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Produit Cartésien

Produit cartésien

En mathématiques, la notion de produit cartésien repose avant tout sur celle de couple, ou plus généralement de multiplet. Cette notion permet d'ordonner implicitement les éléments d'un ensemble. Il est alors possible d'introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne).

Notion de couple

Propriété fondamentale

Pour deux objets a et b donnés, le couple contenant a et b est noté « ( a, b ) ». Nous allons suivre le point de vue historique et considérer dans un premier temps cette notion comme une notion primitive. Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple ( a, b ). L'essence de la notion de couple réside dans la propriété fondamentale suivante : : Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles. : ou : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, [\ ( a_1 , a_2 ) = ( b_1 , b_2 ) \ ] \Leftrightarrow [\ ( a_1 = b_1 ) \wedge ( a_2 = b_2 ) \ ] \,

Cette propriété est à rapprocher du lemme SP2 d'égalité des paires (voir l'article « Ensemble »), pour lesquelles b₁ et b₂ peuvent être permutés par rapport à a₁ et a₂, ce qui n'est pas le cas pour les couples. Ceci est confirmé par le corollaire suivant : : Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques. : ou : :

\forall\ a , \forall\ b , \, [\ ( a , b ) = ( b , a ) \ ] \Leftrightarrow [\ a = b \ ] \,

Par conséquent:
- pour un couple ( a , b ) : b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
- pour une paire : = Les notions de couple et de paire ne doivent donc pas être confondues : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( a , b ) \ne \ \,

L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition : : Si a est différent de b , le couple ( b , a ) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple ( a , b ).

Définition

La propriété fondamentale des couples ne suffit pas en elle-même à définir la notion de couple. C'est pourquoi la définition suivante a été proposée (Wiener, 1914) : : pour tout objet a et tout objet b, le couple ( a , b ) est la paire formée par le singleton et la paire : : ou : :

\forall a , \forall b , ( a , b ) = \

Il est aisé de vérifier que les couples ainsi définis satisfont bien à la propriété fondamentale. D'autres définitions de la notion de couple sont possibles, par exemple en posant ( a, b ) = . Mais ces définitions n'apportent rien de plus et sont incompatibles avec celle de Wiener ; c'est pourquoi on conserve cette dernière au bénéfice de l'antériorité. Par ailleurs, tels qu'ils sont définis, les couples ne peuvent avoir pour composantes que des ensembles, pas des univers. Nous verrons plus loin un moyen de tourner cette limitation.

Produit cartésien de deux ensembles

Définition

Pour tout objet A et tout objet B, il existe un ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante vient de A et la seconde de B : :

\forall\ A , \forall\ B , \exists\ P /\ \forall\ x , \forall\ y , \, [\ ( x \in A ) \wedge ( y \in B ) \ ] \Rightarrow [\ ( x , y ) \in P \ ] \,

L'existence de cet ensemble découle de celle de

\ _\mathfrak P

[

\ _\mathfrak P

( A

\  _

B ) ] ( où

\ _\mathfrak P

( E ) désigne l' ensemble des parties de E ). L'unicité de P pour A et B donnés est garantie par l' Axiome d'extensionnalité. Cet ensemble est noté « A x B » (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B : :

A \times B = \left \

Exemple

Si A est l'ensemble et B l'ensemble , alors le produit cartésien des ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant : :.

Propriétés

- En règle générale, B x A ≠ A x B. Plus précisément : A x B = B x A ⇔ A = B. Remarque : A x A est noté A² (lire « A au carré ») et appelé carré cartésien de A : :

A^2 = \

A² ne doit pas être confondu avec ΔA (lire « delta A »), diagonale de A : :

\Delta A = \

Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide ou se réduit à un singleton.
- Le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide : :

\forall\ A ,\ \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing \,

- Les sous-ensembles d'un produit cartésien sont appelés graphes.

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes : :

\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement : :

\forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par : :

A \times B \times C = \left \

D'après ce qui précède, A x B x C = ( A x B ) x C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est appelé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire « A au cube ») : :

A^ = \

Les produits cartésiens furent développés pour la première fois par René Descartes dans le contexte de la géométrie analytique. Si

\ _\mathbb R

désigne l'ensemble de tous les nombre réels, alors

\ _\mathbb R

² =

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

représente le plan euclidien et

\ _\mathbb R

³ =

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

représente l'espace euclidien tri-dimensionnel.

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
- Propriété fondamentale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet : :

\forall a_ , \forall a_ , \cdots , \forall a_ , \forall b_ , \forall b_ , \cdots , \forall b_ ,

[\, ( a_ , a_ , \cdots a_ ) = ( b_ , b_ , \cdots b_ ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_ = b_ ) \wedge ( a_ = b_ ) \wedge \cdots ( a_ = b_ ) \,]

- Définition d'un n-uplet : :

\forall a_ , \forall a_ , \cdots \forall a_ , ( a_ , a_ , \cdots a_ , a_ ) = ( ( a_ , a_ , \cdots a_ ) , a_ )

- Produit cartésien de n ensembles : :

A_ \times A_ \times \cdots \times A_ \times A_ = ( A_ \times A_ \times \cdots \times A_ ) \times A_

- Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble : :

A^ = A^ \times A = \prod_^n A = \

Note : Il est possible de définir des produits cartésiens infinis, mais pour le faire, nous avons besoin d'une définition du produit cartésien plus profonde.

Somme disjointe ou cartésienne

Dans une réunion d'ensembles A ∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme × A et × B , où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « Ø » et « » , ou « 0 » et « 1 ». L' union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles est ainsi définie par : :

\forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B )

La notation préfixée «

\ _

( A , B ) » met en évidence que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples, la notion peut s'appliquer aux univers. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés. Plus précisément, si on rencontre un couple dont l'une des composantes est un univers, il s'agit d'un abus d'écriture : le couple est en réalité une somme disjointe. La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles : :

\forall A , \forall B , \forall C ,

\dot \cup ( A , B , C ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A , B ) , C ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B ) \cup ( \ \times C )

Et plus généralement : :

\forall A_1 , \forall A_2 , \cdots \forall A_n , \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ , A_n ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ ) , A_n )

Cela permet de généraliser l'abus d'écriture précédent : si on rencontre un n-uplet dont l'une des composantes est un univers, il s'agit en réalité d'une somme disjointe de n classes (univers ou ensembles).

