .

Notion d’application

Définition


- Formellement, une application f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une fonction applicative, c'est-à-dire une correspondance dont tout élément de l'ensemble de départ E   a une et une seule image : : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   apparait une et une seule fois.
- C'est aussi une fonction telle que D( f ) = E. triplet

Exemples


- L’identité ou application identique d’un ensemble ( voir ci-contre ) est l’application de cet ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe cet élément et lui seul (son graphe est donc la diagonale de l’ensemble).
- Si E et F sont des ensembles non vides, et si b est un élément de F , on peut définir l’application constante de valeur b , de E dans F , qui à tout élément associe b (son graphe est donc ).

Restriction d’une fonction

Soit une fonction f d’un ensemble E dans un ensemble F. Si E ' est un sous-ensemble de E , on appelle restriction de f à E '   la fonction notée « f |E ' » de E ' dans F dont le graphe est : : G( f |E ' ) = Remarque : la condition   y = f ( x )   ci-dessus implique que x appartient à D( f ) et que y appartient à Im( f ).

Composition de fonctions

Définition

La composition de deux fonctions permet d’obtenir une troisième fonction, en « appliquant » la deuxième fonction au résultat de la première. Soient deux fonctions :   f : E → F   et   g : F → G   ; leur fonction composée g o f   a pour graphe: : G_ = \left\ \, (c’est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!) En particulier, si x est dans l’ensemble de définition de g o f , on a : g o f ( x ) = g [ f ( x )]. Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et que la composée de deux fonctions est une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine de définition vide!

Théorèmes de monotonie

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante. La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Injectivité et surjectivité


- Une fonction f est dite injective ( ou que c'est une injection, s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall x \in E , \forall y \in E , [ f ( x ) = f ( y ) ] \Rightarrow [ x = y ] \,. : Cela signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition. : La composée de deux injections est une injection et, inversement, si g o f   est une injection, alors f   est une injection.
- Une fonction f est dite surjective ( ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall y \in F , \exists x \in E /\, f ( x ) = y . : En d'autres termes, f est surjective ssi l'image de f est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ. : La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si g o f   est une surjection, alors g   est une surjection.
- Une application est dite bijective ( ou que c'est une bijection ) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Bien sûr, les applications ne sont pas toutes des bijections ! : La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Réciproque d'une fonction


- La correspondance réciproque d’une fonction f est une fonction ssi f est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective. La notation habituelle pour cette fonction réciproque est « f -1 » , mais elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse de f, 1 / f , qui peut aussi se noter « f -1 » , et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.
- De manière analogue, la correspondance réciproque d’une application f est une application ssi f est bijective, et cette application réciproque est elle-même une bijection.

Décomposition canonique

On appelle relation binaire associée canoniquement à la fonction f   la correspondance f -1 o f   définie dans E par : : « x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f » Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si f est une application ( voir l'article « Opération sur des correspondances » ). Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient E / ( f -1 o f   ) et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x   de E   sa classe d'équivalence par f -1 o f  , qui n'est autre que f -1 ( ), ensemble des antécédents de f ( x ). Considérons alors la correspondance i de E / ( f -1 o f   ) dans F définie par : : « A est en relation avec y ssi A est l'ensemble des antécédents de y par f -1 o f   » Cette correspondance est une injection, l' injection canonique associée à l'application f. On montre aisément que : f = i o s. En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :
- la surjection s est une bijection ssi f est une injection, c'est-à-dire si f -1 o f = Id E .
- l'injection i est une bijection ssi f est une surjection, c'est-à-dire si f o f -1 = Id F . Ce qui précède peut être étendue à une fonction quelconque, à condition de « compléter » le graphe de f -1 o f   par la diagonale de E, de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que i n'est plus qu'une fonction. En résumé : Toute fonction peut être décomposée de façon unique en une surjection et une fonction injective.
Cette décomposition est la décomposition canonique de la fonction.

Parité d’une fonction réelle

Article détaillé : Parité d'une fonction réelle Une fonction f : E\to F, avec E\subseteq\R et F\subseteq\R,  est  :
- paire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(x) = f(-x). Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.

- impaire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(-x) = -f(x). Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Voir aussi

Articles connexes


- Étude de fonction Catégorie:Mathématiques
- Catégorie:Théorie des ensembles ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Fonction et application

Mathématiques > Algèbre abstraite > Correspondance et relation > fonction

Présentation

On peut voir une fonction comme une « transformation » d’un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...).

