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Quasigroupe

Quasigroupe

Catégorie:Algèbre Catégorie:Algèbre abstraite En mathématique, un quasigroupe est un magma symogène, dans lequel la « division » est toujours possible.

Présentation

Les mathématiciens qui se sont intéressés à la notion de groupe ont découvert que le tableau définissant la loi d'un groupe vérifie un lemme, dit de réarrangement : :chaque élément du groupe apparait une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table. Mais ils ont aussi découvert que tout tableau vérifiant cette propriété ne définit pas obligatoirement la loi d'un groupe. La loi obtenue est cependant « quasiment » celle d'un groupe, d'où le nom de quasigroupe donné aux structures correspondantes. Le lemme de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle : :- dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous x et z, l'équation x
- y = z a une et une seule solution en y; :- de même, dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous y et z, l'équation x
- y = z a une et une seule solution en x.

Définition formelle

Un quasigroupe est un magma ( E ,

-  \,

) non vide et symogène, c'est-à-dire un ensemble E non vide muni d'une loi de composition interne

-  \,

symogène. Une loi

-  \,

est dite symogène s'il existe pour chaque couple ( a , b ) une solution ( x , y ) unique aux équations : :a

-  \,

x = b et y

-  \,

a = b , c'est-à-dire si : :

\forall ( a , b ) \in E^2 , \,

[ \exists x \in E /\, ( a  -  x = b ) \wedge [ \forall z \in E , ( a  -  z = b ) \Rightarrow ( z = x )] ] \,

:::

\wedge [ \exists y \in E /\, ( y  -  a = b ) \wedge [ \forall z \in E , ( z  -  a = b ) \Rightarrow ( z = y )] ] \,

Principales propriétés

- La loi d'un quasigroupe est régulière. :En effet, si x

- \,

y = x

- \,

z , alors il existe c tel que c = x

- \,

y et c = x

- \,

z . :Mais d'après le lemme de réarrangement, l'équation c = x

- \,

y a une et une seule solution en y. Donc y = z , et la loi est régulière à gauche. :On montre de manière analogue que la loi est régulière à droite, d'où CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer).
- La table de multiplication d'un quasigroupe fini est appelée un carré latin : une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne.
- La « division » est toujours possible dans un quasigroupe. :Soit « • » la correspondance de E × E dans E définie par : ::

\forall x \in E , \forall y \in E , \forall z \in E , [ ( x , y ) \bullet z ] \Leftrightarrow [ z  -  y = x ] \,

:Cette correspondance est intuitivement « l'opération inverse » de l'opération

-  \,

, autrement dit une « division »; :C'est une application car

-  \,

est régulière. C'est donc une loi de composition interne : ( E , • ) est un magma, et la « division » • s'applique donc à tous les couples de E ².

Structures dérivées

- Un quasigroupe avec un élément neutre est appelé une boucle (loop en anglais). D'après la définition des quasigroupes, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche.
- Un moufang ou boucle de Moufang est un quasigroupe neutroactif, c'est-à-dire un quasigroupe ( E ,

- \,

) dans lequel, pour tous a, b et c : ::

( a  -  b )  -  ( c  -  a ) = ( a  -  ( b  -  c ))  -  a \,

:Comme son nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle; en effet : ::Pour tout a de E, si e est un élément de E tel que a
- e = a , alors pour tout x dans E, (x
- a)
- x = (x
- (a
- e))
- x = (x
- a)
- (e
- x) ; ::donc x = e
- x et e est un élément neutre à gauche. ::Pour tout b appartenant à E tel que b
- e = e , y
- b = e
- (y
- b) , car e est neutre à gauche ; :: ainsi (y
- b)
- e = (e
- (y
- b))
- e = (e
- y)
- (b
- e) = (e
- y)
- e = y
- e , ::d'où y
- b = y , et b est donc neutre a droite. ::Enfin, e = e
- b = b , et b est donc un élément neutre.
- Tout groupe est un quasigroupe : en effet, la loi d'un groupe est symogène : a
- x = b si et seulement si x = a^-1
- b , et y
- a = b si et seulement si y = b
- a^-1 . :Inversement, tout quasigroupe associatif est un moufang, donc une boucle, et toute boucle associative est un groupe. :Ceci montre que l'ensemble des groupes est exactement l'ensemble des quasigroupes associatifs. La théorie des boucles est similaire à celle des groupes.

Exemples de quasigroupes

- Tout groupe.
- Tout système triple de Steiner.
- L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre sur un corps de base de dimension finie avec des diviseurs non nuls. (Par exemple les octonions non nuls).
- Rⁿ avec l'opération x
- y = (x + y) / 2. Plus généralement, tout espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de 2 muni de cette opération est un quasigroupe.

Voir aussi

- Structures algébriques
- Loi de composition interne

Catégorie:Algèbre

Catégorie:Mathématiques Article principal : Algèbre ja:Category:代数学 ko:분류:대수학

Mathématique

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Loi de composition interne

L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations en cause. Parmi les opérations étudiées, les lois de composition interne occupent une place privilégiée.

Présentation

On nomme loi de composition interne dans un ensemble une opération qui prend deux éléments de l’ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l’addition ou la multiplication sont des lois de composition interne. Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l’opération doit être définie partout). Ainsi :
- la division n’est pas une loi de composition interne, parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens.
- la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
- s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels , ce n’en est pas une, puisque « 3 - 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
- si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs , alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

Exemple

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
- zéro est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, 5 + 0 = 5 , et 0 + 8 = 8 ;
- pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre, zéro. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : 3 + (-3) = 0 ;
- on peut échanger les deux éléments autour du signe «

+

» : 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . On dit que l’opération est commutative ;
- on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : 3 + 5 + 4 peut se calculer de deux manières :
- en calculant d’abord 3 + 5 = 8 puis en ajoutant 4 au résultat,
- ou en calculant 5 + 4 = 9 avant de calculer 3 + 9 . :Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) . On dit que l’opération est associative. Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
- le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
- le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
- on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité. L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un groupe abélien. L’algèbre s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application

- \,

de E × E dans E ( il s'agit donc de relations ternaires internes ). Un ensemble E muni d’une loi de composition interne

- \,

constitue une structure appelée magma et notée « ( E ,

- \,

) ». Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :
- les applications constantes : si c appartient à E :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = c ;
- l’application sélectionnant le terme de gauche :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = x ;
- l’application sélectionnant le terme de droite :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = y.

Éléments particuliers

Carrés et dérivés

Dans un magma ( E ,

- \,

), certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :
- un élément

c \,

est dit carré ssi :

\exists\ x \in E /\ x  -  x = c \,

:En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x ² ».
- un élément

s \,

est dit idempotent ou projecteur ssi :

s  -  s = s \,

:En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
- un élément

d \,

est dit dévolutif ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent.

Neutres et dérivés

- un élément

e \,

est dit neutre à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche; :Tout élément neutre, même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent.
- un élément

s \,

est dit involutif s’il existe un élément neutre

e \,

et si :

s  -  s = e \,

; :L’élément neutre est nécessairement involutif.

Absorbants et dérivés

- un élément

a \,

est dit absorbant à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant lorsqu’il est absorbant à droite et à gauche; :Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.
- un élément

s \,

est dit nilpotent s’il existe un élément absorbant

a \,

et si :

s  -  s = a \,

; :L’élément absorbant est nécessairement nilpotent.

Centre d'une structure

- un élément

c \,

est dit commutatif ou central ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  c = c  -  x  \,

:Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs. :On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

- un élément

s \,

est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = s  -  y ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x  -  s = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;
- un élément

s \,

est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s  -  x = s  -  y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x  -  s = y  -  s ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s  -  r = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r  -  s = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :
- deux éléments

r \,

s \,

seront dits permutables ou commutants ssi :

r  -  s = s  -  r \,

- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits symétriques ou inversibles : :- s’il existe un élément neutre

e \,

, :- et si :

r  -  s = e \,

;
- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants : :- s’il existe un élément absorbant

a \,

, :- si aucun des deux éléments n’est égal à

a \,

, :- et si :

r  -  s = a \,

; :Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro. Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E ,

- \,

); la loi

- \,

peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

- \,

est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;
-

- \,

est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;
-

- \,

est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = e  -  x = x \,

:Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite; :L’élément neutre d’une loi unifère est unique;
-

- \,

est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;
-

- \,

est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;
-

- \,

est dite absorbante s’il existe un élément absorbant

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a  -  x = a \,

:Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite; :L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;
-

- \,

est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif

d \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ d \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;
-

- \,

est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = a ) \Rightarrow ( x = a \vee y = a ) \ ] \,

- \,

est dite anticommutative si elle est unifère et si l’élément neutre est le seul élément commutatif, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = e ) \Rightarrow ( x = e \vee y = e ) \ ] \,

Régularité et propriétés liées

- \,

est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = x  -  z ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y  -  x = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x  -  y = x  -  z ) \wedge ( y  -  x = z  -  x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,

:Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite; :On peut noter que si

-  \,

est régulière à gauche (resp. à droite), alors

-  \,

est injective (resp. surjective).
-

- \,

est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a , b ) de E ² une solution ( x , y ) unique aux équations a