Voir aussi

- Mathématiques -- Théorie des ensembles
- Notion d'ensemble
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Correspondance et relation Catégorie:Théorie des ensembles ja:直積集合 ko:곱집합

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x ∈ A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z

\ _\not\in

A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : :

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires et sont égales ssi a₁ est égal à b₁ et a₂ à b₂, ou si a₁ est égal à b₂ et a₂ à b₁ : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,

( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par :

\ _\mathbb N

= .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : :

\forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \,

L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
- désigne l’ensemble des nombres réels,
- désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et note l’ensemble de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
- désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P. Par exemple, si

\ _\mathbb Z

est l’ensemble des nombre entiers, alors est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
- désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
- est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple, est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi

- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Notion

Catégorie:Philosophie ( l. Notionem) Une notion est une connaissance élémentaire, intuitive ou vague de quelque chose. Le terme s'emploie aussi comme synonyme de concept. L'idée d'un objet est l'image que l'esprit entrant en activité parvient à se forger de cet objet ; la notion est la connaissance de certains détails qui existent dans un objet ; la connaissance est la possession complète de toutes les notions auxquelles un objet peut donner lieu. La notion du bien et du mal

Paire (mathématiques)

Un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b et nous écrivons :

E=\left\

Remarques

- Remarquons que si a=b alors l'ensemble n'est pas une paire mais le singleton .
- D'autre part pour tous objets distincts a et b, =

Exemples

- est une paire d'entiers
- est une paire de fonctions
- est une paire d'ensembles

Propriétés

- Une paire est évidemment un ensemble fini qui a pour cardinal 2.
- pour tout x, x appartient à si et seulement si (x=a ou x=b)
- deux paires et sont disjointes si et seulement si les quatre éléments a, b, c et d sont deux à deux distincts
- les paires et sont égales si et seulement si (a=c et b=d) ou (a=d et b=c)
- le nombre de paires distinctes dans un ensemble à n éléments est égal à C_n²

Voir aussi

- Fonction paire
- Ensemble catégorie:Mathématiques

Ensemble

Ensembles, éléments et appartenance

\ _\not\in

A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires et sont égales ssi a₁ est égal à b₁ et a₂ à b₂, ou si a₁ est égal à b₂ et a₂ à b₁ : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,

( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

\ _\mathbb N

Définition d’un ensemble en compréhension

\forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \,

\ _\mathbb Z

Voir aussi

Singleton

- Dans le domaine de la théorie des ensembles, un singleton est un ensemble ne comportant qu'un seul élément ; si a est cet unique élément, le singleton se note

voir aussi Doublet et Triplet ;
- Dans le domaine des design patterns en génie logiciel, un singleton correspond à une classe dont il n'existe qu'une seule instance.

Classe (mathématiques)

Les mathématiciens Von Neumann, Gödel et Bernays ont créé la théorie axiomatiques des ensembles avec classes (en abrégé théorie NGB). Cette théorie est dérivée de la théorie ZFC (théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), dont elle prétend corriger une insuffisance : l’absence de prise en compte de collections d’objets appelés classes, qui ne peuvent être des ensembles au sens de ZFC et qui peuvent pourtant y être définies (exemple : la collection de tous les ensembles, qui ne peut exister selon ZFC).

Notion de classe

La théorie NGB reprend les axiomes de la théorie ZFC, et c’est pourquoi on retrouve la notion d’ensemble, mais ces axiomes sont adaptés si nécessaire pour permettre l’existence d’autres objets que les ensembles. Les objets de la théorie NGB sont appelés classes. La notion de classe est primitive dans cette théorie et ne se définit donc pas directement. Une autre notion primitive de la théorie est la notion d’appartenance, notée « ∈ ». De ce point de vue, il existe deux sortes de classes :
- celles qui appartiennent à une autre classe; ce sont en fait les ensembles de la théorie ZFC, qui sont donc ici définis par : :

\forall X , ( X est\_un\_ensemble ) \Leftrightarrow ( \exists C /\, X \in C ) \,

- celles qui n’appartiennent à aucune autre classe; elles sont appelées univers (ou classes propres) et leur définition formelle est : :

\forall X , ( X est\_un\_univers ) \Leftrightarrow ( \forall C , X \not\in C ) \,

Les deux notions d’ensemble et d’univers sont complémentaires : toute classe est soit un ensemble, soit un univers, et aucune classe n’est les deux à la fois. Il existe dans cette théorie une classe de tous les ensembles, notée « Ω » et définie par : :

\forall X , ( X \in \Omega ) \Leftrightarrow ( \exists C /\, X \in C ) \,

Par contre, il n’existe pas et il ne peut pas exister de classe des univers et encore moins de classe de toutes les classes.

Axiomes de la théorie NGB

La théorie NGB reprend les axiomes de ZFC, dont certains modifiés pour tenir compte de l’existence des classes, auxquels elle ajoute un axiome spécifique, qui peut se décomposer en huit axiomes plus simples.
- NGB 1 : axiome d'extensionnalité :Cet axiome faisant appel à la notion d’égalité de deux ensembles, il importe de préciser d’abord comment celle-ci est définie en théorie NGB : :Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils appartiennent aux mêmes classes. :ou : :

\forall E \in \Omega , \forall F \in \Omega , \ [ E = F ] \Leftrightarrow [ \forall C , \ ( E \in C ) \Leftrightarrow ( F \in C ) ] \,

:Nous pouvons dès lors énoncer l’axiome d'extensionnalité : :Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques. :ou : :

\forall E \in \Omega , \forall F \in \Omega , \ [ \forall x , \ ( x \in E ) \Leftrightarrow ( x \in F ) ] \Rightarrow [ E = F ] \,

:En d'autres termes, si on se représente les ensembles comme des sacs virtuels enveloppant leurs éléments , la nature ou la forme de ces sacs n'ont aucune importance ; seule compte la liste des éléments de chaque ensemble. :Remarquons au passage la dualité éléments / classes qui apparait entre Définition de l'égalité et Axiome d'extensionnalité.
- NGB 2 : axiome de la paire :Si a et b sont deux ensembles, alors il existe au moins un ensemble dont ils sont les uniques éléments. :ou : :

\forall a \in \Omega , \forall b \in \Omega , \exists E \in \Omega /\, \ \forall x , [ x \in E ] \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

:L'unicité de cet ensemble pour a et b donnés découle de l'axiome d'extensionnalité. :Si a et b sont différents, il est nommé « paire de a et de b » et noté « ». :Si a et b sont égaux, il est nommé « singleton de a » et noté « ».
- NGB 3 : axiome de la réunion, dit aussi axiome de l’ensemble somme :Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble qui soit la réunion des éléments de E, c’est-à-dire contenant les éléments des éléments de E et eux seuls. :ou : :