Définition


- Formellement, une fonction f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une correspondance ou relation qui est fonctionnelle; : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   n’apparait au plus qu’une fois. :
- E   est l’ensemble de départ de f ; :
- F   est l’ensemble d’arrivée de f ; :
- et G   est le graphe de f ; G   est noté parfois « Gf » ou « G( f ) » pour préciser de quelle fonction on parle.
- On appelle ensemble de définition de la fonction f   l’ensemble-antécédent de f, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de E   tels qu’il existe un élément y dans F   vérifiant   ( x , y ) ∈ G. L'ensemble de définition de f, noté habituellement « D( f ) » , est un sous-ensemble de E. :Pour tout x de D( f ) , on note « f ( x ) » l’unique élément de F tel que   ( x , f ( x )) ∈ G. :
- Si X et Y sont deux variables, dans Y = f ( X ) , X est une variable indépendante et Y une variable dépendante ( de X ).
- On appelle ensemble-image de f   l’ensemble des éléments y de F   tels qu’il existe un élément x dans E   vérifiant f ( x ) = y. :L’ensemble-image de f, noté « Im( f ) » , est un sous-ensemble de F.
- L’image par f   d’un sous-ensemble E ' de E   est :   f ( E ' ) = . :C’est un sous-ensemble de F , et on a : Im( f ) = f ( E ).
- L’image réciproque ou antécédent par f   d’un sous-ensemble F ' de F   est :   f -1( F ' ) = . :C’est un sous-ensemble de E , et on a : D( f ) = f -1( F ).
- On peut appliquer une fonction f en un point x de son ensemble de définition ; le résultat est noté f ( x ) , et c'est l’unique élément de l’image tel que ( x , f ( x )) ∈ Gf .

Notion d’application

Définition


- Formellement, une application f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une fonction applicative, c'est-à-dire une correspondance dont tout élément de l'ensemble de départ E   a une et une seule image : : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   apparait une et une seule fois.
- C'est aussi une fonction telle que D( f ) = E. triplet

Exemples


- L’identité ou application identique d’un ensemble ( voir ci-contre ) est l’application de cet ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe cet élément et lui seul (son graphe est donc la diagonale de l’ensemble).
- Si E et F sont des ensembles non vides, et si b est un élément de F , on peut définir l’application constante de valeur b , de E dans F , qui à tout élément associe b (son graphe est donc ).

Restriction d’une fonction

Soit une fonction f d’un ensemble E dans un ensemble F. Si E ' est un sous-ensemble de E , on appelle restriction de f à E '   la fonction notée « f |E ' » de E ' dans F dont le graphe est : : G( f |E ' ) = Remarque : la condition   y = f ( x )   ci-dessus implique que x appartient à D( f ) et que y appartient à Im( f ).

Composition de fonctions

Définition

La composition de deux fonctions permet d’obtenir une troisième fonction, en « appliquant » la deuxième fonction au résultat de la première. Soient deux fonctions :   f : E → F   et   g : F → G   ; leur fonction composée g o f   a pour graphe: : G_ = \left\ \, (c’est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!) En particulier, si x est dans l’ensemble de définition de g o f , on a : g o f ( x ) = g [ f ( x )]. Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et que la composée de deux fonctions est une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine de définition vide!

Théorèmes de monotonie

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante. La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Injectivité et surjectivité


- Une fonction f est dite injective ( ou que c'est une injection, s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall x \in E , \forall y \in E , [ f ( x ) = f ( y ) ] \Rightarrow [ x = y ] \,. : Cela signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition. : La composée de deux injections est une injection et, inversement, si g o f   est une injection, alors f   est une injection.
- Une fonction f est dite surjective ( ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall y \in F , \exists x \in E /\, f ( x ) = y . : En d'autres termes, f est surjective ssi l'image de f est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ. : La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si g o f   est une surjection, alors g   est une surjection.
- Une application est dite bijective ( ou que c'est une bijection ) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Bien sûr, les applications ne sont pas toutes des bijections ! : La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Réciproque d'une fonction


- La correspondance réciproque d’une fonction f est une fonction ssi f est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective. La notation habituelle pour cette fonction réciproque est « f -1 » , mais elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse de f, 1 / f , qui peut aussi se noter « f -1 » , et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.
- De manière analogue, la correspondance réciproque d’une application f est une application ssi f est bijective, et cette application réciproque est elle-même une bijection.