- \,

x = b et y

- \,

a = b , c’est-à-dire si : :

\forall\ ( a , b ) \in E^2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a  -  x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a  -  z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,

::::

\wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y  -  a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z  -  a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,

:Cette propriété est moins forte que la régularité, puisque toute loi régulière est nécessairement symogène;

Associativité et propriétés analogues

- \,

est dite associative ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y  -  z ) = ( x  -  y )  -  z \,

:On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; on peut noter aussi que la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’adition, la multiplication, la composition des correspondances,...).
-

- \,

est dite alternative ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x  -  ( x  -  y ) = ( x  -  x )  -  y \ ] \wedge [\ ( x  -  y )  -  y = x  -  ( y  -  y )\ ] \,

:Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.
-

- \,

est dite associative des puissances ssi : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  ( x  -  x ) = ( x  -  x )  -  x \,

:Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi alternative est nécessairement associative des puissances. :Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) : ::- la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement « x ⁿ », est égale au résultat de la composition de x selon

- \,

, (n - 1) fois avec lui-même; ainsi x ¹ = x ; x ² = x

- \,

x ; x ³ = x

- \,

- \,

x ;... ::- si, de plus, la loi

- \,

présente un élément neutre e, on pose alors x ⁰ = e
-

- \,

est dite permutative ssi : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x  -  y )  -  ( z  -  t ) = ( x  -  z )  -  ( y  -  t ) \,

:Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus. :Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi associative et commutative est nécessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nécessairement permutative, et qu’une loi permutative, même commutative, n’est pas nécessairement associative. :(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans

\mathbb

et la division dans

\mathbb -

, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...).
-

- \,

est dite neutroactive ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 , ( x  -  ( y  -  z ))  -  x = ( x  -  y )  -  ( z  -  x ) \,

:Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

- \,

est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = x \,

- \,

est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x  -  y = y  -  x \,

; :Les lois commutatives sont notées par « + », «

\top

» ou «

\bot

» plutôt que par «

- \,

». : Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans

\mathbb

) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans

\R_+^ -

). La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive. Toutefois, nous n’en indiquerons ici qu’une autre : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importantes de ces lois relatives est la distributivité.
- Une loi

- \,

peut être distributive par rapport à une autre loi

\bot

(par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y )  -  ( z \bot t ) = [ ( x  -  z ) \bot ( x  -  t ) ]\ \bot\ [ ( y  -  z ) \bot (y  -  t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties : :- distributivité à gauche : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y \bot z ) = ( x  -  y ) \bot ( x  -  z ) \,

:- distributivité à droite : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y )  -  z = ( x  -  z ) \bot ( y  -  z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi

\bot

est régulière et unifère , alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi

- \,

. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E ,

- \,

) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre

e \,

. Il est alors possible de définir les notions suivantes:
- un élément

s \,

est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si : :

\exists\ s' \in E /\ s'  -  s = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si : :

\exists\ s' \in E /\ s  -  s' = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à droite de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux; : s' est alors appelé élément symétrique de s;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles; Si la loi

-  \,

est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « s ^-1 ». Exemples :
- 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels;
- 2 est symétrisable, de symétrique -2, pour l’addition dans les entiers relatifs;
- 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs;
- 2 est inversible, d’inverse

\frac

, pour le produit dans les rationnels. Remarque : : Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.

Voir aussi

- Algèbre abstraite
- Relation ternaire interne
- Structure algébrique
- Loi de composition ja:二項演算 catégorie:Algèbre Composition

Division

Cet article concerne les mathématiques. Voir aussi division (biologie), division (militaire), division (sport) et division cellulaire. La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre". À l'origine, la division sert à faire un partage équitable : Comment répartir 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, de manière équitable ? La division donne la réponse :

\frac = 62,5

Chaque personne obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin

Vocabulaire & notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note

\frac ab

. Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère :

\frac 34

indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a trois -> "trois quarts" Diophante et les Romains, au 4e siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au XIIe siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz. Les fabricants de calculatrices impriment les symboles

\div

ou / sur la touche "opérateur division". L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture "en ligne" utilisée en imprimerie ou sur un écran. Aujourd'hui, en classe de 6ème de collège, les notations

\div

: et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut (discutable) d'opération. Une nuance de sens est communément admise :

a $\div$ b et a:b désignent une opération (i.e. non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b.
$\frac ab$ et a/b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.