\forall E \in \Omega , \exists U \in \Omega /\, \ \forall x , [ x \in U ] \Leftrightarrow [ \exists a /\, \ ( x \in a ) \wedge ( a \in E ) ] \,

:L'unicité de cet ensemble pour E donné découle de l'axiome d'extensionnalité. :Il est nommé « ensemble somme de E » et noté «

\mathfrak

( E ) » ou « UE ».
- NGB 4 : axiome de l'ensemble des parties :Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble contenant les sous-ensembles de E et eux seuls. :ou : :

\forall E \in \Omega , \exists P \in \Omega /\, \ \forall X , ( X \in P ) \Leftrightarrow ( X \subseteq E ) \,

:L’unicité de cet ensemble pour E donné découle de l’axiome d’extensionnalité. :Il est nommé « ensemble des parties de E » et noté «

\mathfrak

( E ) ».
- NGB 5 : axiome de séparation :Pour toute classe C et tout ensemble E, il existe un ensemble F qui regroupe les éléments de E qui appartiennent aussi à C. :ou : :

\forall C , \forall E \in \Omega , \exists F \in \Omega /\, \ \forall x , [ x \in F ] \Leftrightarrow [ ( x \in E ) \wedge ( x \in C ) ] \,

:L'axiome de séparation a pour conséquence l'existence d'un ensemble sans élément. ::Il suffit de considérer un ensemble E quelconque et la classe des ensembles qui ne sont pas éléments de E. Alors, d'après l'axiome, il existe un ensemble dont les éléments sont et ne sont pas éléments de E, c'est-à-dire n'existent pas. En d'autres termes, il existe un ensemble sans éléments. :L'unicité de cet ensemble découle de l'axiome d'extensionnalité. Il est nommé « ensemble vide » et noté « Ø ».
- NGB 6 : axiome de l'infini :Il existe un ensemble auquel l’ensemble vide appartient, de même que les singletons de tous ses éléments. :ou : :

\exists W \in \Omega /\, \ [ \varnothing \in W ] \wedge [ \forall x , ( x \in W ) \Rightarrow ( \ \in W ) ] \,

- NGB 7 : axiome de remplacement dit aussi axiome de substitution :Soit une classe C de couples dont la seconde composante est unique pour chaque première composante; alors pour tout ensemble E, il existe un ensemble F regroupant les secondes composantes des couples de C dont la première composante vient de E. :ou : :

\forall C , [ \  \forall x , \forall y , \forall z , ( ( x , y ) \in C \  \wedge \  ( x , z ) \in C ) \Rightarrow ( y = z ) ]  \,

:::

\Rightarrow [ \  \forall E \in \Omega , \exists F \in \Omega /\, \  \forall y , ( y \in F ) \Leftrightarrow ( \exists x \in E /\, ( x , y ) \in C ) ] \,

- NGB 8 : axiome de fondation dit aussi axiome de régularité :Tout ensemble non-vide contient au moins un élément avec qui il n’a pas d’élément commun. :ou : :

\forall E \in \Omega , ( E \ne \varnothing ) \Rightarrow ( \exists x \in E /\, x \cap E = \varnothing ) \,

- NGB 9 : axiome du choix :Pour toute famille d’ensembles non-vides disjoints deux à deux, il existe un ensemble contenant un élément et un seul de chaque ensemble de la famille. :ou : :

\forall F \in \Omega , ( \forall X \in F , ( X \ne \varnothing ) \wedge ( \forall Y \in F , X \cap Y = \varnothing ) ) \,

:::

\Rightarrow ( \exists E \in \Omega /\, \forall X \in F , \exists u \in X /\,   \,

:::::::

( u \in E ) \wedge ( \forall v \in X , ( v \in E ) \Rightarrow ( v = u ) ) ) \,

- NGB 10 : axiome de formation des classes :Toute phrase valide du système ZF détermine une classe. Cet axiome se décompose en 8 cas particuliers:
- NGB 10a : Il existe une classe contenant tous les ensembles et eux seuls. :

\exists \Omega /\, \forall X , ( X \in \Omega ) \Leftrightarrow ( \exists C /\, X \in C ) \,

- NGB 10b : Il existe une classe contenant tous les couples dont les deux composantes sont des ensembles tels que le premier appartienne au second, et ces couples seulement. :

\exists C /\, \forall E , \forall F \in \Omega , [ ( E , F ) \in C ] \Leftrightarrow [ E \in F ] \,

- NGB 10c : Pour toute classe, il existe une classe complémentaire regroupant les ensembles n'appartenant pas à cette classe. :

\forall C , \exists \bar C /\, \forall E \in \Omega , ( E \in \bar C ) \Leftrightarrow ( E \not\in C ) \,

:Remarque : la classe complémentaire de la classe des ensembles n'est pas celle des univers (qui n'existe pas), mais ... l'ensemble vide.
- NGB 10d : L'intersection de deux classes est toujours une classe. :

\forall C_1 , \forall C_2 , \exists C_3 /\, \forall E, ( E \in C_3 ) \Leftrightarrow [ ( E \in C_1 ) \wedge ( E \in C_2 ) ] \,

:C₃ est notée habituellement « C₁ ∩ C₂ ».
- NGB 10e : Pour toute classe de couples, il existe une classe regroupant leurs premières composantes. :

\forall C_1 , \exists C_2 /\, \forall E, ( E \in C_2 ) \Leftrightarrow ( \exists F /\, ( E , F ) \in C_1 ) \,

- NGB 10f : Pour toute classe, les couples dont la première composante est élément de cette classe forment eux-mêmes une classe. :

\forall C_1 , \exists C_2 /\, \forall E, \forall F, [ ( E , F ) \in C_2 ]  \Leftrightarrow [ E \in C_1 ] \,

- NGB 10g : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par permutation circulaire de ceux-ci forment une classe. :

\forall C_1 , \exists C_2 /\, \forall E, \forall F, \forall G, [ ( E , F , G ) \in C_2 ]  \Leftrightarrow [ ( F , G , E ) \in C_1 ] \,

- NGB 10h : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par transposition de ceux-ci forment une classe. :

\forall C_1 , \exists C_2 /\, \forall E, \forall F, \forall G, [ ( E , F , G ) \in C_2 ]  \Leftrightarrow [ ( F , E , G ) \in C_1 ] \,

Ainsi se termine l'exposé des axiomes de NGB.

