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PGCD

PGCD

ja:最大公約数 th:ตัวหารร่วมมาก catégorie:Arithmétique En mathématiques, le plus grand commun diviseur (abrégé PGCD) de deux entiers qui ne sont pas tous deux nuls, est le plus grand nombre entier naturel qui divise les deux nombres. Le PGCD de a et b est souvent noté : PGCD(a,b) ; pgcd(a,b) ou a∧b. Par exemple, pgcd(12,18) = 6, pgcd(-4,14) = 2 et pgcd(5,0) = 5. Le PGCD de 0 et 0 est par convention égal à 0. Deux nombres entiers sont dits « premiers entre eux » si leur plus grand commun diviseur égale 1. Par exemple, 9 et 28 sont premiers entre eux. Le plus grand commun diviseur est utile pour réduire les fractions. En divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction a/b par le PGCD de a et b, on obtient une fraction irréductible a/b. Le PGCD de a et b vaut 1. Considérons par exemple :42/56 = 3/4 Nous avons divisé le numérateur et le dénominateur par 14, le plus grand commun diviseur de 42 et 56.

Calcul du PGCD

On pourrait calculer le PGCD de deux nombres en écrivant leur décomposition en produit de facteurs premiers et en considérant le produit de certains facteurs premiers communs, mais dans la pratique on n'utilise jamais cette méthode, parce qu'elle est trop lente. Une méthode beaucoup plus efficace est l'algorithme d'Euclide. L'algorithme d'Euclide étendu permet de calculer aussi des nombres entiers relatifs p et q tels que : ap + bq = pgcd(a,b).

Propriétés

Chaque diviseur commun de a et b divise le PGCD de a et b. Le plus grand commun diviseur des entiers non tous deux nuls a et b peut être défini également comme le plus petit nombre entier strictement positif d qui peut s'écrire sous la forme ap+bq où p et q sont des nombres entiers. Si d est le PGCD de a et b, et a divise le produit bc, alors a/d divise c. Si m est un entier quelconque, alors pgcd(ma,mb) = m pgcd(a,b) et pgcd(a+mb,b) = pgcd(a,b). Si m est un diviseur commun différent de zéro de a et b, alors pgcd(a/m,b/m) = pgcd(a,b)/m. Le PGCD de trois entiers peut être calculé par : :pgcd(a,b,c) = pgcd(pgcd(a,b),c) = pgcd(a,pgcd(b,c)) Le PGCD de a et b est relié au plus petit commun multiple, ppcm(a,b) par la relation : :pgcd(a,b)
- ppcm(a,b) = ab De plus, les propriétés suivantes de distributivité sont vérifiées : :pgcd(a,ppcm(b,c)) = ppcm(pgcd(a,b),pgcd(a,c)) :ppcm(a,pgcd(b,c)) = pgcd(ppcm(a,b),ppcm (a,c)) Géométriquement, pgcd(a,b) est le nombre de points de coordonnées entières sur le segment d'extrémités les points (0,0) et (a,b), sans compter (0,0).

PGCD dans les anneaux commutatifs

Le plus grand commun diviseur peut être défini plus généralement pour les éléments d'un anneau commutatif arbitraire. Si A est un anneau commutatif, et a et b sont dans A, alors un élément c de A est appelé un diviseur commun de a et b s'il divise à la fois a et b (c'est-à-dire s'il existe des éléments x et y de A tels que cx = a et cy = b). Si c est un diviseur commun de a et b, et chaque diviseur commun de a et b divise c, alors c est appelé un plus grand commun diviseur de a et b. Notons que le PGCD de a et b n'est pas unique, mais si A est intègre alors deux quelconques PGCD de a et b sont des éléments associés. Aussi, a et b ne peuvent avoir un PGCD à moins que A soit un anneau factoriel. Si A est un anneau euclidien alors une forme de l'algorithme d'Euclide peut être utilisée pour calculer le PGCD.

Abréviation

Une abréviation (du latin brevis, « court »), est le raccourcissement d'un mot ou d'un groupe de mots, représentés alors par une lettre ou un groupe de lettres issus de ce mot. L'abréviation consiste donc toujours en une suppression, plus ou moins importante. Par exemple, c'est-à-dire peut s'abréger en càd, nous en ns, etc. Il existe plusieurs méthodes pour abréger des groupes de mots, dont les plus courantes sont la siglaison ou l'acronymie. Le point autre que celui de fin de phrase est souvent l'indice d'une abréviation. Il s'utilise quand la dernière lettre du mot abrégé est elle aussi supprimée : monsieur s'abrège en M. mais maître en Me, sans point abréviatif (e étant bien la dernière lettre du mot).

Abréviations antiques

[En préparation]

Abréviations médiévales

Le parchemin coûtant cher, les abréviations abondent dans les manuscrits occidentaux, surtout après le haut Moyen Âge. Elles sont la poursuite, et l'aboutissement, des abréviations antiques. Les abréviations médiévales peuvent être de plusieurs natures :
- contraction : une ou plusieurs lettres d'un mot sont omises mais la première et la dernière sont conservées. Un titulus (trait suscrit plus ou moins horizontal et droit, ancêtre du tilde) peut signaler ce fait ; les contractions sont, de loin, plus fréquentes au Moyen Âge que pendant l'Antiquité, qui préférait la suspension. Elles se rencontrent très souvent pour les nomina sacra (« noms sacrés »). :Exemples : ihs xps → Iesus Christos (« Jésus-Christ ») ; noter que l'on trouve fréquemment un mélange de lettres latines et grecques dans les nomina sacra : h, x et p sont des adaptations des lettres onciales Image:Grec oncial h.png (η, ê), Image:Grec oncial x.png (χ, kʰ) et Image:Grec oncial r.png (ρ, r) ; omps → omnipotens (« tout puissant »), etc. On utilise rarement la contraction pure en français car on lui préfère soit la contraction par lettre suscrite, soit la suspension (voir plus bas) ;
- lettre suscrite : le mot est tronqué par contraction (on ne garde que la ou les premières lettres) et la finale (ou les finales) est écrite en hauteur, dans un petit format. :Cette méthode s'est particulièrement bien conservée dans nos usages. Qu'on songe à des abréviations modernes comme 1, vº (et non v° ; lire verso), D (Docteur), M, etc. En français, le point abréviatif ne peut suivre les contractions ;
- suspension : la finale (une ou plusieurs lettres) d'un mot (ou d'une syllabe) est omise. Souvent, un point abréviatif suit l'élément (mot ou syllabe) abrégé, deux points l'entourent, ou bien le titulus le surmonte, parmi de nombreux autres signes (dont le deux-points ou encore le point-virgule) ; la suspension de n et m finals (puis en fin de syllabe) est très fréquente et indiquée par le titulus (qui, dans cette fonction, donne le tilde ; il est parfois surmonté d'un point pour m suspendu). Par extension, on nomme suspension toute abréviation dans laquelle la dernière lettre du mot est absente ; :Exemples : a.d. → anno Domini, .n. → enim (« en effet »), ē → est (« [il / elle] est »), deb; → debet (« [il / elle] doit »), etc. → et cetera, dominū → dominum (« Seigneur » accusatif), etc. Cette méthode d'abréviation est encore très vivace en français (cf., etc., M.) ;
- logogrammes et symboles divers : des mots ou des syllabes entières peuvent être remplacés par un signe unique, que ce soient des ligatures (cf. Esperluette) ou des lettres modifiées (barrées, surmontées de symboles, du titulus et autres signes). Les notes tironiennes ont fourni un grand nombre d'abréviations de ce type, qui abondent surtout dans les manuscrits de droit . Le paléographe est souvent confronté à une pléthore d'abréviations, rendues complexes par le fait qu'elles ne sont pas normalisées avant le XII siècle (elles forment ensuite un système cohérent) et qu'elles abondent entre le XIII et le XV. Quelques-unes des abréviations les plus significatives pour l'histoire de l'orthographe sont décrites ci-dessous.