Définition

Étant donné un anneau intègre (A,+,×), la division sur A est la loi de composition :

A\times A \to A

, notée par exemple « ÷ », telle que

\forall (a,b,c)\in A\times A\times A

, a ÷ b = c si et seulement si b × c = a. L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur

A\times(A-\)

si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0. Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble A en posant que

\forall (a,b)\in A\times A

, a ÷ b est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau A. C'est ainsi que l'on construit

\mathbb

à partir de

\mathbb

. Une construction plus rigoureuse de

\mathbb

le définit comme l'ensembles quotient de

\mathbb\times (\mathbb-\)

par la relation d'équivalence

R

définie par

\forall ((a,b),(a',b')),(a,b)R(a',b') <=> ab'=a'b

. Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent. Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque

\forall (a,b)\in \mathbb\times(\mathbb-\)

\

est une partie de

\mathbb

non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément. Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro.

Propriétés

La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne, définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire. "Non-propriétés"

non-commutative car 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5
non-associative car 12 ÷ (4 ÷ 3) ≠ (12 ÷ 4) ÷ 3

Remarques

pseudo-élément neutre à droite : 1
$\frac a1 = a$
pseudo-élément absorbant à gauche : 0
si b ≠ 0, $\frac 0b = 0$
égalité de fractions
- de même dénominateur
  si b ≠ 0, $\frac ab = \frac cb <=> a=c$
- en général (qui découle de la construction de $\mathbb$ )
  si b ≠ 0 et d ≠ 0, $\frac ab = \frac cd <=> ad=bc$
ordre
si b > 0, $\frac ab$ et $\frac cb$ sont dans le même ordre que a et c

Algorithme de la division

Cet algorithme sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers, qui se généralise au quotient de deux nombres décimaux Dans certains cas, la division "ne se termine pas", ce qui signifie que l'agorithme itère à l'infini. Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur. Dans une division non exacte a

\div

b (a et b étant deux nombres entiers, b non nul), si on note

q_p

r_p

respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :

\frac ab \mathbb q_p

10^

près ou

q_p <\frac ab < q_p+10^

\frac ab = q_p + \frac

Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition.

Maths & langue française

On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite. Ainsi, on peut :
- diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
- simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
- diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
- simplement diviser 1 en 36ème
- etc. On peut également diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique.

\frac ab = c

: « a divisé par b est égal à c ».

Voir aussi

- Divisibilité
- Division euclidienne
- Fraction
- Modulo
- Multiplication Catégorie:Arithmétique ja:除法 simple:Division th:การหาร

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x ∈ A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z

\ _\not\in

A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : :

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires et sont égales ssi a₁ est égal à b₁ et a₂ à b₂, ou si a₁ est égal à b₂ et a₂ à b₁ : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,

( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par :

\ _\mathbb N

= .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : :

\forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \,

L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
- désigne l’ensemble des nombres réels,
- désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et note l’ensemble de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
- désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P. Par exemple, si

\ _\mathbb Z

est l’ensemble des nombre entiers, alors est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
- désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
- est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple, est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi

- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
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- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Loi de composition interne

Présentation

Exemple

+

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application

- \,

de E × E dans E ( il s'agit donc de relations ternaires internes ). Un ensemble E muni d’une loi de composition interne

- \,

constitue une structure appelée magma et notée « ( E ,

- \,

) ». Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :
- les applications constantes : si c appartient à E :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = c ;
- l’application sélectionnant le terme de gauche :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = x ;
- l’application sélectionnant le terme de droite :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = y.

Éléments particuliers

Carrés et dérivés

Dans un magma ( E ,

- \,

), certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :
- un élément

c \,

est dit carré ssi :

\exists\ x \in E /\ x  -  x = c \,

:En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x ² ».
- un élément

s \,

est dit idempotent ou projecteur ssi :

s  -  s = s \,

:En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
- un élément

d \,

est dit dévolutif ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent.

Neutres et dérivés

- un élément

e \,

est dit neutre à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

- un élément

e \,

s \,

est dit involutif s’il existe un élément neutre

e \,

et si :

s  -  s = e \,

; :L’élément neutre est nécessairement involutif.

Absorbants et dérivés

- un élément

a \,

est dit absorbant à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant lorsqu’il est absorbant à droite et à gauche; :Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.
- un élément

s \,

est dit nilpotent s’il existe un élément absorbant

a \,

et si :

s  -  s = a \,

; :L’élément absorbant est nécessairement nilpotent.