Principales conséquences

Théories dérivées

Une théorie analogue à la théorie NGB, la théorie des chaînes d'appartenance, part d'un point de vue faussement naïf sur les objets mathématiques, introduit le prédicat d'appartenance et considère les comportements possibles à l'infini de suites d'objets liés successivement par ce prédicat d'appartenance. Seuls trois comportements sont logiquement possibles : :- arrêt sur un objet terminal; :- prolongation de la chaîne à l'infini, par une succession d'objets non-terminaux tous distincts entre eux; :- formation d'une boucle; ces boucles auto-référentielles sont de vrais cercles vicieux à l'origine des paradoxes logiques de la théorie des ensembles (si on exclut ceux dus à un mélange entre langage et métalangage), et il faut les éliminer par un schéma d'axiomes de la forme : ::

\forall a \forall b ... \forall w \forall x, [(a\in b)\wedge (b\in c)\wedge ... \wedge(w\in x)]\Rightarrow (x\not\in a)

:ce schéma d'axiomes a pour conséquences : ::- qu'un objet ne peut appartenir à lui-même; ::- que le prédicat d'appartenance est antisymétrique; ::- que le prédicat d'appartenance n'est pas circulaire; ::- ... Après élimination des boucles, il ne reste que deux comportement possibles dans chaque direction : présence ou absence d'un élément terminal. Dans la direction

X\in Y\in ...

, les objets terminaux sont appelés univers et les objets non-terminaux ensembles. Dans la direction

... \in W\in X

, les objets terminaux sont vides et les objets non-terminaux non-vides. On retrouve à partir de là une théorie ressemblant étonnamment à la théorie NGB à condition d'identifier les univers aux classes, mais dont le principal intérêt est de faire apparaître « naturellement » au fil des définitions la nécessité de la plupart des axiomes utilisés, comme ci-dessus.

Graphe

Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Théorie des graphes Catégorie:Théorie des graphes En mathématiques, la notion de graphe recouvre en fait deux notions voisines :
- celle de graphe ensembliste en théorie des ensembles,
- et celle de graphe abstrait en théorie des graphes.

Dans la théorie des ensembles

Le graphe (ensembliste) G d'une correspondance

\mathfrak \,

dont l'ensemble de départ s'appelle E et l'ensemble d'arrivée F, est le sous-ensemble de E × F formé par les couples d'éléments liés par la correspondance : :

G = \ \,

L'ensemble G est appelé graphe de

\mathfrak \,

car il permet d'en donner une représentation graphique : en effet, si on peut représenter E et F sur deux axes sécants, chaque couple de G peut alors être représenté par un point dans le plan défini par les deux axes. Par exemple, une fonction numérique ( de

\mathbb \,

dans

\mathbb \,

) peut être représentée par une courbe plane. Remarque : si la correspondance est une fonction dont l'ensemble de départ est un carré cartésien, il est préférable de représenter E comme un plan et non un axe. Dans ce cas, la fonction est représentée par une surface gauche dans l'espace habituel à 3 dimensions. Il est possible alors de se ramener à une représentation plane en considérant des courbes de niveau, c'est-à-dire en dessinant dans le plan de départ une carte altimétrique du relief de la surface gauche.

Dans la théorie des graphes

Un graphe est un couple ( V , E ) où :
- V est un ensemble fini de sommets
- et E une partie de V² , carré cartésien de V. A tout graphe abstrait ( V , E ) correspond une relation binaire ( V , V , E ) dont E est le graphe ensembliste. Il existe ainsi a priori un risque de confusion quand le type de graphe n'est pas précisé. Toutefois, quand le contexte ne suffit pas à trancher entre les deux acceptions, la convention habituelle est que :
- si on se trouve dans le cadre de la théorie des graphes, il s'agit d'un graphe abstrait;
- sinon, il s'agit d'un graphe ensembliste. Si la relation ( V , V , E ) est symétrique, le graphe ( V , E ) est dit non-orienté, et les éléments de E sont appelés arêtes. Sinon, le graphe est dit orienté, et les éléments de E sont appelés arcs.

Voir aussi

- Correspondance et relation
- Théorie des graphes ja:グラフ

René Descartes

René Descartes (La Haye en Touraine, France, 31 mars 1596 - Stockholm, Suède, 11 février 1650) est un homme de science (philosophe, mathématicien, physicien, etc.) français, considéré comme le fondateur de la philosophie moderne.

Biographie

René Descartes est né le 31 mars 1596 à La Haye, dans une famille noble de la Touraine. Il était le troisième enfant de Joachim Descartes, conseiller au parlement de Rennes. Sa mère mourut un an après sa naissance, et Descartes fut élevé par sa grand-mère. Enfant maladif, il se fit remarquer par ses dons intellectuels précoces. Son père l’appelait le philosophe, car le petit René ne cessait de poser des questions. :« Joachim Descartes n’étoit pas tellement occupé des fonctions de sa charge, et des établissements de sa nouvelle famille en Bretagne, qu’il ne se donnât aussi le loisir de songer à son fils, qu’il avoit coûtume d’appeler son philosophe, à cause de la curiosité insatiable avec laquelle il lui demandait les causes et les effets de tout ce qui lui passait par les sens. » (Baillet, Vie de M. Descartes) À l’âge de huit ans, Descartes entra au Collège royal de la Flèche, où enseignaient les Jésuites, et il y resta jusqu’à l’âge de 18 ans ; il reçut un traitement de faveur en raison de sa mauvaise santé et de ses dons. Il apprit la physique et la philosophie scolastique et étudia les mathématiques. Il dira plus tard dans son Discours de la méthode combien ces études lui paraissaient incohérentes et peu propres à la bonne conduite de la raison. De cette période, nous ne conservons qu’une lettre d’authenticité douteuse (elle est peut-être de l’un de ses frères), lettre que Descartes aurait écrite à sa grand-mère. En 1616, il obtient son baccalauréat et sa licence de droit à l’université de Poitiers. Après ses études, il partit vivre à Paris. De cette époque date un traité d’escrime. Il finit par se retirer en solitaire dans un quartier de la ville pour se consacrer à l’étude. Après deux années de cette vie cachée (Heureux qui a vécu caché était alors sa devise), il décide d’étudier le grand livre du monde. Il s’engage alors en 1618 en Hollande à l’école de guerre de Maurice de Nassau, prince d’Orange, et fait la même année la connaissance du physicien Beeckman. C’est à ce dernier que sont adressées les premières lettres que nous avons de Descartes, et l’Abrégé de musique a été rédigé pour lui. Beeckman tenait un journal de ses recherches, et il y relate les idées sur les mathématiques, la physique, la logique, etc. que Descartes lui communiquait ; ce dernier consacrait alors ses heures de loisir à l’étude et aux mathématiques. En 1619, Descartes quitte la Hollande pour le Danemark, puis l’Allemagne, où la guerre de Trente ans allait éclater, et assista au couronnement de l’Empereur Ferdinand à Francfort. Il s’engage alors dans l’armée du duc Maximilien de Bavière. C’est pendant ses quartiers d’hiver (1619 - 1620) à Neuburg que se révèle à lui une pensée décisive pour sa vie : le 10 novembre 1619, il fait en effet trois songes exaltants qui l’éclairent sur sa vocation : :« Le 10 novembre 1619 lorsque rempli d’enthousiasme je trouvai le fondement d’une science admirable… » (Olympiques, fragment) Baillet en a fait le récit, dont voici le début :« La recherche qu’il voulut faire de ces moyens, jetta son esprit dans de violentes agitations, qui augmentèrent de plus en plus par une contention continuelle où il le tenait, sans souffrir que la promenade ni les compagnies y fissent diversion. Il le fatigua de telle sorte que le feu lui prît au cerveau, et qu’il tomba dans une espéce d’enthousiasme, qui disposa de telle maniére son esprit déjà abattu, qu’il le mit en état de reçevoir les impressions des songes et des visions. :Il nous apprend que le dixiéme de novembre mille six cent dix-neuf, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme, et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour là les fondements de la science admirable, il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en haut. » Il raconte alors comment il s’enferma dans son poêle et conçut sa méthode. Il renonça alors à la vie militaire, et de 1620 à 1622, il voyage en Allemagne, et en Hollande, puis revient en France. Ce qu’il a écrit pendant cette période se trouvait dans un petit registre mentionné dans l’inventaire fait à Stockholm après sa mort, mais il est aujourd’hui perdu. Il nous est néanmoins connu par Baillet et par Leibniz qui en avait fait des copies. Ces copies furent retrouvées par Foucher de Careil et publiées en 1859 sous le titre Cogitationes Privatae. Mais il se trouve qu’elles ont depuis de nouveau disparu. De cette époque nous possédons également un De Solidorum elementis. En 1622, Descartes estime sa fortune suffisante pour ne pas avoir à travailler ; il règle ses affaires de famille, et recommence à voyager, visitant l’Italie. De l’été 1625 à l’automne 1627, Descartes est de nouveau en France. Il rencontre le père Marin Mersenne à Paris, et commence à être connu pour ses inventions en mathématique. Il fréquente le monde, cherche la compagnie des savants et se bat en duel. Mais, à l’automne 1627, chez le nonce du pape, le cardinal de Bérulle lui fait obligation de conscience d’étudier la philosophie. Il part alors à la campagne, en Bretagne, pendant l’hiver 1627 - 1628. C’est de cette époque (1622 - 1629) que datent divers traités de mathématiques (sur l’algèbre, l’hyperbole, l’ellipse, la parabole) connus par le journal de Beeckman, et d’autres petits traités qui sont perdus. L'œuvre la plus importante de cette période sont les Règles pour la direction de l’esprit. Cherchant la solitude, il décide de s’installer dans les Provinces-Unies ; il y fait d’abord un bref séjour (à l’occasion duquel il va voir Beeckman), mais revient probablement à Paris pendant l’hiver 1628, puis s’installe définitivement en Hollande au printemps 1629. Sa vie va alors être entièrement consacrée à l’étude. Il s’inscrit à l’Université de Franeker. Il continue pourtant de se déplacer (de 1629 à 1633 : Franecker, Amsterdam, Leyde, Deventer). Souhaitant ne pas être dérangé, il n’indique jamais sur ses lettres le vrai lieu où il se trouve, mais donne le nom de quelque ville. À Amsterdam, Descartes vit au centre de la ville, dans la Kalverstraat, le quartier des bouchers, ce qui lui permet de faire de nombreuses dissections. Il rencontre des savants : Reneri, Hortensius, Plempius, Schooten, etc. Ses rencontres, comme sa volonté de vivre solitaire, sont ainsi toujours subordonnées à sa passion de la recherche. Il commence en 1629 un Traité de métaphysique (aujourd’hui perdu), mais il ne semble pas que ses pensées se soient encore dirigées vers les thèses des Méditations Métaphysiques. S’il formule néanmoins le 15 avril 1630 sa théorie de la création des vérités éternelles, c’est qu’il s’interroge sur la place de la science ; sa métaphysique se développe ainsi d’après ses réflexions de physique, et il ne tire pas encore au clair tous les fondements qui seront exprimés dans ses ouvrages ultérieurs. Mais Descartes s’occupe également de mathématiques : il tente de réformer le système de notation et introduit l’usage des lettres de l’alphabet latin. C’est en 1631, quand Gollius lui proposa le problème de Pappus, qu’il découvre les principes de la géométrie analytique. Il commence les Météores à l’occasion de l’observation des parhélies (observations faites à Rome, en 1629). Il étudie l’optique, découvre les lois de la réfraction, et achève la rédaction de la Dioptrique. Enfin, Descartes veut expliquer tous les phénomènes de la nature : il étudie les êtres vivants et fait de nombreuses dissection à Amsterdam pendant l’hiver 1631 - 1632. De là viendront le Monde et le Traité de l’Homme. Les observations anatomiques de Descartes nous sont connues par les copies de Leibniz et des fragments (Excerpta anatomica, Primae cogitaniones circa generationem animalium, Partes similares et excrementa et morbi, ce dernier daté de 1631). Mais les dates de certains textes sont incertaines (pour certains jusqu’à 1648 peut-être). Les lettres de cette période vont voir le même esprit occupé de science ; on trouve néanmoins quelques remarques d’esthétique sur la musique, et Descartes dit songer à faire un traité de morale (lettre à Mersenne, 4 novembre 1630). Elles nous renseignent également sur son caractère susceptible et dur, méprisant l’irrésolution. À la fin de 1633, Descartes quitte Deventer pour Amsterdam ; en 1635, il est à Utrecht ; il passe ensuite à Leyde (où il avait déjà été en 1630) et s’arrête à Santport en 1637. Pendant cette période, Descartes renonce à publier le Traité du Monde, et décide de donner une autre présentation à son œuvre : ce sera le Discours de la méthode et les Essais qui le suivent. Pourquoi Descartes a-t-il renoncé à publier son traité ? Le Saint-Office, le 24 février 1616, avait condamné les propositions : Sol est centrum mundi et omnino immobilis motu ; en 1620, un décret de la Congrégation des cardinaux avait autorisé de supposer le mouvement de la Terre par hypothèse. Mais l’ouvrage de Galilée, Massami Sistemi, fut condamné le 22 juin 1633, et l’hypothèse du mouvement de la Terre fut interdite. De 1637 à 1641, Descartes vit principalement à Santpoort. Il fait venir auprès de lui Hélène, la servante et amie dont, en 1635, il a eu une fille, Francine. Mais Francine meurt en septembre 1640, laissant à Descartes « le plus grand regret qu’il eût jamais senti de sa vie ». Un mois plus tard, Descartes perd son père, âgé de soixante-dix-huit ans et qui était le doyen du Parlement de Bretagne. Le 31 mars 1641, il s’installe dans le petit château d’Endegeest, agrémenté d’un beau jardin, de vergers et de prairies. C’est là qu’il recevra l’abbé Picot, l’abbé de Touchelaye, le conseiller Desbarreaux et de nombreux amis. En 1641, il répond aux objections de Hobbes contre ses Méditations Métaphysiques. En 1643, il rencontre Élisabeth de Bohême, fille de l’électeur Palatin détrôné en exil en Hollande, et commence une abondante correspondance, qui aboutira au Traité des Passions (1649). Il fait trois séjours en France (1644, 1647 et 1648). C’est au cours du second qu’il rencontrera Pascal et qu’il lui inspirera les expériences du Puy de Dôme sur la pression atmosphérique. En 1650, il accepte l’invitation de la reine Christine à Stockholm ; la rigueur du climat et l’horaire matinal de ses entretiens avec la reine (5 heures) sont pour lui inhabituels et ont raison de sa santé. Il meurt d’une pneumonie le 11 février 1650. En 1667, les restes de Descartes furent rapatriés en France. Depuis 1819 sa tombe est à l'église saint-Germain-des-prés, à Paris. Pourtant honorés par la Convention nationale, en 1792, qui projetait de transférer ses cendres au Panthéon de Paris avec les honneurs dus aux grands hommes, ses restes sont, deux siècles plus tard, toujours « coincés » entre deux autres pierres tombales - celles de Mabillon et de Bernard de Montfaucon - dans une chapelle abbatiale de l’église saint-Germain-des-prés, à Paris. L’arrêté de la Convention n’a toujours pas été appliqué.

Le projet cartésien : la recherche d’une science universelle

Quand Descartes commence à s’intéresser aux sciences, la domination de l’aristotélisme s’est effondrée, laissant la place à une science nouvelle, la mécanique, issue de l’astronomie et de la physique. Les sciences deviennent des disciplines autonomes qui se passent de la métaphysique. La critique de la scolastique touche également les dogmes de la religion. Il y a aussi au une influence des courants philosophiques du stoïcisme, de l’augustinisme et du scepticisme – plus particulièrement en ce qui a trait à l’influence de Montaigne, qui constitue à cet égard une figure représentative du doute qui anime l’époque. Le doute sceptique est une question qui intéresse son siècle : on a conscience de ne pas posséder une vérité indubitable, surtout dans le domaine des moeurs et des opinions, mais on la cherche (le cheminement vers le doute s’oriente vers la vérité). Descartes, avide de connaissances, s’interrogea sur la place de la science dans la connaissance humaine, et élabora une méthode qu’il voulait universelle, aspirant à étendre la certitude mathématique à l’ensemble du savoir, et espérant ainsi fonder une mathesis universalis, une mathématique universelle. Il affirme ainsi que l’univers dans son ensemble (mis à part l’esprit qui est d’une autre nature que le corps) est susceptible d’une interprétation mathématique. Tous les phénomènes doivent pouvoir s’expliquer par des raisons mathématiques, c’est-à-dire par des figures et des mouvements conformément à des lois. Mais il sentira la nécessité d’un fondement métaphysique pour la connaissance, fondement métaphysique lié à la théologie qui permettrait d’affermir la religion. La métaphysique cartésienne a ainsi une double fonction, et le but serait atteint si l’on met en évidence les principes premiers dont on peut déduire tout le reste. C’est le point de départ de toutes les connaissances jusqu’à la morale qui en est le fruit. Enfin, ce projet s’inscrit dans une conception éthique de la recherche de la vérité : :« C’est proprement avoir les yeux fermés, sans tâcher jamais de les ouvrir, que de vivre sans philosopher ; et le plaisir de voir toutes les choses que notre vue découvre n’est point comparable à la satisfaction que donne la connaissance de celles qu’on trouve par la philosophie ; et, enfin, cette étude est plus nécessaire pour régler nos mœurs et nous conduire en cette vie, que n’est l’usage de nos yeux pour guider nos pas. Les bêtes brutes, qui n’ont que leur corps à conserver, s’occupent continuellement à chercher de quoi le nourrir ; mais les hommes, dont la principale partie est l’esprit, devraient employer leurs principaux soins à la recherche de la sagesse, qui en est la vraie nourriture ; et je m’assure aussi qu’il y en a plusieurs qui n’y manqueraient pas, s’ils avaient espérance d’y réussir, et qu’ils sussent combien ils en sont capables. Il n’y a point d’âme tant soit peu noble qui demeure si fort attachée aux objets des sens qu’elle ne s’en détourne quelquefois pour souhaiter quelque autre plus grand bien, nonobstant qu’elle ignore souvent en quoi il consiste. Ceux que la fortune favorise le plus, qui ont abondance de santé, d’honneurs, de richesses, ne sont pas plus exempts de ce désir que les autres ; au contraire, je me persuade que ce sont eux qui soupirent avec le plus d’ardeur après un autre bien, plus souverain que tous ceux qu’ils possèdent. Or, ce souverain bien considéré par la raison naturelle sans la lumière de la foi, n’est autre chose que la connaissance de la vérité par ses premières causes, c’est-à-dire la sagesse, dont la philosophie est l’étude. Et, parce que toutes ces choses sont entièrement vraies, elles ne seraient pas difficiles à persuader si elles étaient bien déduites. » (Principes de la philosophie, lettre-préface de l’édition française des principes)

La méthode

Caractère de la méthode

La philosophie est donc la recherche de la vérité par la lumière naturelle, et elle doit élaborer une méthode pour y parvenir, car la méthode est « la voie que l’esprit doit suivre pour atteindre la vérité. » (Règles pour la direction de l’esprit, IV). La méthode est le point de départ de toute philosophie, car elle « prépare notre entendement pour juger en perfection de la vérité et nous apprend à régler nos volontés en distinguant les choses bonnes d’avec les mauvaises. » (Recherche de la vérité, X). La grande préoccupation de Descartes est ainsi d’atteindre la certitude. C’est pourquoi, il rejette d’emblée ces connaissances qui nous viennent des sens et des livres, car ce ne sont là que des certitudes paresseuses, quand il ne s’agit pas seulement de probabilité, et, par ce moyen, nous ne pouvons trouver la vérité que par hasard et non par méthode. La certitude que Descartes se propose de trouver est au contraire absolue, et c’est une certitude analogue à celle des démonstrations mathématiques qui nous font voir avec évidence que la chose ne saurait être autrement que nous la jugeons et qui ne donne pas prise au scepticisme : :« Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion de m’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s’entresuivent en même façon, et que, pourvu seulement qu’on s’abstienne d’en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu’on garde toujours l’ordre qu’il faut pour les déduire les unes des autres, il n’y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu’on ne découvre. » Ainsi, par le nom de science, Descartes n’entend-il rien d’autre qu’une connaissance claire et distincte. Le point de départ de la théorie de la connaissance, ce qui sera retenu tout particulièrement par un cartésien comme Malebranche, c’est la simplicité et la clarté des premiers éléments. Mais cette pensée de l’évidence serait vide si elle ne prenait pour matière l’expérience, et ne procédait par induction, c’est-à-dire par l’énumération des éléments d’une question à résoudre. Seule une telle connaissance, en augmentant notre savoir, « en formant notre esprit à porter des jugements solides et vrais sur tout ce qui se présente à lui » (Règles, I) peut nous permettre de posséder toute la certitude et la vérité dont notre esprit est capable. C’est pourquoi il faut dire également que toutes nos connaissances dépendent de notre entendement, et que ce dernier procède de la même manière dans toutes les sciences. Il y a ainsi pour Descartes une unité de la méthode, et il ne peut y avoir qu’une méthode vraie qui exprime l’unité et la simplicité essentielle de l’intelligence : la méthode en est la manifestation ordonnée. Mais comment parvenir à une telle certitude ? Tout doit être reconstruit ; Descartes va ainsi s’efforcer de bâtir la science en un fonds qui soit tout à lui. Mais la première condition pour bâtir l’édifice des sciences certaines, c’est que l’esprit se crée ses propres instruments, au lieu d’emprunter à autrui des outils dont il n’a pas éprouvé la rigueur. Quelqu’un qui veut exercer l’art de forgeron sans encore en avoir les outils, devra se forger pour son usage avec les moyens de la nature les outils dont il a besoin (Règles, VIII, X). Cette instrument que se forge lui-même l’esprit, ce sont les règles de la méthode.

Préceptes de la méthode

Les règles de la méthode sont ainsi présentées par Descartes dans le [http://wikisource.org/wiki/Discours_de_la_m%C3%A9thode Discours de la méthode] : :«[…] comme la multitude des lois fournit souvent des excuses aux vices, en sorte qu'un état est bien mieux réglé lorsque, n'en ayant que fort peu, elles y sont fort étroitement observées ; ainsi, au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j'aurais assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois a les observer. »
- l'évidence : : « Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ; c'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute. »
- l'analyse : : « Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre. »
- la synthèse et le raisonnement : : « Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. »
- le dénombrement : : « Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. »

Intuition et déduction

Dans les Règles pour la direction de l'esprit, Descartes avait fait l'inventaire de nos moyens de connaître, et avait écarté l'imagination et la mémoire comme trop incertaines, pour ne retenir que l’intuition et la déduction. Ce qui est immédiatement évident est la condition de la connaissance. C’est au moyen d’une intuition que la pensée saisit les éléments les plus simples, c’est-à-dire les principes. Il existe donc pour Descartes des propositions simples qui, dès qu’elles sont pensées, sont tenues pour vraies : rien ne produit rien, une seule et même chose ne peut à la fois être et ne pas être, etc. Ces propositions ne sont pourtant pas données, elles s’appuient sur des cas généraux, mais sont saisies en tant que telle par la pensée. C’est à partir de ces intuitions des principes premiers que nous pouvons raisonner, c’est-à-dire nous avancer dans la connaissance au moyen de la déduction. La déduction est ainsi un mouvement de la pensée, consistant en une série d’intuitions enchaînées, mises en relation par ce mouvement continu de l’esprit. Par ces séries d’intuitions reliées par le raisonnement, nous ramenons ce qui est inconnu aux principes, c’est-à-dire à ce qui est connu. Ainsi, en raisonnant sur la base de l’évidence, la pensée étend son domaine de connaissance au-delà des premiers principes. La méthode de Descartes n’est donc pas strictement rationaliste. C’est une erreur assez répandue de faire de Descartes un philosophe qui voudrait déduire a priori les phénomènes. Mais c’est l’expérience des cas particuliers qui met la pensée en mouvement, et cette pensée déduit et trouve de nouvelles connaissances. Néanmoins, si ce ne sont pas les causes qui prouvent les effets, il reste que la vérité est établie par des déductions à partir de principes, plutôt que par l’accord avec l’expérience. Ainsi Descartes est-il rationaliste quand il estime que la déduction est par elle-même suffisante pour valider la connaissance, et que ce sont les causes prouvées par l’expérience qui expliquent l’expérience. La science est donc pour Descartes un système hypothético-déductif s’appuyant sur l’expérience, mais il reste que pour lui il devrait être possible de comprendre le monde physique par une théorie explicative complète prenant la forme d’une algèbre universelle. Cette méthode scientifique étant établie, se pose alors la question de savoir quels sont ces premiers principes : sur quoi notre pensée peut-elle se fonder pour s’assurer la certitude de ses connaissances ? Nous pouvons en effet douter de toutes nos connaissances.

Le doute

- Voir Méditations Métaphysiques pour plus de détails

Le doute méthodique

Pour s’assurer de la solidité de nos connaissances, il nous faut trouver une bonne fois pour toutes un fondement inébranlable à partir duquel nous pourrions déduire tout le reste. Ainsi peut-on dire que la méthode cartésienne commence en réalité par la mise en doute systématique de toutes les connaissances qui nous semblent évidentes. Mais il faut tout d’abord faire quelques remarques sur l’exposition de la pensée cartésienne. Bien que Descartes écrive le Discours de la Méthode en français pour rejoindre une plus large audience (il s’agit du tout premier ouvrage philosophique à être écrit en français, alors qu’à l’époque le latin était parfaitement maîtrisé par les érudits, qui considéraient cette langue comme la langue universelle de la science), il ne conseille pas de le suivre dans les voies qu’il a explorées :
- parce qu’il faut faire par soi-même l’épreuve de nos connaissances pour parvenir à la certitude ; Descartes ne peut être certain pour son lecteur. Le doute et la méthode ont donc des aspects subjectifs très marqués, alors même que Descartes espère fonder les sciences.
- parce que certains esprits n’en sont pas capables, par précipitation ou modestie ; et il faut déconseiller le doute à la plupart des hommes parce que le risque est trop grand qu’ils ne s’égarent pour toute leur vie : :« ÉPISTEMON : Je pense qu’il est très dangereux de s’avancer trop loin dans cette manière de raisonner : les doutes universels de ce genre nous conduisent droit à l’ignorance de Socrate, ou à l’incertitude des pyrrhoniens, qui est comme une eau profonde où l’on ne peut trouver pied. :EUDOXE : J’avoue que ce n’est pas sans grand danger qu’on s’y hasarde sans guide, quand on n’en connoît pas le gué, et que beaucoup même s’y sont perdus. » (Recherche de la vérité par les lumières naturelles) Parmi les connaissances que nous avons dans notre esprit, Descartes distingue celles que nous avons reçues dès le plus jeune âge et celle que l’on apprend dans les livres ou par des maîtres : :« Comme nous avons été enfants avant que d’être hommes et que nous avons jugé tantôt bien et tantôt mal des choses qui se sont présentées à nos sens lorsque nous n’avions pas encore l’usage entier de notre raison, plusieurs jugements ainsi précipités nous empêchent de parvenir à la connaissance de la vérité, et nous préviennent de telle sorte qu’il n’y a point d’apparence que nous puissions nous en délivrer, si nous n’entreprenons de douter une fois en notre vie de toutes les choses où nous trouverons le moindre soupçon d’incertitude. » (Principes de la philosophie, 1) Le préjugé et la précipitation nous empêchent de bien juger. Nous devons donc suspendre notre jugement. Mais il n’est pas suffisant de douter des connaissances que nous avons reçues par notre éducation, car nous pouvons facilement remarquer que nous sommes quelques fois trompés par nos sens. Descartes fait ainsi plusieurs expériences de pensée qui l’amènent à penser que les sens nous trompent peut-être tout le temps, comme dans le rêve ou la folie. Ce doute au sujet de la véracité des sens l’amène à mettre en cause l’existence de l’ensemble des choses matérielles, de son corps et par conséquent de l’existence même du monde qui l’entoure. Néanmoins, dans un passage des Méditations Métaphysiques, Descartes montre, par l’exemple d’un simple morceau de cire, que ce ne sont pas nos sens qui nous trompent, mais le jugement que nous formulons sur leurs témoignages. C’est l’entendement qui conçoit le morceau de cire en tant que substance étendue, au-delà des formes, des couleurs, des odeurs, etc. que nous pouvons lui prêter. Ainsi, s’il y a erreur, elle ne peut venir que de la précipitation à juger de ce que nous recevons par le moyen de la perception ; c’est pour nous une marque d’imperfection et une source intarissable d’erreurs.

Le doute hyperbolique

Une fois toutes ces sources d’erreurs écartées, il reste encore quelques vérités qui nous semblent très évidentes, parce qu’elles portent sur les éléments les plus simples : ainsi des vérités mathématiques. Néanmoins, il arrive que nous nous trompions en calculant ; mais ce n’est pas encore là le doute le plus universel que nous puissions concevoir, car nous pouvons faire l’hypothèse d’un dieu trompeur, d’un mauvais génie qui nous aurait créés tels que nous nous trompions toujours : :« Je supposerai donc qu’il y a, non point un vrai Dieu, qui est la souveraine source de vérité, mais un certain mauvais génie, non moins rusé et trompeur que puissant qui a employé toute son industrie à me tromper. Je penserai que le ciel, l’air, la terre, les couleurs, les figures, les sons et toutes les choses extérieures que nous voyons, ne sont que des illusions et tromperies, dont il se sert pour surprendre ma crédulité. Je me considérerai moi-même comme n’ayant point de mains, point d’yeux, point de chair, point de sang, comme n’ayant aucuns sens, mais croyant faussement avoir toutes ces choses. Je demeurerai obstinément attaché à cette pensée ; et si, par ce moyen, il n’est pas en mon pouvoir de parvenir à la connaissance d’aucune vérité, à tout le moins il est en ma puissance de suspendre mon jugement. » (Méditations Métaphysiques) Le doute devient alors hyperbolique, et son caractère excessif fait de lui un doute métaphysique, car il ne concerne plus seulement les sens et les jugements que nous pouvons formuler à partir de leurs témoignages ; ce doute est la formulation de l’hypothèse que l’erreur et l’illusion sont ontologiquement liées à notre entendement, qu’elles sont donc radicales et insurmontables ; rien ne semble plus pouvoir être tenu pour certain. Même les mathématiques, aussi évidentes soient-elles pour notre pensée, pourraient bien n’être que le résultat d’une tromperie dont nous sommes les victimes. Par ce doute hyperbolique, nous en arrivons donc à ne plus pouvoir rien juger, à ne plus pouvoir rien tenir ni pour vrai ni pour faux, à ne plus tenir aucun être comme réel.

Le cogito

Mais il reste, dans ce néant universel, quelque chose dont nous ne saurions jamais douter : nous savons que nous doutons, et le sachant, nous avons l’intuition immédiate et claire que nous ne sommes pas rien : tandis que je doute, je sais que j’existe, car s’il y a un doute, c’est qu’il y a nécessairement quelqu’un qui est là pour douter : cogito, ergo sum, je pense donc je suis (Les Principes de la philosophie, article 7). Cette intuition n’est pas conçue comme un raisonnement (penser est ici une opération, une expérience) ; le donc de la proposition ne doit pas être interprété comme l’expression d’une déduction : je pense, je suis, ce n’est pas un syllogisme, c’est une certitude immédiate qui comprend ces deux termes : :« Après y avoir bien pensé, et avoir soigneusement examiné toutes choses, enfin il faut conclure, et tenir pour constant que cette proposition : « Je suis, j’existe », est nécessairement vraie, toutes les fois que je la prononce, ou que je la conçois en mon esprit. […] Je ne suis donc, précisément parlant, qu'une chose qui pense […] C'est-à-dire une chose qui doute, qui conçoit, qui affirme, qui nie, qui veut, qui ne veut pas, qui imagine aussi et qui sent.» Cette certitude étant mise au jour, il apparaît néanmoins qu’elle n’est pas une connaissance. En effet, savoir et conscience ne sont pas ici la même chose : je sais que j’existe, mais je ne sais pas ce q