Décomposition canonique

On appelle relation binaire associée canoniquement à la fonction f   la correspondance f -1 o f   définie dans E par : : « x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f » Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si f est une application ( voir l'article « Opération sur des correspondances » ). Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient E / ( f -1 o f   ) et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x   de E   sa classe d'équivalence par f -1 o f  , qui n'est autre que f -1 ( ), ensemble des antécédents de f ( x ). Considérons alors la correspondance i de E / ( f -1 o f   ) dans F définie par : : « A est en relation avec y ssi A est l'ensemble des antécédents de y par f -1 o f   » Cette correspondance est une injection, l' injection canonique associée à l'application f. On montre aisément que : f = i o s. En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :
- la surjection s est une bijection ssi f est une injection, c'est-à-dire si f -1 o f = Id E .
- l'injection i est une bijection ssi f est une surjection, c'est-à-dire si f o f -1 = Id F . Ce qui précède peut être étendue à une fonction quelconque, à condition de « compléter » le graphe de f -1 o f   par la diagonale de E, de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que i n'est plus qu'une fonction. En résumé : Toute fonction peut être décomposée de façon unique en une surjection et une fonction injective.
Cette décomposition est la décomposition canonique de la fonction.

Parité d’une fonction réelle

Article détaillé : Parité d'une fonction réelle Une fonction f : E\to F, avec E\subseteq\R et F\subseteq\R,  est  :
- paire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(x) = f(-x). Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.

- impaire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(-x) = -f(x). Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Voir aussi

Articles connexes


- Étude de fonction Catégorie:Mathématiques
- Catégorie:Théorie des ensembles ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Localisation

localisation logicielle La localisation est souvent l'adaptation d'un objet à un emplacement. Un exemple en est la localisation logicielle, où les messages présentés par un programme à l'utilisateur ont besoin d'être traduit dans plusieurs langues. anneau

Notion intuitive

La localisation est une des opérations de base sur un anneau commutatif unitaire; c'est elle qui permet de rajouter des inverses aux éléments qui peuvent raisonnablement en avoir (les diviseurs de zéro sont l'exemple typique d'élément qu'il est déraisonnable de vouloir inverser).

Définition rigoureuse

On définit une partie multiplicative S d'un anneau A comme étant une partie de A contenant 1, et stable par multiplication. La localisation de l'anneau A en la partie S est alors un anneau, noté S^A, et un morphisme l:A\rightarrow S^A, tels que: l(S)\subset(S^A)^
- , et universels ayant cette propriété; c'est-à-dire que pour tout un morphisme d'anneaux f:A\rightarrow B, si f(S)\subset B^
- , alors il existe un unique morphisme g: S^A\rightarrow B tel que f=g\circ l.

Exemples importants


- les éléments réguliers A^\times forment une partie multiplicative; l'anneau (A^\times)^A est l'anneau total des fractions de A;
- le complémentaire d'un idéal premier p est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note A_p=(A-p)^A. C'est un anneau local.

A voir


- la construction des nombres rationnels

Homéomorphisme

ja:位相同型 Catégorie:Topologie Un homéomorphisme entre deux espaces topologiques est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont l'inverse est aussi continue. La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. Les homéomorphismes sont d'ailleurs les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques. En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse continu. Et il est très difficile, quand on a une application, d'étudier son inverse pour savoir s'il est continu. Néanmoins, il existe un célèbre cas particulier, magique, où les choses fonctionnent bien: :Proposition Soit K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f:K\rightarrow E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme.

Voir aussi

Morphisme Isomorphisme Homeomorphism (angl.) : la page en anglais, avec plus d'informations

Catégorie:Théorie

Catégorie:Sciences

Article principal


- Théorie

Catégorie:Théorie des catégories

Catégorie:Mathématiques

31 Augusti

31 Augusti dies 243ª anni est (244ª in annis bisextilibus) in Calendario Gregoriano. 122 dies manent.
- Pridie Kalendas Augusti est.

Eventa

Natales


- 1880—Vilelmina regina Nederlandiae. (†1962)

Mortes


- 1997 — Diana principissa Cambriae mortua in Lutetiam est. (
- 1961)

Festa et Feria

ja:8月31日 ko:8월 31일 ms:31 Ogos simple:August 31 th:31 สิงหาคม

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