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Magma (mathématiques)

Magma (mathématiques)

Catégorie:Algèbre abstraite Un magma (ou groupoïde) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne. Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication. Le manque de richesse de cette structure algébrique fait qu'elle est rarement étudiée en tant que telle ; des magmas particuliers tel que les groupes, les monoïdes etc. sont bien plus souvent utiles.

Exemples de magmas

(\mathbb,+)

est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc un semigroupe.
-

(\mathbb, - )

est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semigroupe.
-

(\mathbb,-)

est un magma non-associatif et non-commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. Par contre, ce magma est permutatif et régulier.

Voir aussi

- Exponentialité
- Loi de composition interne
- Structures algébriques

Catégorie:Algèbre abstraite

L’algèbre abstraite est la branche de l’algèbre qui traite des structures algébriques. Catégorie:Algèbre ko:분류:추상대수학

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x ∈ A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z

\ _\not\in

A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : :

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires et sont égales ssi a₁ est égal à b₁ et a₂ à b₂, ou si a₁ est égal à b₂ et a₂ à b₁ : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,

( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par :

\ _\mathbb N

= .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : :

\forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \,

L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
- désigne l’ensemble des nombres réels,
- désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et note l’ensemble de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
- désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P. Par exemple, si

\ _\mathbb Z

est l’ensemble des nombre entiers, alors est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
- désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
- est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple, est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi

- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Loi de composition interne

L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations en cause. Parmi les opérations étudiées, les lois de composition interne occupent une place privilégiée.

Présentation

On nomme loi de composition interne dans un ensemble une opération qui prend deux éléments de l’ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l’addition ou la multiplication sont des lois de composition interne. Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l’opération doit être définie partout). Ainsi :
- la division n’est pas une loi de composition interne, parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens.
- la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
- s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels , ce n’en est pas une, puisque « 3 - 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
- si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs , alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

Exemple

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
- zéro est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, 5 + 0 = 5 , et 0 + 8 = 8 ;
- pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre, zéro. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : 3 + (-3) = 0 ;
- on peut échanger les deux éléments autour du signe «

+

» : 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . On dit que l’opération est commutative ;
- on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : 3 + 5 + 4 peut se calculer de deux manières :
- en calculant d’abord 3 + 5 = 8 puis en ajoutant 4 au résultat,
- ou en calculant 5 + 4 = 9 avant de calculer 3 + 9 . :Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) . On dit que l’opération est associative. Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
- le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
- le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
- on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité. L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un groupe abélien. L’algèbre s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application

- \,

de E × E dans E ( il s'agit donc de relations ternaires internes ). Un ensemble E muni d’une loi de composition interne

- \,

constitue une structure appelée magma et notée « ( E ,

- \,

) ». Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :
- les applications constantes : si c appartient à E :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = c ;
- l’application sélectionnant le terme de gauche :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = x ;
- l’application sélectionnant le terme de droite :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = y.

Éléments particuliers

Carrés et dérivés

Dans un magma ( E ,

- \,

), certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :
- un élément

c \,

est dit carré ssi :

\exists\ x \in E /\ x  -  x = c \,

:En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x ² ».
- un élément

s \,

est dit idempotent ou projecteur ssi :

s  -  s = s \,

:En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
- un élément

d \,

est dit dévolutif ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent.

Neutres et dérivés

- un élément

e \,

est dit neutre à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche; :Tout élément neutre, même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent.
- un élément

s \,

est dit involutif s’il existe un élément neutre

e \,

et si :

s  -  s = e \,

; :L’élément neutre est nécessairement involutif.

Absorbants et dérivés

- un élément

a \,

est dit absorbant à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant lorsqu’il est absorbant à droite et à gauche; :Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.
- un élément

s \,

est dit nilpotent s’il existe un élément absorbant

a \,

et si :

s  -  s = a \,

; :L’élément absorbant est nécessairement nilpotent.

Centre d'une structure

- un élément

c \,

est dit commutatif ou central ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  c = c  -  x  \,

:Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs. :On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

- un élément

s \,

est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = s  -  y ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x  -  s = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;
- un élément

s \,

est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s  -  x = s  -  y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x  -  s = y  -  s ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s  -  r = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r  -  s = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :
- deux éléments

r \,

s \,

seront dits permutables ou commutants ssi :

r  -  s = s  -  r \,

- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits symétriques ou inversibles : :- s’il existe un élément neutre

e \,

, :- et si :

r  -  s = e \,

;
- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants : :- s’il existe un élément absorbant

a \,

, :- si aucun des deux éléments n’est égal à

a \,

, :- et si :

r  -  s = a \,

; :Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro. Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E ,

- \,

); la loi

- \,

peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

- \,

est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;
-

- \,

est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;
-

- \,

est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = e  -  x = x \,

:Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite; :L’élément neutre d’une loi unifère est unique;
-

- \,

est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;
-

- \,

est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;
-

- \,

est dite absorbante s’il existe un élément absorbant

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a  -  x = a \,

:Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite; :L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;
-

- \,

est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif

d \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ d \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;
-

- \,

est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = a ) \Rightarrow ( x = a \vee y = a ) \ ] \,

- \,

est dite anticommutative si elle est unifère et si l’élément neutre est le seul élément commutatif, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = e ) \Rightarrow ( x = e \vee y = e ) \ ] \,

Régularité et propriétés liées

- \,

est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = x  -  z ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y  -  x = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x  -  y = x  -  z ) \wedge ( y  -  x = z  -  x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,

:Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite; :On peut noter que si

-  \,

est régulière à gauche (resp. à droite), alors

-  \,

est injective (resp. surjective).
-

- \,

est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a , b ) de E ² une solution ( x , y ) unique aux équations a

- \,

x = b et y

- \,

a = b , c’est-à-dire si : :

\forall\ ( a , b ) \in E^2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a  -  x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a  -  z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,

::::

\wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y  -  a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z  -  a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,

:Cette propriété est moins forte que la régularité, puisque toute loi régulière est nécessairement symogène;

Associativité et propriétés analogues

- \,

est dite associative ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y  -  z ) = ( x  -  y )  -  z \,

:On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; on peut noter aussi que la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’adition, la multiplication, la composition des correspondances,...).
-

- \,

est dite alternative ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x  -  ( x  -  y ) = ( x  -  x )  -  y \ ] \wedge [\ ( x  -  y )  -  y = x  -  ( y  -  y )\ ] \,

:Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.
-

- \,

est dite associative des puissances ssi : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  ( x  -  x ) = ( x  -  x )  -  x \,

:Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi alternative est nécessairement associative des puissances. :Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) : ::- la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement « x ⁿ », est égale au résultat de la composition de x selon

- \,

, (n - 1) fois avec lui-même; ainsi x ¹ = x ; x ² = x

- \,

x ; x ³ = x

- \,

- \,

x ;... ::- si, de plus, la loi

- \,

présente un élément neutre e, on pose alors x ