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Morphismes

Morphismes

Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Théorie des catégories En mathématiques, un morphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure. Cette notion est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne une définition formelle bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une fonction, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles. Les morphismes peuvent être classifiés:
- un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
- un isomorphisme est un morphisme

f

entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme

f'

dans le sens inverse, tels que

f\circ f'

f'\circ f

sont les identités des structures ;
- un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
- un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme

f : A\to B

tel que : pour tout couple

g,h

de morphismes de type

B\to E

(et donc aussi pour tout

E

), si

g\circ f=h\circ f

, alors

g = h

;
- un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme

f : A\to B

tel que : pour tout couple

g,h

de morphismes de type

E\to A

(et donc aussi pour tout

E

), si

f\circ g=f\circ h

, alors

g = h

. Exemple: l'identité d'un ensemble est toujours un morphisme, quelle que soit la structure considérée. Et c'est un automorphisme...

Cas des groupes

Si on est dans le cas de deux groupes, cette définition se précise de la façon suivante: un morphisme

f

entre

(G, - )

(G', - ')

, vérifie donc:
-

\forall g,h\in G, f(g - h)=f(g) - 'f(h)

voir article détaillé: homomorphisme de groupe

Cas des anneaux

Dans le cas de deux anneaux

\left(A,+, - ,0_A\right)

\left(A',+', - ',0_\right)

, un morphisme

f

vérifie donc:
-

\forall a,b\in A, f(a+b)=f(a)+'f(b)

\forall a,b\in A, f(a - b)=f(a) - 'f(b)

si les anneaux considérés sont de plus unitaires, on parle de morphisme unitaire lorsque :

f\left(1_A\right)=1_

. Il faut noter qu'un morphisme d'anneaux entre anneaux unitaires n'est pas forcément unitaire, comme le montre l'exemple suivant: si on choisit un ensemble

E

infini, et une sous-partie

F

E

finie et que l'on munit les ensembles des parties de ces ensembles de la structure d'anneau où la somme est l'union disjointe et le produit est l'intersection, il est clair que l'inclusion des parties de

F

dans les parties de

E

est un morphisme d'anneau, mais n'est pas un morphisme d'anneau unitaire... En effet, c'est l'ensemble

E

tout entier qui est élément neutre pour l'intersection dans l'ensemble des parties de

E

, mais l'élément neutre des parties de

F

est

F

... donc son image par l'inclusion n'est pas l'élément neutre de l'anneau d'arrivée!

Cas des espaces vectoriels

Dans le cas de 2

\mathbb K

-espaces vectoriels

(E,+,.)

(F,+',.)

, un morphisme vérifie :
-

f

est un morphisme de groupe pour

(E,+)

(F,+')

\forall x\in E , \forall \lambda\in\mathbb,  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x)

Ce qui est équivalent à :

\forall (x,y)\in E \times E , \forall (\lambda , \mu )\in\mathbb, f(\lambda . x + \mu . y) = \lambda . f(x) + \mu . f(y)

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) : Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une fonction de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y). En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante.

Ensembles isomorphes

On dit que les ensembles

E

F

sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de

E

sur

F

. Savoir que deux ensembles sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrées de l'un à l'autre. Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à

\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z

Applications pratiques

L'étude des morphismes a des applications particulièrement importantes dans la Physique moderne, en particulier la Mécanique quantique.

Voir aussi

- Homéomorphisme : isomorphisme continu et d'inverse continu
- Difféomorphisme : isomorphisme à différentielle continue et d'inverse à différentielle continue

Catégorie:Algèbre abstraite

L’algèbre abstraite est la branche de l’algèbre qui traite des structures algébriques. Catégorie:Algèbre ko:분류:추상대수학

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x ∈ A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z

\ _\not\in

A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : :

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires et sont égales ssi a₁ est égal à b₁ et a₂ à b₂, ou si a₁ est égal à b₂ et a₂ à b₁ : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,

( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par :

\ _\mathbb N

= .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : :

\forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \,

L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
- désigne l’ensemble des nombres réels,
- désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et note l’ensemble de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
- désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P. Par exemple, si

\ _\mathbb Z

est l’ensemble des nombre entiers, alors est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
- désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
- est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple, est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi

- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Isomorphisme

Définitions

Algébriste

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme bijectif. Autrement dit, c'est une bijection pour laquelle les relations algébriques entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée).

Catégorique

Plus généralement, dans la théorie des catégories un isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse à gauche et un inverse à droite.
- inverse à gauche : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que g ∘ f = Id_A
- inverse à droite : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que f ∘ g = Id_B Remarquons qu'avec une notation covariante telle que « ; » à la place de la notation contravariante « ∘ » pour la composition des morphismes, il faudrait inverser ces deux dernières définitions, ou alors préférer appeler ces inverses respectivement post-inverse et pré-inverse. Notons aussi que dans le cas d'une application d'un ensemble A dans un ensemble B, l'existence d'un inverse à gauche est équivalente à celle d'un inverse à droite et que les deux inverses sont la même application, simplement appelée réciproque.
Propriétés
En particulier un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : à savoir qu'il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes. Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.
Objets isomorphes
Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes. Selon bien des points de vues, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ». Exemple : on dira souvent qu'il n'il y a qu'un seul ℝ-espace vectoriel de dimension n (« à un isomorphisme près »). Cela est vrai au sens où toutes les propriétés d'espace vectoriel (relatives à la catégorie des espaces vectoriels) démontrées sur ℝn se vérifieront de la même manière, par exemple, sur ℝn-1[X] (polynômes à coefficients réels de degré n - 1). En revanche, si l'on considère ℝn-1[X] en tant qu'anneau (c’est-à-dire dans la catégorie des anneaux), cela n'a plus aucun sens. L'anneau ℝn-1[X] a en effet de nombreuses propriétés en tant qu'anneau qu'on ne peut transposer à ℝn qui n'en est pas un. La moralité est que cette identification entre deux objets n'aura lieu que dans une catégorie bien précise, où il existe un isomorphisme entre ces deux objets. Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Théorie des catégories

Automorphisme

Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Théorie des catégories Un automorphisme est un isomorphisme, c’est-à-dire un morphisme bijectif, d'une structure mathématique dans elle-même. L'automorphisme le plus connu est l'identité qui a tout élément x d'un ensemble E associe x.

Homomorphisme de groupe

catégorie:Théorie des groupes Un morphisme de groupe (on dit aussi homomorphisme de groupe) est une application d'un groupe dans un autre qui respecte la structure des groupes. Les morphismes de groupe peuvent être rattachés à une théorie plus générale des morphismes. Dans tout cet article,

(G, - )\,

(G',\star)

désignent des groupes, de neutres respectifs

e \

e' \

Définition mathématique

On dit que

f : G \rightarrow G' \,

est un morphisme du groupe

(G, - )\,

dans le groupe

(G',\star)

si :

\forall (x,y) \in G^2, f(x - y)=f(x) \star f(y)

On a alors les deux propriétés suivantes : 1)

f(e)=e' \,

\forall x \in G, f(x^)=[f(x)]^ \,

On dit que f est un isomorphisme si f est un morphisme bijectif. Si de plus,

(G, - )=(G',\star)

, on parle d'automorphisme. Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes: c'est l'objet des paragraphes suivants.

Liens avec les sous-groupes

Soient

H \subset G \,

un sous-groupe de

G \,

H' \subset G' \,

un sous-groupe de

G' \,

. On a alors:

f(H) \,

est un sous-groupe de

G' \,

f^(H') \,

est un sous-groupe de

G \,

Par ailleurs: Si

H \,

est un sous-groupe distingué de

G\,

, alors

f(H) \,

est un sous-groupe distingué de

f(G)\,

H' \,

est un sous-groupe distingué de

G'\,

, alors

f^(H') \,

est un sous-groupe distingué de

G=f^(G')\,

note: dans le cas où

f\,

est surjectif, on a

f(G)=G'\,

et donc

f(H) \,

est un sous-groupe distingué de

G'\,

Noyau et image

Par définition, on appelle noyau (kernel en allemand) du morphisme f, l'ensemble :

\ker f=f^ \ \,

L'image de f est défini par :

\mbox f=f(G) \,

On a les propriétés suivantes :

\ker f

est un sous-groupe distingué de

G\,

\mbox f \,

est un sous-groupe de

G' \,

. Equivalence fondamentale :

f \,\mbox \Leftrightarrow \ker f = \

Isomorphismes de groupe

On suppose dans cette section que

f

est un isomorphisme. On dit alors que les deux groupes

G

G'

sont isomorphes. L'application réciproque

f^

G'

vers

G

est également un isomorphisme de groupe. Les deux groupes

G

G'

vont avoir exactement les mêmes propriétés, c'est-à-dire que du point de vue de la théorie des groupes ils se comportent comme étant le même objet.

théorème d'isomorphisme

Intuitivement, le noyau de

f

traduit le défaut entre

G

G'

. Par exemple, lorsque

ker f

est trivial, le morphisme

f

est injectif. On peut donc voir (via

f

) le groupe

G

comme un sous-groupe de

G'

. C'est une situation optimale. À l'opposé, si

ker f=G

, alors le morphisme est trivial et ne donne aucun renseignement entre

G

G'

. D'une certaine façon, le noyau et l'image indiquent à quel point un morphisme est ou n'est pas un isomorphisme. Cette approche peut permettre de mieux comprendre le premier théorème d'isomorphisme suivant : On peut le noter mathématiquement par : ::

G/ker f\simeq Im(f)

Espace vectoriel

Catégorie:Algèbre linéaire En mathématiques, le concept d'espace vectoriel est lié à la généralisation des vecteurs géométriques.

Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif)

\mathbb

ou, plus précisément, (

\mathbb

, + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps

\mathbb

) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :
- ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
- la loi « + » est associative : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \forall\, \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,

- la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre : ::

\exists\, \vec 0 \in E , \ \forall\, \vec u \in E , \ \vec 0 + \vec u = \vec u + \vec 0 = \vec u \,

- la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \exists\, (- \vec u) \in E\, /\, \ \vec u + (-\vec u) = (-\vec u) + \vec u = \vec 0 \,

- la loi « + » est commutative : ::

\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,

- la loi externe « • » est une application

\mathbb \times E \to E,\, (\lambda,\, \vec u) \mapsto \lambda \cdot \vec u

(on note aussi

\lambda\, \vec u

).
:Elle permet à

\mathbb

d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
- l'élément unité « 1 » du corps

\mathbb

est neutre à gauche pour la loi « • » : ::

\forall\, \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,

- la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,

- la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps

\mathbb

: ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,

- la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps

\mathbb

( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, \mu \in \mathbb , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda \times \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \,

On appelle les éléments de

\mathbb K

des scalaires, par opposition aux éléments de E, appelés vecteurs ; en particulier,

\vec 0

est le vecteur nul. Étant donnés un scalaire

\ \lambda

et un vecteur

\vec u

, le vecteur

\lambda \cdot \vec u

, souvent noté

\lambda\, \vec u

, est appelé produit de ce scalaire et de ce vecteur. Remarque : la loi « • » devrait en réalité vérifier 6 axiomes : 3 pour régler ses rapports avec les 3 autres lois impliquées, et 3 pour régler son comportement vis-à-vis de leurs 3 éléments neutres. Cependant, seuls quatre de ces six axiomes sont indépendants entre eux. Les deux « axiomes » suivants se déduisent en fait des précédents :
- l'élément zéro « 0 » du corps

\mathbb

est exoabsorbant à gauche pour la loi « • » : ::

\forall\, \vec u \in E , \ 0 \cdot \vec u = \vec 0 \,

- l'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi « • » : ::

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \lambda \cdot \vec 0 = \vec 0 \,

Notations : on a désigné ci-dessus les vecteurs par des lettres latines surmontées d'une flèche. Cette notation, héritée du calcul vectoriel élémentaire (vecteurs du plan ou de l'espace), n'est pas usuelle en algèbre linéaire, compte tenu de la grande diversité des situations. En effet, on verra que les vecteurs peuvent être des applications, des polynômes, des matrices, etc. qu'il n'est pas habituel de noter ainsi. On abandonne donc cette notation dans la suite de l'article. On désignera le plus souvent les vecteurs par des minuscules latines (u, v, etc.) et les scalaires par des minuscules grecques (α, β, λ, etc.). En particulier, on notera 0 le vecteur nul d'un espace vectoriel E (il n'y a pas de risque de confusion avec le scalaire nul) ; si l'on tient à faire la distinction, on pourra désigner par

0_E

le vecteur nul de E. Terminologie : un espace vectoriel sur

\mathbb

(respectivement : sur

\mathbb

, sur

\mathbb

) sera également appelé espace vectoriel rationnel (respectivement : espace vectoriel réel, espace vectoriel complexe). Quelques propriétés élémentaires : soient un scalaire

\ \lambda

et deux vecteurs

u,\, v

de E :
-

\ (-1)\, u = -u

- lorsque

\ \lambda \neq 0

\ v = \lambda\, u \iff u = \frac\, v

- si

\ \lambda\, u = 0_E

, alors

\ \lambda =  0

ou (inclusif)

\ u = 0_E

Exemples

- Le corps

\mathbb

lui-même, muni de sa loi d'addition et de multiplication par un scalaire.
- neutre pour l'addition : 0
- Le produit cartésien

\mathbb^n

(ensemble des n-listes ou n-uplets d'éléments de

\mathbb

) muni des lois
-

+:((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\in\mathbb^n\times\mathbb^n \mapsto (x_1+y_1,...,x_n+y_n)

\cdot:(\lambda,(y_1,...,y_n))\in\mathbb\times\mathbb^n \mapsto (\lambda\, y_1,...,\lambda\, y_n)

- neutre pour l'addition :

(0,...,0)

, la n-liste dont tous les éléments sont nuls
- l'ensemble

\mathbb[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

. Les lois «+» et «.» sont définies par : :si

P=\sum_^a_k X^k

Q=\sum_^b_k X^k

\ p\leq n

:
-

+:(P,Q)\in\mathbb[X] \times \mathbb[X] \mapsto P+Q=\sum_^(a_k+b_k) X^k

\cdot:(\lambda,Q)\in\mathbb \times \mathbb[X] \mapsto \lambda\, Q=\sum_^(\lambda\, b_k) X^k

- neutre pour l'addition : le polynôme nul, celui dont tous les coefficients sont nuls
- l'ensemble

\mathcal_(\mathbb)

des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si

\ A=(a_)

\ B=(b_)

:
-

+:(A,B)\in\mathcal_(\mathbb) \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto A+B=(a_+b_)

\cdot:(\lambda,B)\in\mathbb \times \mathcal_(\mathbb) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_)

- neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls
- l'ensemble

\mathcal = E^D

des applications définies sur un ensemble quelconque (non vide) D, et à valeurs dans un espace vectoriel E sur

\mathbb

. Les lois «+» et «.» sont définies par : : si

\ f \in \mathcal

\ g \in \mathcal

\ \lambda \in \mathbb

, on pose pour tout

\ x \in D

\ s(x) = f(x) + g(x)

\ p(x) = \lambda\, f(x)

:
-

+:(f,g)\in \mathcal \times \mathcal \mapsto f+g=s

\cdot:(\lambda,f)\in\mathbb \times \mathcal \mapsto \lambda\, f=p

- neutre pour l'addition : l'application nulle, celle qui envoie tout élément de D sur le vecteur nul de E

Sous-espaces vectoriels

Combinaisons linéaires

Soient

(\lambda_i)_

une famille de scalaires tous nuls, sauf un nombre fini d'entre eux, et

(x_i)_

une famille de vecteurs de E. La combinaison linéaire de la famille de vecteurs

(x_i)_

ayant pour coefficients

(\lambda_i)_

est le vecteur de E noté

\sum_\lambda_i\, x_i

, égal par définition à

\sum_\lambda_i\, x_i

, où

\ J = \left\

(l'ensemble I peut fort bien être infini ; mais J est fini par hypothèse, ce qui donne un sens à la définition, puisqu'on ne sait définir la somme que pour un nombre fini de vecteurs. Lorsque les coefficients sont tous nuls, on convient que la combinaison linéaire est nulle). Cas particulier usuel : si I est un ensemble fini à m éléments (m ≥ 1), par exemple l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et m, les combinaisons linéaires sont les vecteurs pouvant s'écrire :

\sum_^m \lambda_i\, x_i

, ou encore

\lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_m\, x_m

. Un espace vectoriel E est par définition stable par combinaisons linéaires (toute combinaison linéaire de vecteurs de E est un vecteur de E).

Définition

Soit E un

\mathbb K

-espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E . On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : :les lois « + » et « • » peuvent être induites sur F, et, muni de ces lois induites, F est un

\mathbb K

-espace vectoriel.

Propriété fondamentale

Le sous-ensemble F est un

\mathbb K

-sous-espace vectoriel de E ssi :
-

F \neq \emptyset \,

;
-

\forall\, u \in F , \ \forall\, v \in F , \ u + v \in F \,

;
-

\forall\, \lambda \in \mathbb , \ \forall\, u \in F , \ \lambda\, u \in F \,

. Ceci équivaut à :
-

F \neq \emptyset \,

;
-

\forall\, u \in F, \ \forall\, v \in F, \ \forall\, \lambda \in \mathbb, \ \lambda\,  u + v \in F\,

. En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires. Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à

\ \

, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont

\ \

et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux. Remarque : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul

\ 0_E

de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément

\ u_0

de F ; alors, pour tout

\ \lambda

dans

\ \mathbb

\lambda\, u_0

appartient à F ; le choix

\ \lambda = 0

donne

0_E = 0 \cdot u_0 \in F

). C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie que F n'est pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient

F_1\quad

F_2\quad

deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
-

F_1 \cap F_2

est un sous-espace vectoriel de E .

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient

F_1\quad

F_2\quad

deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

F_1 + F_2 = \left\

Propriété et définition

F_1 + F_2\quad

est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1 \quad

F_2\quad

. On l'appelle somme de

F_1\quad

F_2\quad

.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1 \quad

F_2\quad

, alors

F_1 + F_2 \subset F

. :C'est pourquoi on dit que

F_1 + F_2\quad

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant

F_1 \cup F_2

. Cela équivaut à :
-

F_1 + F_2\quad

est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant

F_1 \cup F_2

. Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

\sum_^m F_i = \left\

. :C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

(si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe). Dès lors :
-

\sum_^m F_i

est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

. On l'appelle somme de ces sous-espaces.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois

F_1,\, F_2,\, \dots, F_m

, alors

\sum_^m F_i \subset F

. :On dit de même que

\sum_^m F_i

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant

F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit

A \subset E

une partie quelconque non vide de E. On définit le sous-ensemble suivant de E : :

\mbox\,(A) = \left\

. :(ainsi,

\mbox\,(A)

est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

Propriété

Soient A et B deux parties de E.

- L'ensemble

\mbox\,(A)

est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
- Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors

\mbox\,(A) \subset F

. : C'est pourquoi on dit que

\mbox\,(A)

est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. :On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A. Nota : considérons l'application

\varphi : \mathcal(E) \to \mathcal(E), A \mapsto \mbox\,(A)

, où

\mathcal(E)

désigne l'ensemble des parties de E. On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :
- L'application

\varphi

est croissante : si

A \subset B

, alors

\mbox\,(A) \subset \mbox\,(B)

.
- L'application

\varphi

est extensive :

A \subset \mbox\,(A)

.
- L'application

\varphi

est idempotente :

\mbox((\mbox\,(A)) = \mbox\,(A)

: On dit alors que

\varphi

est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de

\varphi

:
- Pour que A soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que

\mbox\,(A) = A

Propriété

Soient A et B deux parties de E. Alors :
-

\mbox\,(A) + \mbox\,(B) = \mbox\,(A \cup B)

Familles libres, familles génératrices, bases

Familles libres, familles liées

Définitions

- Une famille

\mathcal

d'éléments de E est dite libre (sur

\mathbb

) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de

\mathcal

à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de

\mathcal

est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants.
- Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

Propriété

- Une famille d'éléments de E est liée si et seulement si l'un de ses éléments peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres. :On peut donc interpréter la liberté d'une famille comme une condition de minimalité, puisqu'une famille liée est caractérisée par le fait d'avoir au moins un élément « redondant ».

Nota

- Il en résulte qu'une famille

\ (u_1,\, u_2)

de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire

\ \alpha

tel que

\ u_2 = \alpha\, u_1

ou un scalaire

\ \beta

tel que

\ u_1 = \beta\, u_2

. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. :Autrement dit, une famille de deux vecteurs de E est libre si et seulement si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
- On prendra garde au fait que la propriété précédente ne s'étend pas à des familles ayant plus de deux éléments. Même si on ne peut pas y trouver deux vecteurs colinéaires, on ne peut pas affirmer que la famille soit libre.

Familles génératrices

Définition

- Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille. :C'est une condition de maximalité, car cela signifie que la famille porte en elle suffisamment d'information pour reconstituer tout l'espace.

Bases

Définition

- On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice. :Une base est donc assez grande pour engendrer l'espace, mais pas trop pour ne pas faire apparaître de relations entre ses éléments.

Propriété et définition

- Une famille

\mathcal

d'éléments de E en est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de

\mathcal

.
- Les coefficients de cette combinaison linéaire sont alors appelés les composantes de u en base

\mathcal

. Nota : on démontre au moyen de l'axiome du choix que tout espace vectoriel non réduit à

\ \

admet au moins une base ; mais, en dehors du cas des espaces vectoriels de dimension finie (voir ci-dessous), on est le plus souvent dans l'incapacité d'expliciter une base.

Espaces vectoriels de dimension finie

Théorème de la dimension

- Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.
- L'entier d est appelé la dimension de E, notée

\dim_ E

, ou s'il n'y a pas d'ambiguïté,

\dim E

. :On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur

\mathbb

), égale à d.
- On convient qu'un espace vectoriel réduit à

\ \

(et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

Cas particuliers

- On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1.
- On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Propriété

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :
- toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
- toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

Théorème de la base incomplète

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et

\ (u_1, \dots, u_p)

une famille libre de vecteurs de E telle que

\ p < n

(autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale). Alors, il existe

\ n - p

vecteurs de E, qu'on peut noter

\ (u_, \dots, u_n)

, tels que la famille

\ (u_1, \dots, u_n)

soit une base de E. On dit qu'on a complété la famille libre

\ (u_1, \dots, u_p)

en une base de E.

Sous-espaces vectoriels en dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :
- tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
- si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E. Nota : ce théorème fournit une méthode importante pour montrer que deux sous-espaces vectoriels de dimension finie F, G d'un même espace vectoriel E sont égaux. Il suffit pour cela de prouver que l'un des deux est inclus dans l'autre, et qu'ils ont la même dimension.

Formule de Grassmann

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et

F_1,\, F_2

deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : :

\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2

. Nota : les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

Espace dual

Voir Espace dual

Exemples d'espaces (et de sous-espaces) vectoriels

On note

\mathbb

un corps (commutatif).
- On a vu plus haut que l'ensemble

\mathbb^n

des n-listes (ou n-uplets) d'éléments de

\mathbb

est un espace vectoriel sur

\mathbb

.
:Si, pour tout entier k compris entre 1 et n, on définit la n-liste

\ e_k

dont tous les éléments sont nuls, sauf le k-ième, égal à 1, alors la famille

\mathcal = (e_1,\, \dots,\, e_n)

est une base de

\mathbb^n

, appelée base canonique.
:Tout vecteur

u = (x_1,\, \dots,\, x_n) \in \mathbb^n

se décompose dans cette base sous la forme

u = x_1\, e_1 + \cdots + x_n\, e_n

: les composantes de u en base canonique sont

x_1,\, \dots,\, x_n

. Ainsi, l'espace vectoriel

\mathbb^n

est de dimension finie égale à n. :En particulier, l'ensemble

\mathbb^n

des n-listes de réels est un espace vectoriel réel de dimension n.
- Considérons les quatre ensembles suivants : :L'ensemble

\mathbb R^

des suites réelles (les applications définies sur

\mathbb

, à valeurs dans

\mathbb

) :l'ensemble

\mathcal

des suites réelles convergentes :l'ensemble

\mathcal

des suites réelles qui convergent vers 0 :l'ensemble

\mathbb^

des suites réelles à termes tous nuls à partir d'un certain rang :On sait que

\mathbb R^

est un espace vectoriel réel, et l'on vérifie que les trois autres ensembles en sont des sous-espaces vectoriels ; on a les inclusions suivantes :

\mathbb^ \subset \mathcal \subset \mathcal \subset \mathbb R^

. :Ces quatre espaces vectoriels sont tous de dimension infinie : pour le justifier, il suffit de prouver que

\mathbb^

est de dimension infinie. :Pour cela, on définit, quel que soit

i \in \mathbb

, la suite

\ e_i

dont les termes (réels) sont tous nuls, à l'exception du terme d'indice i, égal à 1 : la famille

(e_i)_

est une famille libre infinie de vecteurs de

\mathbb^

(c'en est même une base) ; ceci établit la propriété annoncée.
- On a vu plus haut que l'ensemble

\mathbb[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

est un espace vectoriel sur

\mathbb

; la famille

(X^k)_

est une base, appelée base canonique, de cet espace vectoriel : les composantes d'un polynôme dans cette base sont ses coefficients. Ainsi, l'espace vectoriel

\mathbb[X]

est de dimension infinie. :Pour tout

n \in \mathbb

, l'ensemble

\mathbb_n[X]

des polynômes à coefficients dans

\mathbb

, et de degré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de

\mathbb[X]

, de dimension n + 1, car la famille

\ (X^0, \, \dots,\, X^n)

est une base de ce sous-espace vectoriel.
- On sait que l'ensemble des fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans

\mathbb

est un espace vectoriel réel ; l'ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans

\mathbb

, l'ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs dans

\mathbb

, en sont des sous-espaces vectoriels. :Ils sont tous de dimension infinie. En effet, pour tout

i \in \mathbb

, soit la fonction

\ e_i : I \to \R,\, x \mapsto x^i

; alors, la famille

(e_i)_

est une famille libre infinie de vecteurs appartenant à chacun des ces trois espaces vectoriels, ce qui établit la propriété annoncée.
- Soient

\mathbb

un corps (commutatif) et

\mathbb

un sous-corps. L'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des éléments de

\mathbb

et du produit par un élément de

\mathbb

, est un espace vectoriel sur

\mathbb

. Donnons-en deux exemples :
- l'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des complexes et du produit par un réel, est un espace vectoriel réel. La famille (1, i) est une base de cet espace vectoriel, puisque tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = x 1 + y i, où x, y sont deux réels ; l'espace vectoriel

\mathbb

est donc de dimension 2 sur

\mathbb

\dim_ \mathbb = 2

.
- l'ensemble

\mathbb

, muni de l'addition des réels et du produit par un rationnel, est un espace vectoriel rationnel. Il est de dimension infinie sur

\mathbb

: on va le prouver en montrant l'existence d'une famille infinie de réels qui est libre sur

\mathbb

. ::En effet, on sait qu'il existe dans

\mathbb

des nombres transcendants (tels que

\pi

ou la base

\mathrm

des logarithmes népériens) : ce sont par définition des réels qui ne sont racines d'aucun polynôme à coefficients rationnels autre que le polynôme nul. ::Si x est un réel transcendant, alors la famille infinie

\left(x^i\right)_

des puissances de x est libre sur

\mathbb

: dans le cas contraire, on pourrait trouver

n \in \mathbb

, et des rationnels

\alpha_0, \dots, \alpha_n

non tous nuls, tels que

\sum_^n \alpha_k\, x^k = 0

; cela signifierait que x est racine du polynôme non nul

P = \sum_^n \alpha_k\, X^k \in \mathbb[X]

, et contredirait la transcendance de x.

Voir aussi

- Vecteur
- Structure algébrique
- Application linéaire ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간

Isomorphisme

Définitions

Algébriste

Catégorique

Groupe de Klein

Klein En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non cyclique. Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.
- C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à

\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z

, produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même. :Il est aussi isomorphe au groupe diédral d'ordre 4. :Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe). :Si on note V = le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi présente la table d'opération suivante : :On constate que la loi du groupe de Klein est involutive : ∀ x ∈ V , x + x = 0
- Le groupe de Klein peut être prolongé en un corps fini, le corps de Klein, par l'ajout d'une seconde loi multiplicative, d'élément absorbant 0, d'élément neutre e, distributive par rapport à la loi additive et dont la table est :
- On peut enfin considérer le groupe de Klein en terme de groupe d'automorphismes de graphe dont le graphe est :
-
- | |
-
- |
-

Mécanique quantique

Catégorie:Sciences Catégorie:Recherche scientifique Catégorie:Théorie scientifique Catégorie:Physique quantique Catégorie:Mécanique quantique La mécanique quantique, aussi appelée physique quantique ou théorie des quanta, est une théorie physique établie aux débuts du , notamment par Bose, Bohr, de Broglie, Dirac, Fermi, Heisenberg, Pauli et Schrödinger. Elle se présente comme une généralisation de la mécanique classique qui s'est avérée limitée dans son champ de validité. Cette dernière échoue en effet dans la description de l'infiniment petit (voir par ex. le modèle de l'atome) et de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (quantification de la lumière pour le corps noir). Théorie non relativiste à ses débuts, elle a été généralisée pour prendre en compte les effets de la relativité restreinte donnant ainsi naissance à la théorie des champs. La physique quantique a apporté une révolution conceptuelle ayant des répercussions jusqu'en philosophie (remise en cause du déterminisme) et en littérature (science-fiction). Elle a permis nombre d'applications technologiques : énergie nucléaire, imagerie médicale par résonance magnétique nucléaire, diode, transistor, microscope électronique, laser. Un siècle après sa conception, elle est abondamment utilisée dans la recherche en chimie théorique (chimie quantique), en physique (physique de la matière condensée, physique nucléaire, physique des particules, astrophysique), en mathématiques (formalisation de la théorie des champs) et, récemment, en informatique (ordinateur quantique). Elle est donc considérée avec la relativité générale d'Einstein comme l'une des deux théories majeures du . La mécanique quantique est connue pour être contre-intuitive, choquer le « sens commun » et nécessiter un formalisme mathématique ardu. La raison principale est que le monde de l'infiniment petit ne se comporte pas de la même manière que l'environnement macroscopique auquel nous sommes habitués. Les différences fondamentales qui séparent ces deux mondes sont :
- la quantification : un certain nombre d'observables, par exemple l'énergie émise par un atome lors d'une transition entre états excités, sont quantifiés, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent prendre leur valeur que dans un ensemble discret de résultats. A contrario, la mécanique classique prédit le plus souvent que ces observables peuvent prendre continûment n'importe quelle valeur.
- la dualité onde-particule : la notion d'onde et de particule qui sont séparées en mécanique classique deviennent deux facettes d'un même phénomène, décrit de manière mathématique par sa fonction d'onde. En particulier, l'expérience prouve que la lumière peut se comporter comme des particules (photons, mis en évidence par l'effet photoélectrique) et/ou comme une onde (rayonnement produisant des interférences) selon le contexte expérimental, les électrons et autres particules pouvant également se comporter de manière ondulatoire.
- le principe d'incertitude de Heisenberg : une incertitude fondamentale empêche la mesure exacte simultanée de deux grandeurs conjuguées. Il est notamment impossible d'obtenir une grande précision sur la mesure de la vitesse d'une particule sans obtenir une précision médiocre sur sa position, et vice versa. Cette incertitude est structurelle et ne dépend pas du soin que l'expérimentateur prend à ne pas « déranger » le système ; elle constitue une limite à la précision de tout instrument de mesure.
- le principe d'une nature qui joue aux dés : si l'évolution d'un système est bel et bien déterministe (par ex. fonction d'onde régie par l'équation de Schrödinger), la mesure d'une observable d'un système dans un état donné connu peut donner aléatoirement une valeur prise dans un ensemble de résultats possibles.
- lobservation influe sur le système observé : au cours de la mesure d'un observable, un système quantique voit son état modifié. Ce phénomène, appelé "décohérence" est inhérent à la mesure et ne dépend pas du soin que l'expérimentateur prend à ne pas « déranger » le système.
- la non-localité ou intrication : des systèmes peuvent être intriqués de sorte qu'une interaction en un endroit du système a une répercution immédiate en d'autres endroits. Ce phénomène contredit en apparence la relativité pour laquelle il existe une vitesse limite à la propagation de toute information, la vitesse de la lumière ; toutefois, la non-localité ne permet pas de transférer de l'information.
- la contrafactualité : des évènements qui auraient pu se produire, mais qui ne se sont pas produits, influent sur les résultats de l'expérience.
Historique

Faits scientifiques connus à la fin du XIXe siècle
Un certain nombre de faits scientifiques étaient connus à la fin du , et étaient inexplicables dans le cadre de la physique classique de l'époque. Ces faits ont menés les physiciens sur la voie de la physique quantique.
La stabilité des atomes
Deux graves problèmes se posait à la fin du concernant les atomes :
- La stabilité d'un atome est incompréhensible dans le cadre de la théorie classique. En effet, la théorie de Maxwell nous dit que toute charge accélérée rayonne de l'énergie sous forme d'onde électromagnétique. Les électrons étant accélérés sur leur orbites classiques au sein de l'atome, leur énergie doit diminuer : les électrons tombent sur le noyau. Un calcul de la durée caractéristique de ce phénomène donne de l'ordre de 10 ns, donc les atomes classiques sont instables, ce que l'expérience contredit manifestement !
- De plus, la théorie classique prédit que le rayonnement émis par l'électron accélérée possède une fréquence égale à la fréquence angulaire du mouvement. L'électron tombant continuement sur le noyau, sa fréquence angulaire augmente continuement, et on devrait observer un spectre continu. Or la lumière émise par une lampe spectrale à vapeur atomique présente un spectre de raies discret !
Le rayonnement du corps noir
Le rayonnement du corps noir est le rayonnement produit par un corps en équilibre thermodynamique avec son milieu. Nous pouvons nous le représenter en imaginant une enceinte fermée percée d'un trou minuscule. Le matériau est supposé absorbant, le rayonnement est émis par l'intermediaire du trou vers l'intérieur de l'enceinte, subit de multiples réflexions, émissions et absorptions avant de ressortir par ce trou. L'enceinte et son rayonnement par le trou sont en équilibre thermique. Les caractéristiques de ce rayonnement ne dépendent pas de la nature du matériau, mais de sa température. Nous l'appelons rayonnement du corps noir. À la fin du , la théorie classique était incapable d'expliquer la théorie du rayonnement du corps noir, ce qui a abouti à la catastrophe ultraviolette : l'énergie émise tendait théoriquement vers l'infini, ce qui était évidemment en contradiction avec l'expérience. Max Planck proposa en 1900 une loi, qui porte son nom, qui décrit la densité du rayonnement en fonction de la température. Cette loi impose de penser que les échanges d'énergie entre le rayonnement électromagnétique et la matière est quantifié, échangé par paquets : $E = h \nu$ . Cette loi sera par la suite utilisée par Albert Einstein. La loi de Planck s'écrit : : $B_\lambda(T)=\frac$ $\lambda$ étant la longueur d'onde, T la temperature, h la constante de Plank, et c la vitesse de la lumière.
La relation de Planck-Einstein (1900)
Au début du , l'observation expérimentale des spectres formés de raies monochromatiques, des effets à seuil tel que l'effet photoélectrique et aussi de l'analyse par Max Planck du rayonnement d'un corps chaud plus connu sous le nom du rayonnement du corps noir, conduisit à remettre en question toute une partie de la physique connue à l'époque. Ainsi on fut amené à émettre l'hypothèse que le rayonnement électromagnétique était quantifié : l'énergie transportée par ce rayonnement ne pouvait pas prendre n'importe quelle valeur, mais uniquement un multiple d'une valeur qu'on a appelée quantum de lumière, ou photon. Cette hypothèse fut d'abord émise par Max Planck puis par Einstein qui reçut le prix Nobel pour son interprétation de l'effet photoélectrique, premier signe tangible de l'existence des photons. Cette relation qui exprime la quanta de l'énergie s'écrit ainsi: : $|\Delta E| = h \nu$ où : $h$ est la constante de Planck ou quantum d'action ( $6,62.10^$ joule s) : $|\Delta E|$ est la variation d'énergie du système (émise ou absorbée) :et $\nu$ (lettre grecque se prononçant nu) est la fréquence du rayonnement émis ou absorbé. Cette relation exprime qu'il y a un lien direct et universel entre la fréquence d'un rayonnement électromagnétique et les variations d'énergie qui se sont produites : les deux sont simplement proportionnelles. Cette relation n'est pas toujours applicable : en effet les transferts d'énergie sont quantifiés ; un atome ne peut se placer qu'à des niveaux d'énergie bien définis, et si une onde électromagnétique apporte trop ou pas assez d'énergie, l'atome n'absorbera rien.
L'effet photoélectrique (1905)
À la fin du , les physiciens ont remarqué que lorsque l'on éclaire un métal avec une lumière, celui-ci peut émettre des électrons. Leur énergie dépend de la fréquence de la lumière incidente, et leur nombre dépend de l'intensité lumineuse, ce qui est difficilement compréhensible au sein du modèle ondulatoire de la lumière. Si la lumière incidente a une fréquence en dessous d'un certain seuil, rien ne se passe. Einstein proposa en 1905 un article expliquant ce phénomène. Les photons sont porteurs de l'énergie $E = h \nu$ et de l'impulsion $\vec=\hbar\vec$ . Les électrons absorbant les photons acquièrent cette énergie ; si elle est suffisante, les électrons peuvent alors sortir du métal. Les électrons émis ont alors l'énergie : $h \nu - E_$ . Cet article lui valut le titre de docteur en 1905, et le prix Nobel de physique en 1921.
L'effet Compton (1923)
Toujours à la fin du , les physiciens ont constaté que les électrons pouvaient interagir avec la lumière. La théorie classique n'arrivait pas à expliquer la variation observée de longueur d'onde en fonction de la direction. Dans le cadre de la mécanique quantique et de la relativité restreinte, l'interprétation de l'effet Compton considère le choc photon-électron, comme un choc entre les deux particules. Les photons sont diffusés suivant des directions variables et révèlent une augmentation de variation de longueur d'onde qui dépend de la direction de sortie.
Les relations de de Broglie (1923)
Alors qu'il était clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues, même si les interférences des électrons n'étaient pas encore observées. Louis de Broglie proposa d'associer à chaque particule d'énergie $E$ , une fréquence $\nu$ , une pulsation $\omega$ , une impulsion $p$ et une longueur d'onde $\lambda$ . Les relations de de Broglie s'écrivent : : $\left\$

Difféomorphisme

Ck

-difféomorphisme est une fonction

Ck

, bijective, et dont la réciproque est également

Ck

Knut Pedersen Hamsun

Knut Hamsun (født 4. august 1859 i Lom som Knud Pedersen, død 19. februar 1952 på Nørholm ved Grimstad) var en av Norges betydeligste forfattere, og er en av tre norske nobelprisvinnere i litteratur. Hamsun regnes som en av de fremste representantene for nyromantikk i Norge. Han var misfornøyd med hvordan realismen skildret stereotyper istedenfor «levende» mennesker, og ville sette følelser i sentrum. Med hans egne ord: «Blodets hvisken og benpibernes bøn». I en serie foredrag i 1891 kritiserte han realismens største forfattere, som Henrik Ibsen og Alexander Kielland.

Liv

Knut (Pedersen) Hamsun var født i Lom, men vokste opp på gården Hamsund på Hamarøy i Nordland (formen Hamsun stammer fra en dansk forleggers stavefeil). Han kjøpte storgården Nørholm utenfor Arendal i 1918. Inspirert av sin egen roman Markens grøde ønsket han å leve som jorddyrker, og skapte Nørholm om til et mønsterbruk. Han var gift med skuespilleren og forfatteren Marie Hamsun fra 1909 til sin død. Sammen hadde de barna Tore, Arild, Cecilia og Ellinor. Knut Hamsun hadde dessuten datteren Victoria fra sitt første ekteskap (1898–1906) med Bergljot Goepfert (født Bech). Bergljot Goepfert]

Forfatterskap

Hamsun skrev på riksmål og førte et rikt språk med mange dialektale ord og vendinger. Han fikk sitt gjennombrudd med romanen Sult i 1890. Boken, som er delvis selvbiografisk, beskriver en ung forfatters forfall til galskapen som et resultat av hunger og fattigdom. Romanen regnes blant de mest skjellsettende verker i moderne litteratur, med dens deliriske jeg-forteller. Andre viktige verker av Hamsun inkluderer Pan (1894) og Markens Grøde (1917), som var medvirkende til at han fikk Nobelprisen i litteratur i 1920.

Politiske sympatier

Hamsun var en stor venn av Tyskland og tysk kultur, og likeledes foraktet han den angelsaksiske verden. Han var særskilt skeptisk til britisk imperialisme, særlig gjorde boerkrigen inntrykk på ham, og han var en innbitt motstander av kommunismen og stalinismen. Under både første og annen verdenskrig støttet han Tyskland, og vakte oppsikt blant annet da han i 1935 tok offentlig avstand fra tildelingen av Nobels fredspris til Carl von Ossietsky. I etterkant av et møte med Joseph Goebbels i 1943 sendte Hamsun ham sin nobelprismedalje i gave. Hamsun møtte også Adolf Hitler, og skrev en oppsiktsvekkende rosende nekrolog i Aftenposten ved Hitlers død, på et tidspunkt da krigen i realiteten var avgjort. Nekrologen kan derfor sees som et uttrykk for lojalitet og stivsinn. Etter krigen ble Hamsun sperret inne i flere måneder på et psykiatrisk sykehus hvor han ble testet for å «avgjøre hans tilregnelighet». Det var her han skrev et av sine største verk, den essayistiske Paa gjengrodde Stier, som noen mener avkrefter at «den ensomme gamle» var fullt ut tilregnelig. Hamsun fikk diagnosen «varig svekkede sjelsevner» og ble bøtelagt med 325 000 kroner for samarbeid med okkupasjonsmakten.

Bibliografi

- Den Gaadefulde (1877)
- Et Gjensyn (1878)
- Bjørger (1878)
- Lars Oftedal (1889)
- Fra det moderne Amerikas Aandsliv (1889)
- Sult (1890)
- Mysterier (1892)
- Redaktør Lynge (1893)
- Ny Jord (1893)
- Pan (1894)
- Ved Rigets Port (1895)
- Livets Spil (1896)
- Siesta (1897)
- Aftenrøde (1898)
- Victoria (1898)
- Munken Vendt (1902)
- Kratskog (1903)
- Dronning Tamara (1903)
- I Æventyrland (1903)
- Det vilde Kor (diktsamling, 1904)
- Sværmere (1904)
- Stridende Liv (1905)
- Under Høststjærnen (1906)
- Benoni (1907)
- Rosa (1908)
- En Vandrer spiller med Sordin (1909)
- Livet ivold (1910)
- Den siste Glæde (1912)
- Børn av Tiden (1913)
- Segelfoss By (1915)
- Markens Grøde (1917)
- Sproget i Fare (1918)
- Konerne ved Vandposten (1920)
- Siste Kapitel (1923)
- Landstrykere (1927)
- August (1930)
- Men Livet lever (1933)
- Ringen Sluttet (1936)
- Artikler i utvalg (red.: Francis Bull) (1939)
- Paa gjengrodde Stier (1949)

Litteratur om Hamsun

- Einar Skavlan: Knut Hamsun (1929)
- Tore Hamsun: Knut Hamsun – min far (1952)
- Marie Hamsun: Regnbuen (1953)
- Marie Hamsun: Under gullregnen (1959)
- Rolf Nyboe Nettum: Konflikt og visjon: hovedtemaer i K.H.s forfatterskap 1890–1912 (1970)
- Torkild Hansen: Prosessen mot Hamsun (1978)
- Robert Ferguson: Gåten Knut Hamsun (1988)
- Øystein Rottem: Hamsun og fantasiens triumf (2002)
- Ingar Sletten Kolloen: Hamsun. Svermeren (2003)
- Ingar Sletten Kolloen: Hamsun. Erobreren (2004)

Eksterne lenker

- [http://www.hamsun.dk Knut Hamsun Online] (dansk)
- [http://www.odin.dep.no/odin/engelsk/norway/history/032005-990484/index-dok000-b-n-a.html Biografi fra Utenriksdepartementet] (engelsk)
- [http://www.nobel.se/literature/laureates/1920/ Nobelstiftelsen om Hamsun] (engelsk)
- [http://www.kirjasto.sci.fi/khamsun.htm Biografi] (engelsk) Hamsun, Knut Hamsun, Knut Hamsun, Knut Hamsun, Knut Hamsun, Knut

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Daimjo
Daimjo (大名) oli kõrgeim kohalik valitseja feodaalses Jaapanis (11.–19. sajandil). Pärast keisrivõimu nõrgenemist ja Jaapani langemist kodusõdade keerisesse Sõdivate Riikide perioodil lagunes riigi administratiivne ühtsus ning Jaapan hakkas koosnema sadadest erinevatest väiksematest daimjote poolt valitsetud võimupiirkondades