Centre d'une structure

- un élément

c \,

est dit commutatif ou central ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  c = c  -  x  \,

:Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs. :On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

- un élément

s \,

est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = s  -  y ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x  -  s = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;
- un élément

s \,

est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s  -  x = s  -  y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x  -  s = y  -  s ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s  -  r = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r  -  s = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :
- deux éléments

r \,

s \,

seront dits permutables ou commutants ssi :

r  -  s = s  -  r \,

- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits symétriques ou inversibles : :- s’il existe un élément neutre

e \,

, :- et si :

r  -  s = e \,

;
- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants : :- s’il existe un élément absorbant

a \,

, :- si aucun des deux éléments n’est égal à

a \,

, :- et si :

r  -  s = a \,

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E ,

- \,

); la loi

- \,

peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

- \,

est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;
-

- \,

est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;
-

- \,

est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = e  -  x = x \,

:Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite; :L’élément neutre d’une loi unifère est unique;
-

- \,

est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;
-

- \,

est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;
-

- \,

est dite absorbante s’il existe un élément absorbant

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a  -  x = a \,

:Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite; :L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;
-

- \,

est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif

d \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ d \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;
-

- \,

est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = a ) \Rightarrow ( x = a \vee y = a ) \ ] \,

- \,

est dite anticommutative si elle est unifère et si l’élément neutre est le seul élément commutatif, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = e ) \Rightarrow ( x = e \vee y = e ) \ ] \,

Régularité et propriétés liées

- \,

est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = x  -  z ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y  -  x = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x  -  y = x  -  z ) \wedge ( y  -  x = z  -  x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,

:Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite; :On peut noter que si

-  \,

est régulière à gauche (resp. à droite), alors

-  \,

est injective (resp. surjective).
-

- \,

est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a , b ) de E ² une solution ( x , y ) unique aux équations a

- \,

x = b et y

- \,

a = b , c’est-à-dire si : :

\forall\ ( a , b ) \in E^2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a  -  x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a  -  z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,

::::

\wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y  -  a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z  -  a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,

:Cette propriété est moins forte que la régularité, puisque toute loi régulière est nécessairement symogène;

Associativité et propriétés analogues

- \,

est dite associative ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y  -  z ) = ( x  -  y )  -  z \,

- \,

est dite alternative ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x  -  ( x  -  y ) = ( x  -  x )  -  y \ ] \wedge [\ ( x  -  y )  -  y = x  -  ( y  -  y )\ ] \,

:Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.
-

- \,

est dite associative des puissances ssi : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  ( x  -  x ) = ( x  -  x )  -  x \,

- \,

, (n - 1) fois avec lui-même; ainsi x ¹ = x ; x ² = x

- \,

x ; x ³ = x

- \,

- \,

x ;... ::- si, de plus, la loi

- \,

présente un élément neutre e, on pose alors x ⁰ = e
-

- \,

est dite permutative ssi : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x  -  y )  -  ( z  -  t ) = ( x  -  z )  -  ( y  -  t ) \,

\mathbb

et la division dans

\mathbb -

, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...).
-

- \,

est dite neutroactive ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 , ( x  -  ( y  -  z ))  -  x = ( x  -  y )  -  ( z  -  x ) \,

:Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

- \,

est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = x \,

- \,

est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x  -  y = y  -  x \,

; :Les lois commutatives sont notées par « + », «

\top

» ou «

\bot

» plutôt que par «

- \,

». : Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans

\mathbb

) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans

\R_+^ -

- \,

peut être distributive par rapport à une autre loi

\bot

(par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y )  -  ( z \bot t ) = [ ( x  -  z ) \bot ( x  -  t ) ]\ \bot\ [ ( y  -  z ) \bot (y  -  t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties : :- distributivité à gauche : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y \bot z ) = ( x  -  y ) \bot ( x  -  z ) \,

:- distributivité à droite : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y )  -  z = ( x  -  z ) \bot ( y  -  z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi

\bot

est régulière et unifère , alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi

- \,

. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E ,

- \,

) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre

e \,

. Il est alors possible de définir les notions suivantes:
- un élément

s \,

est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si : :

\exists\ s' \in E /\ s'  -  s = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si : :

\exists\ s' \in E /\ s  -  s' = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à droite de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux; : s' est alors appelé élément symétrique de s;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles; Si la loi

-  \,

\frac

Voir aussi

- Algèbre abstraite
- Relation ternaire interne
- Structure algébrique
- Loi de composition ja:二項演算 catégorie:Algèbre Composition

CQFD

ja:Q.E.D. Catégorie:Raisonnement mathématique CQFD est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer » ; l'expression latine correspondante étant QED : « Quod erat demonstrandum ». CQFD est souvent écrit à la fin des démonstrations mathématiques, comme un repère visuel de reprise du cours du texte après la preuve d'un résultat. Par mimétisme anglophone, on utilise de plus en plus le carré plein (■) ou le symbole dièse