X (-us)

Dans les manuscrits médiévaux en ancien français, on trouve souvent la lettre x utilisée comme signe d'abréviation pour la suite de lettres -us après voyelle et en fin de mots, alors très fréquente. Par exemple, ce qui est écrit chevax doit être lu chevaus /ʧəvaus/, qui a évolué ensuite en /ʃəvo/ (par monophongaison de [au] et simplification de l'affriquée /ʧ/). Cette habitude s'est ensuite perdue mais certains mots fréquents qui s'écrivaient au cas régime pluriel avec ce x (issu de plusieurs origines, dont la plus courante est la vocalisation d'un /l/ devant consonne suivi de la désinence -s) l'ont conservé alors que leur graphie a été adaptée aux usages actuels. Le mot cheval se déclinait, en ancien français, ainsi :
- singulier :
  - cas sujet : cheval-s → chevau-s (vocalisation du /l/) écrit chevax ;
  - cas régime : cheval ;
- pluriel :
  - cas sujet : cheval ;
  - cas régime : cheval-s → chevau-s écrit chevax. Comme les formes à s'être conservées sont celles du cas régime, les plus fréquentes, l'on a actuellement le couple suivant : (un) cheval ~ (des) chevaus. On écrit cependant ce pluriel (comme dans nombre de noms en -al de même origine), -aux par réfection analogique : x n'étant plus compris comme un raccourci pour -us, étant une consonne par ailleurs souvent muette en fin de mots (croix, voix), on a ajouté un u après le a pour faire correspondre la prononciation [o] avec le digramme habituel au. De fait, l'orthographe chevaux est redondante puisqu'elle revient à chevauus. L'utilisation de -x pour -us dans les manuscrits français est tellement courante que les éditions critiques et philologiques modernes la reproduisent le plus souvent. L'influence de cette graphie dans l'orthographe française explique aussi le maintien de cet usage. Le terme -us était parfois abrégé par un 9 placé en exposant à la fin du mot, par exemple Image:9-expo.gif (plus).

L'usage du Tilde, des lettres barrées et de la cédille

Image:9-expo.gif Les moines copistes puis les premiers imprimeurs ont utilisé le tilde, essentiellement sur les voyelles, pour abréger certains groupes de lettres. Ainsi :
- a tilde = « an » Image:a-tilde.gif (banquets) ;
- e tilde = « en » ou «em» Image:e-tilde.gif (ancienne) ;
- i tilde = « in » Image:i-tilde.gif (ineptement) ;
- o tilde = « on » ou «om» Image:o-tilde.gif (hommes) ;
- u tilde = « un » ou «on» Image:u-tilde.gif (aucun) ;
- n tilde = « neu » Image:n-tilde.gif (seigneur) ;
- p tilde = « pre » Image:p-tilde.gif (premiere) ;
- q tilde = « que » Image:q-tilde.gif (desquels) ;
- r tilde = « tr » Image:r-tilde.gif (l(e)tres). Certaines lettres barrées servaient aussi d'abréviations :
- p barré = « par » ou « per » Image:p-barre.gif (par escript) ;
- q barré = « qui » Image:q-barre.gif (qui). À noter enfin le rare :
- p cédille = «pro» Image:p-cedille.gif (profitables). Ces abréviations, très courantes jusqu'au milieu du XVI siècle, ont disparu progressivement. Les voyelles tildées ont été utilisées jusqu'à la fin du XVII siècle. L'exemple de texte en vignette a été réalisé avec la police de caractères [http://geneamichaud.free.fr/telechargements/1550-00.html 1550.ttf], librement téléchargeable, les illustrations des caractères proviennent de numérisations d'ouvrages numérisés (source [http://gallica.bnf.fr/ BnF/Gallica]).

Symboles abréviatifs préservés dans les écritures modernes

Parmi les nombreuseux symboles issus de ligatures ou de signes diacrités que l'on utilisait dans les manuscrits, certains se sont maintenus dans les écritures modernes. On peut compter à ce titre l'esperluette (& ; ligature de et) ainsi que le croisillon (# ; abréviation de numerus, « numéro », soit N surmonté d'un titulus).

Articles connexes


- acronyme ;
- sigle ;
- alphabet latin ;
- linguistique.

Lien externe


- Le [http://www.linux-france.org/prj/jargonf/ Jargon français] de Roland Trique catégorie:norme Catégorie:Philologie
- ja:略語 simple:Abbreviation

Zéro

: Zéro redirige ici. Cet article est relatif au nombre 0. Pour l'article sur l'année zéro, voyez Année zéro. ---- 0 (zéro) est l'entier naturel précédant 1. C'est un chiffre désignant la valeur nulle.
C'est le cardinal (nombre d'éléments) de l'ensemble vide.

Histoire

Il n’est apparu que trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par les différents peuples et civilisations. La première apparition du zéro semble remonter au à Babylone, il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le système de numération babylonienne). Découvert aussi par les Chinois, qui n’ont pas su en revanche introduire le zéro. Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du , nous apprennent que, dès les - siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades. Il sera également utilisé par les Mayas durant le , mais de même uniquement comme chiffre dans leur système de numérotation de position et non comme nombre. Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari vers le . Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide » « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, traduit par les Arabes en « ṣifr » (Sifr), ce qui signifie « vide » et « grain », est la racine des mots chiffre et zéro. La graphie du zéro, d'abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voute céleste. Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des mathématiciens arabes, notamment ceux d'al-Khwārizmī, vers le . Les chiffres arabes sont importés d'Espagne en Europe chrétienne aux environs de l'an mil par Gerbert d'Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro n'est toutefois pas utilisé, les chiffres arabes servant simplement à marquer les jetons d'abaque de 1 à 9. Ce n'est qu'avec les contacts avec les Arabes dus aux Croisades que les Européens commencent, au , à apprendre l'usage du zéro, en même temps qu'ils ramènent les œuvres des auteurs Arabes et Grecs. Le savant Fibonacci eut une influence déterminante. Il resta plusieurs années en Afrique du Nord et étudia auprès d'un professeur musulman. Il voyagea également en Grèce, en Égypte, et au Moyen-Orient. Il conclut que le système indien était le meilleur. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l'époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque. Il faudra attendre le début du pour que zéro soit pleinement considéré comme un nombre (notamment l'égalité x0=1 pour x>0).

Utilisation

Il est aujourd'hui à la base de notre système de mesure de la température :
- 0 °C : température du passage de l'eau de l'état solide (glace) à l'état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa.
- 0  K : zéro absolu, température la plus basse possible (-273,16 °C), pour laquelle l'énergie cinétique des molécules est nulle. Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au . Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite... C'est ainsi que le et le ont commencé le 1 janvier 2001. Minuit peut se noter 00:00. Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation d'éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc) se fait par décalage par rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation de la base 10

Dans la base dix que l'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines... Lorsqu'il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines. Si l'on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi que l'on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ». On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ». L'utilisation d'un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il ne s'agit pas du concept d'« absence de quantité », il s'agit juste d'un artifice de notation. Par exemple, dans la numération romaine, on n'a pas besoin de cet artifice puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un 0 Pop.

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime par la phrase « il n'y en a pas » (ou « plus »). Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité. Lorsque l'on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets semblables, deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l'on manipule le zéro. L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) a :
- a + 0 = 0 + a = a\, (0 est élément neutre pour l'addition)
- a \times 0 = 0 \times a = 0\, (0 est élément absorbant pour la multiplication)
- si a \ne 0\, alors a^0 = 1\,
- 0^0\, n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que 0^0 = 1\, .
- par convention 0 ! = 1\,
- a + (- a) = 0\,
- a/0 = non défini
- 0/0 = non défini, en remarquant toutefois que le calcul dx/dy lorsque les deux valeurs tendent vers zéro, est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques


- Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien ou l'élément neutre pour l'addition dans un anneau.
- Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe).
- En géométrie, la dimension d'un point est 0.
- En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
- En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
- Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
- Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
- Zéro est l'une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier x2 ou x2y, la fonction de Möbius retournera zéro.
- C'est le nombre de n×n carrés magiques pour n = 2.
- C'est le nombre de solutions du problème des n-dames pour n = 2 et n=3.

Voir aussi

Articles connexes


- Chiffre arabe
- Nombre
- Mathématiques
- Brahmagupta
- Alphabet morse dans lequel le chiffre 0 vaut « ---- »
- Zéro barré

Liens externes


- [http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/Zero.htm Almanach et dictionnaire des nombres] (site de Gérard Villemin)

Bibliographie


- Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife, éd. Hachette, ISBN 2012791921 Catégorie:Nombre ja:0 ko:0 simple:Zero th:0

Divise

Cet article concerne les mathématiques. Voir aussi division (biologie), division (militaire), division (sport) et division cellulaire. La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre". À l'origine, la division sert à faire un partage équitable : Comment répartir 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, de manière équitable ? La division donne la réponse : \frac = 62,5 Chaque personne obtient 62,5 grammes de poudre de perlimpimpin

Vocabulaire & notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note \frac ab. Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : \frac 34 indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a trois -> "trois quarts" Diophante et les Romains, au 4e siècle écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au XIIe siècle et la notation moderne fut adoptée par les Arabes Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz. Les fabricants de calculatrices impriment les symboles \div ou / sur la touche "opérateur division". L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture "en ligne" utilisée en imprimerie ou sur un écran. Aujourd'hui, en classe de 6ème de collège, les notations \div : et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut (discutable) d'opération. Une nuance de sens est communément admise :
  • a\divb et a:b désignent une opération (i.e. non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b.
  • \frac ab et a/b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.

Définition

Étant donné un anneau intègre (A,+,×), la division sur A est la loi de composition : A\times A \to A, notée par exemple « ÷ », telle que \forall (a,b,c)\in A\times A\times A, a ÷ b = c si et seulement si b × c = a. L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur A\times(A-\) si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0. Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble A en posant que \forall (a,b)\in A\times A, a ÷ b est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau A. C'est ainsi que l'on construit \mathbb à partir de \mathbb. Une construction plus rigoureuse de \mathbb le définit comme l'ensembles quotient de \mathbb\times (\mathbb-\) par la relation d'équivalence R définie par \forall ((a,b),(a',b')),(a,b)R(a',b') <=> ab'=a'b. Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent. Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque \forall (a,b)\in \mathbb\times(\mathbb-\), \ est une partie de \mathbb non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément. Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le b de la définition ne peut être zéro.

Propriétés

La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne, définie partout), ses "propriétés" n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire. "Non-propriétés" Remarques
  • pseudo-élément neutre à droite : 1
    \frac a1 = a
  • pseudo-élément absorbant à gauche : 0
    si b ≠ 0, \frac 0b = 0
  • égalité de fractions
    • de même dénominateur
      si b ≠ 0, \frac ab = \frac cb <=> a=c
    • en général (qui découle de la construction de \mathbb)
      si b ≠ 0 et d ≠ 0, \frac ab = \frac cd <=> ad=bc
  • ordre
    si b > 0, \frac ab et \frac cb sont dans le même ordre que a et c

Algorithme de la division

Cet algorithme sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers, qui se généralise au quotient de deux nombres décimaux Dans certains cas, la division "ne se termine pas", ce qui signifie que l'agorithme itère à l'infini. Dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur. Dans une division non exacte a\divb (a et b étant deux nombres entiers, b non nul), si on note q_p et r_p respectivement le quotient et le reste obtenus après p en poussant les itérations jusqu'à obtenir p chiffres après la virgule du quotient, on obtient un encadrement ou une égalité :
\frac ab \mathbb q_p à 10^ près ou q_p <\frac ab < q_p+10^ et \frac ab = q_p + \frac
Un nombre irrationnel (réel, sans être rationnel) ne peut s'écrire sous forme de fraction, par définition.

Maths & langue française

On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite. Ainsi, on peut :
- diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau
- simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque]
- diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait
- simplement diviser 1 en 36ème
- etc. On peut également diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique.
\frac ab = c : « a divisé par b est égal à c ».

Voir aussi


- Divisibilité
- Division euclidienne
- Fraction
- Modulo
- Multiplication Catégorie:Arithmétique ja:除法 simple:Division th:การหาร

1 (nombre)

Catégorie:Nombre : Un redirige ici. Cet article est relatif au nombre 1. Pour l'année, voir 1. ---- 1 (un) est l'entier naturel suivant 0 et précédant 2.
Il représente une entité seule. Un fait quelquefois référence à l'unité, et unitaire est quelquefois utilisé comme un adjectif dans ce sens. (Par exemple, un segment de longueur unitaire est un segment de longueur 1). Le préfixe du système international pour 10001 est kilo (k), et pour son inverse milli (m).

Évolution du glyphe

Image:Evolution1glyph.png Le glyphe que nous utilisons aujourd'hui dans le monde occidental pour représenter le nombre 1, une ligne verticale, souvent avec un petit sérif au sommet et quelquefois une petite ligne horizontale à la base, trouve ses racines chez les brahmanes indous. Ceux-ci écrivaient 1 sous forme d'une ligne horizontale (en Chine aujourd'hui, c'est la manière dont il est écrit). Les Gupta l'écrivait comme une ligne incurvée, et les Nagari quelquefois ajoutaient un petit cercle sur la gauche (tourné d'un quart de tour vers la droite, ceci ressemble au 9 puis devint l'écriture actuelle dans les écrits du Goujerat et du Panjâb). Les Népalais les tournaient aussi vers la droite, mais gardaient le petit cercle. Ceci devint finalement le sérif du sommet dans l'écriture moderne, mais la petite ligne horizontale occasionnelle a probablement comme origine la ressemblance avec l'écriture romaine I.

En mathématiques

Pour tout nombre x : : x \times 1 = 1 \times x = x\, (Ceci exprime le fait que 1 est l'élément neutre pour la multiplication). Comme conséquence de ceci, 1 est un nombre automorphe dans tout système de numération de base quelconque. : \frac = x\, (voir division) : x^1 = x\,, 1^x = 1\,, et pour x\ne 0, x^0 = 1\, (voir exponentiation) : x \uparrow\uparrow 1 = x et 1 \uparrow\uparrow x = 1 (voir puissances itérées de Knuth). En utilisant l'addition ordinaire, nous avons 1 + 1 = 2 ; dépendant de l'interprétation du symbole « + » et du système de numération utilisé, l'expression peut avoir beaucoup de sens différents. Un ne peut pas être utilisé comme base d'un système de numération positionnel de manière ordinaire. Quelquefois les marques de correspondance sont assimilées à la « base 1 » ou système unaire, puisque seulement une marque (souvent un bâton) est nécessaire, mais cela ne marche pas de la même façon que le système de numération positionnel. En liaison avec ceci, nous ne pouvons pas prendre de logarithmes avec une base 1, puisque la « fonction exponentielle » de base 1 est la fonction constante 1. Dans la représentation de Von Neumann des nombres naturels, 1 est défini comme l'ensemble . Cet ensemble possède une cardinalité 1 et un rang héréditaire 1. Les ensembles comme ceci avec un élément unique sont appelés singletons. Dans un groupe multiplicatif ou monoïde, l'élément neutre est quelquefois noté « 1 », mais « e » (issu de l'allemand Einigkeit, unité) est plus traditionnel. Néanmoins, « 1 » est spécialement dédié pour l'identité multiplicative d'un anneau. (Notons que cette identité multiplicative est souvent appelée « unité ».) Un est sa propre factorielle, et son propre carré et son propre cube (et ainsi de suite, comme 1 × 1 × ... × 1 = 1). En conséquence du fait qu'il soit sont propre carré, un est aussi un nombre de Kaprekar. Un est le premier nombre figuré de chaque sorte, telle que les nombres triangulaires, nombres pentagonaux, nombres tétraédrique et les nombres hexagonaux centrés pour en nommer simplement un peu. C'est aussi le premier et le deuxième nombre dans les suites de Fibonacci, et le premier nombre de beaucoup de suites mathématiques. Comme sujet de convention, le premier Livre de suites entières de Sloane ajoutait un 1 initial à chaque suite qui n'en avait pas déjà un, et considérait ces 1 initiaux dans leurs ordre lexicographique. Plus tard, Sloane dans son Encyclopédie des suites entières et sa contrepartie Web, lEncyclopédie électronique des suites entières, ignora ces 1 initiaux dans leur ordre lexicographique des suites, car de tels 1 initiaux correspondent aux cas triviaux. Un est le produit vide. Un est un nombre en division harmonique. Un est le plus souvent utilisé pour représenter la 'vérité' comme donnée booléenne en informatique. Un n'est pas actuellement considéré comme un nombre premier, bien qu'il soit utilisé en tant que tel, et il le serait en prenant la définition simple de la primalité : que le nombre soit divisible seulement par un et lui-même - un est certainement lui-même. Néanmoins, pour les usages de la factorisation et précisemment pour le théorème fondamental de l'arithmétique, il est plus pratique de ne pas voir un comme un facteur premier, ou de le voir comme un facteur implicite qui existe toujours mais qui est non-écrit. Pour exclure le nombre un de la liste des nombres premiers, la primalité est définie comme un nombre ayant exactement deux diviseurs distincts, un et lui-même, lui-même étant un nombre autre que un. Le dernier mathématicien professionnel à publier 1 en tant que nombre premier était Henri Lebesgue en 1899, bien que Carl Sagan incluait un dans une liste de nombres premiers dans son livre Contact en 1985. Un est une des trois valeurs possibles retournées par la fonction de Möbius. En entrant un entier qui est sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne un. Un est le seul nombre impair qui est dans l'intervalle de la fonction indicatrice d'Euler \varphi(x)\, , dans les cas où x = 1 et x = 2. Un est le seul nombre parfait d'ordre 1 (voir nombre parfait multiple). Un est égal à la somme de ses chiffres dans tout système de numération de base différente, c'est un nombre Harshad complet. Un est le nombre de n × n carrés magiques pour n = 1, 3. Un est le nombre de solutions du problème des n-dames pour n = 1. Un est un nombre méandrique, un nombre semi-méandrique, et un nombre méandrique ouvert. Par définition, 1 est la magnitude ou la valeur absolue d'un vecteur unité et de la matrice unité. Un est la valeur de \sin(\frac)\, et de \cos(0)\, , lorsque l'angle est mesuré en radians. Un est 0,999999... Voir aussi -1.

Dans la société humaine

Beaucoup de cultures humaines ont donné au concept d'unicité des sens symboliques. Beaucoup de religions considèrent Dieu comme l'exemple parfait d'unicité.

Origine du « UN »

UN exprime le premier des nombres. Sa graphie en chiffre, 1, marque l'énergie ascendante qui redescend verticalement. Dans l'absolu Un a été en quelque sorte divinisé. « Dieu, c'est Un, le Nombre des Nombres » affirme Hiérocles, disciple de Pythagore. De ce point de vue, dans le Principe, il n'est ni pair, ni impair, ni masculin, ni féminin, il est sans qualificatif. Il est cause de Tout. « L'activité absolue est Unique, elle est “Cause causale”, nullement “cause cosmique”, elle est l'Unité et non encore l'Unité ternaire » (Schwalier deLubicz, Propos sur l'Esotérisme et le Symbole), l'Unité ternaire étant inhérente à la manifestation. Amadou-Hampaté Bâ rapporte que chez les Peuls, « le “un” n'est pas considéré comme un nombre, mais est l'unité inconnaissable et indéterminée. » (Amadou-Hampaté BÂ, L'Eclat de la Grande Etoile). Dans le relatif, il en va tout autrement ; 1 est masculin, phallique. Le trait plein, yang, du Yi King, lorsqu'il est mutable, engendre le trait yin séparé en deux tirets, le deux. UN n'engendre pas seulement le deux mais tous les nombres par sa propre répétition. Il se divise lui-même sans se diviser. Il n'est multiple d'aucun autre mais il est le diviseur de tous. Il divise tout nombre et, pourtant, il ne divise pas puisque le résultat de la division d'un nombre par un est ce nombre lui-même. Un est aussi important pour les nombres que le mot Dieu qui supporte tous les autres mots. Le philosophe Emerson pressent cette unité lorsqu'il écrit, non pas à propos des nombres mais à propos des mots : « On dirait qu'une seule personne est l'auteur de tous les livres qui existent dans le monde ; il y a en eux une unité si fondamentale qu'on ne peut nier qu'ils soient l'œuvre d'un seul homme omniscient. » Ainsi les mots, comme les nombres, nous ramènent-ils à l'Unité, au divin. De ce point de vue, le 1 supporte tous les autres nombres. Tous ne sont en fait qu'un. « Ex Uno non fit nisi Unum » « De l'Un ne peut procéder que le Un » écrit Leibniz. La conscience de cette vérité est ancienne. Au premier siècle avant Jésus-Christ, le grec Cornélius Agrippa énonçait : « Le nombre n'est que la répétition de l'Unité. L'unité pénètre le plus simplement tous les nombres, et étant la mesure commune de tous les nombres, leur source et leur origine, elle les contient tous étant joints uniquement, demeurant incapable de multitude, toujours la même et sans changement : c'est ce qui fait qu'étant multipliée, elle ne produit rien qu'elle-même. Un est le principe de toutes choses et toutes vont jusqu'à un, et après lui il n'y a rien (...) Un se rapporte donc à Dieu qui, étant un et innombrable, crée cependant quantité de choses et les contient dans soi. » Chaque partie du tout est comparable à un hologramme brisé en morceaux dans laquelle il est possible de voir apparaître l'objet entier, tout point de la plaque photosensible contenant tous les points de l'objet. La division de l'Unité, son fractionnement (1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc.), tend vers le zéro mathématique, mais « les fractions ne peuvent être des “ parties de l'unité”, comme on le dit, car l'unité arithmétique véritable est nécessairement indivisible et sans parties ; et c'est d'ailleurs de là que résulte la discontinuité essentielle du nombre qui est formé à partir d'elle » (Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal). L'Unité ne s'oppose qu'en apparence à la diversité nous dit Pascal dans l’une de ses Pensées : « Tout l'univers est contenu dans l'Unité ». Pourtant, l'Unité est-elle concevable en soi ? Dès qu'il y a une chose créée, il y a cette chose et celui qui la regarde. Le binaire ne peut connaître l'Unité, seule l'Unité peut connaître ce qui est issue d'elle. C'est pourquoi il est souvent question de la bi-unité divine ou du multiple-un. Le Créateur, Dieu, est chanté par le poète persan : « Son unité est une essence par laquelle [existe] toute multiplicité, et Lui-même constitue la cause par laquelle existent toutes les causes » (Marquet Yves - Poésie ésotérique ismaïlienne : la Ta'iyya de 'Amir al-Basrî - Paris : Maisonneuve et Larose, 1985, v. 52, p. 50). Dans l'ancienne Egypte, l'une des épithètes d'Amon, Dieu créateur anthropomorphe, « roi des Dieux », est « Un qui se fait millions ». La convergence est grande entre les diverses traditions puisque saint Thomas d'Aquin dit : « Mesure la multitude par l'unité. » Cette vérité est aujourd'hui comme toujours réaffirmée, que cela vise une multitude apparemment extérieure à l'homme ou la multitude des facettes intérieures de nous-mêmes : « Dans la multitude vois l'Unité, dans l'Unité vois le multiple contenu en puissance et puis résorbe par la Conscience toute consciente » (Emmanuel-Yves MONIN - Le Son du Désert). Le multiple naît de l'Un pour retourner à l'Un. Empédocle affirmait déjà : « A un moment, l'Un se forma du Multiple, en un autre moment il se divisa et de l'Un sortit le Multiple. » Et Teilhard de Chardin, dans sa vision de l'unité en gestation dans le bouillonnement du multiple, émet la même hypothèse : « Tout se passe comme si l'Un se formait par unification successive du Multiple et comme s'il était d'autant plus parfait qu'il centralise sous lui plus parfaitement un plus vaste Multiple » (Mon Univers). Dieu est l'Alpha et l'Omega. Omar Khayyâm de dire dans l’un de ses Quatrains : « J'ai prononcé la première lettre de l'alphabet et mon cœur m'a dit : “Maintenant, je sais. Un est le premier chiffre du Nombre qui ne finit pas.” » Dans cette Création sans cesse renouvelée, que sommes-nous ? A cette question il est répondu : « vous êtes le Multiple de Dieu qui s'est créé par l'Unité de Dieu. » (Karuna - Les Sons de Dieu). Voir monade pour une discussion détaillée à propos d'autres types d'unicités. Un représente l'unité, l'union, et l'absence de séparation ou de discrimination, c-à-d « Nous sommes tous un. » Quelque chose est unique si c'est la seule chose de son espèce. De manière plus dégradée et plus exagérée (spécialement en publicité), le terme est utilisé pour quelque chose de très spécial. Un est l'article indéfini masculin singulier ; le féminin est une. Un est aussi l'expression de la troisième personne du singulier pour la distinguer d'un groupe (« L'un de vous prendra-t-il un café ?) ».

En sciences

Un est :

- posé comme égal à la constante physique (c), la vitesse de la lumière, dans la notation d'Heaviside pour simplifier les calculs.
- le facteur dans les rapports pour les conversions d'unités.
- le rapport total de densité pour un univers plat.
- le numéro atomique de l'hydrogène.

Dans d'autres domaines

Un est :

- Le nom d'une compagnie de train de l'East Anglia en Angleterre.
- Le titre des chansons de Metallica, U2, Creed, Marvin Hamlisch (dans la comédie musicale A Chorus Line), Alanis Morissette, Harry Nilsson, Three Dog Night, et les Bee Gees.
- La dénomination du billet de 1 dollar US où figure le portrait de George Washington, et la dénomination de la pièce de 1 dollar US où figure le portrait de Sacagawea.
- La dénomination de la pièce de 1 cent de dollar US où figure le portrait d'Abraham Lincoln.
- Le nombre de la première pièce d'euros.
- L'indicatif téléphonique international vers les pays participant au plan de numération nord-américain, tels que les États-Unis et le Canada.
- Le n° de la zone DVD des États-Unis et du Canada.
- La plus haute position universelle sur la plupart des listes et classements.
- Une partie du surnom de la 1ère division d'infanterie des forces armées des États-Unis, « The Big Red One ».
- Dans les pays anglo-saxons, la phrase « number 1 » est un euphémisme pour aller uriner (dérivé à partir de la pratique d'école élémentaire traditionnelle aux États-Unis de lever un ou deux doigts pour indiquer le temps approximatif de l'absence requise).
- Le mot Un (avec une majuscule) est un euphémisme pour Dieu (voir aussi Unicité).
- « ONE » est un acronyme qui fait référence à « ONE North East », l'agence de développement régional dans le nord-est de l'Angleterre.
- Le numéro de la maison de Number One Observatory Circle, la résidence du vice-président des États-Unis d'Amérique.
- Comme pour Air Force One, un est le signe d'appel de n'importe quel appareil de l'United States Air Force transportant le président des États-Unis d'Amérique.
- Au baseball, un représente la position du lanceur.
- Le nombre de sourates al-Fatiha dans le Coran.
- En musique :
  - le chiffre romain I représente le degré de la gamme nommé tonique, lorsqu'il est distingué I = majeur, i = mineur.
  - Le premier mode est appelé ionien.
  - La première note d'un accord est appelée la fondamentale.
  - Un (groupe) est un groupe de musique du Québec.
- La première dans le système scolaire français est la deuxième classe du lycée.
- Le nombre de dieux qui existent, en accord avec le monothéisme (voir aussi : tawhid)
- En France, le nombre d'années de mariage des noces de coton.
- Dans les pays anglo-saxons et en Allemagne, le nombre d'années de mariage des noces de papier.
- La première planète du système solaire s'appelle Mercure.
- Années historiques : -1, 1, ou l'année 1 dans un siècle.
- Le n° du département français d'Ain.
- Le numéro de l'autoroute française A1 qui part de Paris pour atteindre Lille (appelée l' « autoroute du Nord »).

Voir aussi

Articles connexes


- Alphabet Morse dans lequel le chiffre 1 vaut «
- ---- »
- Combinaisons de paires chiffre et lettre commençant par 1 :
  - 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h 1i 1j 1k 1l 1m 1n 1o 1p 1q 1r 1s 1t 1u 1v 1w 1x 1y 1z
  - 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I 1J 1K 1L 1M 1N 1O 1P 1Q 1R 1S 1T 1U 1V 1W 1X 1Y 1Z

Liens externes


- [http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/UnP1.htm Almanach et dictionnaire des nombres] (site de Gérard Villemin) ja:1 ko:1 simple:One th:1

Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est un algorithme pour déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux nombres entiers. Il est décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide. L'algorithme n'exige pas de factorisation, qui est très fastidieuse quand on doit travailler sur de grands nombres entiers. Étant donnés deux entiers naturels a et b, on commence par tester si b est nul. Si oui, alors le P.G.C.D. est égal à a. Sinon, on calcule c, le reste de la division de a par b. On remplace a par b, et b par c, et recommence le procédé. Calculons par exemple, le pgcd de 1071 et 1029 (égal à 21) par cet algorithme avec les étapes suivantes: L'algorithme peut être traduit dans le langage Python comme suit: def pgcd(a,b): while b != 0: c = a%b a = b b = c return abs(a) (La valeur absolue (abs) est utilisée dans la dernière ligne, pour assurer que le programme traite correctement des données négatives; rappelons que le pgcd est un entier naturel. Exemple : pgcd(-7,0) = 7.) En mettant de côté les quotients obtenus à chaque étape de l'algorithme, on peut déterminer aussi des nombres entiers p et q tels que : :ap+bq = pgcd (a,b). Voir l'algorithme d'Euclide étendu. Ces algorithmes peuvent être utilisés dans n'importe quel contexte dans lequel toutes les divisions avec reste sont possibles. Ceci inclut les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps, l'anneau des entiers de Gauss, et en général tout anneau euclidien. Au début, Euclide a formulé le problème géométriquement : comment trouver une «unité de mesure» commune pour deux longueurs de segments. Il procéda par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Ceci est illustré avec l'implémentation suivante dans le langage de programmation Python, qui travaille uniquement à partir de données strictement positives et est considérablement moins efficace que la méthode expliquée ci-dessus: def pgcd(a,b): while a != b: if a > b: a = a - b else: b = b - a return a

La Preuve de l'exactitude de l'Algorithme d'Euclide

La preuve de cet algorithme n'est pas difficile. Supposons que a et b soient des nombres entiers non tous deux nuls. Et supposons que le reste de la division euclidienne de a par b soit c. Alors l'on peut écrire a = q.b + c\, où q est le quotient de la division d'où c = a - q.b\,. Puisque l'on cherche \varepsilon = pgcd(a,b) alors l'on en déduit que a\, est un multiple d'\varepsilon et b\, est un multiple d'\varepsilon . Puisque c = a - q.b\, alors c\, est la somme (au sens général) de deux multiples d'\varepsilon donc c\, est multiple d'\varepsilon. On peut donc dire que pour trouver le plus grand commun diviseur de a et de b, il suffit de trouver le plus grand commun diviseur de b et de c. Cela justifie que l'on puisse continuer le procédé avec les nombres b et c. Puisque c est le reste de la division entière de a par b alors c est toujours plus petit que b, nous atteindrons c = 0 après un nombre fini d'étapes.

Exécution

En étudiant l'exécution de l'algorithme d'Euclide, il apparaît que les nombres qui exigent le plus d'étapes sont les nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, et dans le pire des cas cela demande O(n) divisions, où n est le nombre de chiffres dans les données (voir la notation grand O).

Fractions continues

Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus. Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2): :1071 = 1029 × 1 + 42 :1029 = 42 × 24 + 21 :42 = 21 × 2 + 0 De cela on tire : :\frac = \mathbf + \frac. Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029. On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante :
- \frac = \mathbf = \frac
- \frac = \mathbf + \frac = \frac
- \frac = \mathbf + \frac = \frac Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ;  comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie ! nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement en série de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynômiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné. La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements (voir par exemple la démonstration de l'irrationalité de ζ(3)). Euclide,Algorithme d' Euclide,Algorithme d' ko:유클리드 호제법 ja:ユークリッドの互除法

Euclide

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme un des textes fondateurs des mathématiques modernes : la rigueur n'est pas toujours à la hauteur des canons actuels mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni de conique, ni de résolution par neusis ou ajustement). La géométrie telle que définie par Euclide dans ce texte fut considérée comme la géométrie pendant des siècles, et fut difficile à expugner de ce rôle ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi ses papiers qu'il avait aussi songé à des géométries non euclidiennes ! Depuis, l'existence d'une grande variété de géométries distinctes, mais toutes aussi valables est communément admise. Euclide est aussi l'auteur des Données, de L'optique et la catoptrique et d'un livre perdu sur les coniques.

Voir aussi

Liens internes


- Division euclidienne
- Géométrie euclidienne

Liens externes

Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (1632, traduction en vieux français) Catégorie:Mathématicien de la Grèce antique Catégorie:Philosophe grec ja:エウクレイデス ko:유클리드

Plus petit commun multiple

ko:최소공배수 ja:最小公倍数 catégorie:Arithmétique Le plus petit commun multiple (en abrégé P.P.C.M.) de deux entiers a et b est le plus petit nombre entier strictement positif qui est un multiple des deux entiers a et b. On le note ppcm (a,b). S'il n'existe aucun tel nombre entier strictement positif, c'est-à-dire si a ou b est nul, alors ppcm (a,b) (aussi noté a⋁b) est par convention égal à zéro. Le plus petit commun multiple est utile pour ajouter ou soustraire des fractions, parce qu'il produit un dénominateur commun. Par exemple : :2/21 + 1/6 = 4/42 + 7/42 = 11/42 On se ramène au dénominateur 42, parce que ppcm(21,6) = 42. Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou P.G.C.D.) de a et b, a \vee b = \frac qui s'écrit aussi ppcm(a,b) = \frac Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du P.G.C.D. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du P.P.C.M.. Par exemple : :le P.P.C.M. de 12 et 15 est 12 × 15/3 = 60.

Anneau commutatif

Dans la théorie des anneaux, une branche de l’algèbre abstraite, un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. Cela signifie que pour tous les éléments a et b de l’anneau, on a a
- b=b
- a, en notant
- cette loi de multiplication. L’étude des anneaux commutatifs, s’appelle l’algèbre commutative.

Histoire

Voir la théorie des anneaux

Exemples


- L’exemple le plus important est l’anneau des entiers muni des lois d’addition et de multiplication ordinaires. La multiplication des entiers est commutative. L’anneau est souvent noté \mathbb dans la littérature en référence au mot allemand « Zahlen » (nombres),
- Les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes forment des anneaux commutatifs, et même des corps commutatifs,
- plus généralement, tout corps commutatif est un anneau commutatif, et ainsi la classe des corps commutatifs est une sous classe de la classe des anneaux commutatifs,
- l’un des exemples les plus simples d’anneaux non commutatifs, est l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Par exemple, le produit des matrices :\begin 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end\cdot \begin 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end= \begin 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end n’est pas égal au produit de ces mêmes matrices dans l’ordre inverse :\begin 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end\cdot \begin 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end= \begin 1 & 2\\ 1 & 1\\ \end
- si n est un entier strictement positif, alors l’ensemble \mathbb/n\mathbb des classes de congruence modulo n est un anneau commutatif à n éléments (voir arithmétique modulaire),
- si A est un anneau commutatif, alors les polynômes d’indéterminée X à coefficients dans A forment un nouvel anneau commutatif, noté A[X],
- de la même façon, l'ensemble des séries formelles, AX1,...,Xn sur un anneau commutatif A est un anneau commutatif. Si A est un corps commutatif, alors l’anneau des séries formelles est un cas particulier d’anneau commutatif, appelé un anneau local,
- l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur est impair forme un anneau commutatif, et en fait un anneau local. Cet anneau contient strictement l’anneau des entiers, et est lui-même un sous-ensemble propre du corps des rationnels,
- si p est un nombre premier, alors l’ensemble des entiers de l’ensemble des nombre p-adiques est un anneau commutatif.

Construction d’un nouvel anneau commutatif à partir d’un anneau commutatif donné


- Étant donné un anneau commutatif, A et un idéal I de A, l’anneau quotient A/I est l’ensemble des classes modulo I munie des lois définies par (a+I)+(b+I)=(a+b)+I et (a+I)(b+I)=ab+I.
- si A est un anneau commutatif donné, alors l’ensemble des polynômes A[X1,...,Xn] à coefficients dans A forme un nouvel anneau commutatif, appelé l’anneau des polynômes de n indéterminées et à coefficients dans A ,
- si A est un anneau commutatif donné, alors l'ensemble des séries formelles AX1,...,Xn à coefficients dans un anneau commutatif A, est appelé l’anneau des séries formelles de n indéterminées à coefficients dans A,
- si B est un sous-ensemble d’un anneau commutatif A, qui n’a aucun diviseur de zéro et qui est stable pour la multiplication, c’est-à-dire tel le produit de deux éléments quelconques de B appartienne à B, alors l’ensemble des fractions formelles (a, b) où a est un élément quelconque de A et b est un élément quelconque de B forme un nouvel anneau commutatif; l’addition, la soustraction, la multiplication et l’égalité étant définies sur ce nouvel ensemble de la même façon que pour les fractions ordinaires. Le nouvel anneau est noté AB et est appelé la localisation de A à B.
Un exemple illustrant ce qui précède est la localisation de l’anneau des nombres entiers au sous-ensemble des nombres entiers impairs stable par multiplication. Le corps des nombres rationnels est la localisation de l’anneau commutatif des nombres entiers à l’ensemble stable par multiplication de nombres entiers non nuls.
- si I est un idéal d’un anneau commutatif A, les puissances de I forment un voisinage topologique de 0 ce qui permet à A d’être considéré comme un anneau topologique. A peut être complété en conservant cette topologie. Par exemple, si \mathbb est un corps, \mathbbX, l’anneau des séries formelles en une indéterminée à coefficients dans \mathbb, est le complété de l’anneau \mathbb[X] des polynômes à coefficients dans \mathbb, sous la topologie produite par les puissances de l'idéal engendré par X.

Remarques générales

La structure interne d'un anneau commutatif est déterminée par la considération de ses idéaux. Tous les idéaux dans un anneau commutatif sont des idéaux des deux côtés (à droite et à gauche), ce qui rend leur utilisation beaucoup plus aisée que dans le cas général. La structure externe d'un anneau commutatif est déterminée par des considérations d'algèbre linéaire sur cet anneau, c'est-à-dire en étudiant les modules sur cet anneau. Cette étude est sensiblement plus difficile quand l’anneau commutatif n’est pas un corps commutatif et s’appelle habituellement l’algèbre homologique. L’ensemble des idéaux d’un anneau commutatif A peut être considéré comme l’ensemble des A-modules qui sont des sous-ensembles de A. Les anneaux commutatifs sont parfois caractérisés par les éléments qu’ils contiennent qui ont des propriétés particulières. Un élément neutre pour la multiplication dans un anneau commutatif appelé élément unité, est un élément particulier (habituellement noté 1) tel que pour tout élément a de l’anneau, on ait 1
- a =a. Un anneau commutatif possédant un tel élément s’appelle un anneau unifère, ou parfois anneau unitaire. Un élément a d’un anneau commutatif unifère est dit inversible s’il possède un symétrique pour la multiplication, c’est-à-dire s’il existe un élément de b de l’anneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a
- b = b
- a = 1. Tout élément non nul d’un corps est un élément inversible. Tout élément d’un anneau local commutatif n’appartenant pas à l’idéal maximal est inversible. Un élément différent de zéro a d’un anneau commutatif est dit diviseur de zéro, s’il existe un élément non nul b de l’anneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a
- b = 0. Un anneau commutatif unifère qui ne possède aucun diviseur de zéro est appelé un anneau intègre puisqu’il ressemble d’une certaine façon à celui des nombres entiers. Commutatif ko:가환환

Anneau euclidien

En théorie des anneaux, un anneau euclidien est un anneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne. C'est, parmi les anneaux, celui qui possède le plus de propriétés concernant la divisibilité.

Division euclidienne

On définit une division euclidienne par la donnée d'une application (appelée valuation) v de A - dans \mathbb N telle que : pour tout a de A et b de A - , il existe q et r dans A tels que : a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b) Si, de plus, on impose à v de vérifier : si b divise a alors v(b) \leq v(a) , on dit que v est un stathme euclidien On reconnait là la forme de la division euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels \mathbb N pour laquelle v(n) = n. On peut remarquer toutefois que, d'une part \mathbb N n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de q et r. Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à \mathbb Z (ensemble des entiers relatifs) la définition de la division dans \mathbb N , il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur b (b > 0) restreignant ainsi le champ de validité de la division euclidienne, ou bien accepter de prendre b négatif et prendre pour définition a = bq + r avec |r| < |b|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles : : 19 = (- 5) × (- 3) + 4 avec |4| < |-5| mais aussi 19 =(- 5) × (- 4) + (-1) avec |-1| < |-5| L'existence d'une division euclidienne découverte bien évidemment dans l'ensemble des entiers ne se limite pas à ce type d'ensemble. On la retrouve par exemple dans l'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps K : A = BQ + R avec deg(R) < deg (B) :si A = x^3 + 3x^2 + x - 5\, et B = 2x^2 - 1\, alors x^3 + 3x^2 + x - 5 = (2x^2 - 1)(\fracx +\frac) + \fracx - \frac où elle conserve l'unicité du couple. Mais on la trouve aussi dans des ensembles plus complexes comme l'anneau de Gauss \mathbb Z[i]: ensemble des complexes s'écrivant a + ib avec a et b entiers relatifs. On remarque que, pour tout complexe z, il existe des éléments q de \mathbb Z[i] tels que | z - q | <1. Géométriquement cela se traduit par la propriété : dans le plan complexe, tout disque de rayon 1 contient des points de coordonnées entières. On peut alors définir une division euclidienne : pour tous a et b de \mathbb Z[i] avec b non nul, il existe un ou plusieurs éléments q de \mathbb Z[i] tels que | a/b - q | < 1. On peut donc écrire que :a = bq + r avec | r | < | b |. L'unicité n'est pas réalisée : : 1 + 2i = (1 + i) × 2 - 1 mais aussi 1 + 2i = (1 + i) × (1 + i) + 1

Propriétés

Un anneau euclidien est toujours principal. : Il suffit pour cela de prendre dans un idéal I un élément a non nul dont la valuation est minimale. Si x est un élément de l'idéal alors x = aq + r avec r = 0 ou v(r) < v(a). Comme r est aussi un élément de I , ou bien r est nul ou bien sa valuation est supérieure ou égale à a (contradictoire) . r est donc nul et x appartient à (a) . Donc I = (a) On peut donc définir dans A, des ppcm, des pgcd, et décomposer tout élément de A de manière unique en produits de facteurs premiers. Un anneau euclidien est donc toujours factoriel. Pour déterminer un pgcd de deux éléments, on peut utiliser un algorithme d'Euclide : si a = bq + r , un pgcd de (b , r) est aussi un pgcd de (a , b). v(r) étant inférieur v(b), on est assuré que la méthode a une fin : le reste finit par être nul. Recherche d'un pgcd de 2x^3 + 4x - 6\, et de x^2 - 3x + 2\, : 2x^3 + 4x - 6 = (x^2 - 3x + 2)(2x + 6) + 18x - 18 \, puis :x^2 - 3x + 2 = (18x - 18) (\fracx - \frac) + 0 donc 18x - 18 est un pgcd des deux polynômes, tout comme x - 1.

Exemples d'anneaux euclidiens

Les développements précédents ont permis de montrer que
- Z est un anneau euclidien
- si K est un corps commutatif, K[X] est un anneau euclidien
- \mathbb Z[i] : l'anneau des entiers de Gauss est aussi euclidien. En revanche, l'ensemble \mathbb Z[i\sqrt] n'étant pas factoriel, il ne peut pas être euclidien.
- Si K est un corps commutatif, KX l'anneau de ses séries formelles est aussi euclidien pour la valuation: v(P) = plus petit degré de X dans P.
- Si A est un anneau euclidien et si S est une partie de A stable pour la multiplication. La localisation de A par rapport à S est aussi un anneau euclidien. catégorie: Théorie des anneaux

Malcolm Sargent

Sir Harold Malcolm Watts Sargent (April 29, 1895 – October 3, 1967) was a British conductor, organist and composer. Sargent was born in Ashford in Kent. He worked first as an organist before making his conducting debut at a Promenade concert at the Queen's Hall in London in 1921 with his own piece, Impression on a Windy Day. Early in his career he worked at the D'Oyly Carte Opera Company and with Serge Diaghilev's Ballets Russes from 1927 to 1930. In 1928 he became conductor of the Royal Choral Society, a post he retained until his death. He was chief conductor of the Proms from 1948 to 1966, and of the BBC Symphony Orchestra from 1950 to 1957. He was knighted in 1947. Sargent tackled a wide range of repertoire, but was particularly noted in choral music. He was a champion of contemporary British music, and conducted the premieres of William Walton's oratorio Belshazzar's Feast in 1931 and his opera Troilus and Cressida in 1954. He was also noted as a populariser of classical music, conducting many concerts for children. Sargent lived and worked for some time in Stamford, Lincolnshire, where a primary school is now named after him. He was sometimes nicknamed "Flash" because of his impeccable appearance and was renowned locally for always wearing a white carnation buttonhole. The carnation is now the symbol for the school. Sargent, Malcolm Sargent, Malcolm Sargent, Malcolm Sargent, Malcolm ja:マルコム・サージェント

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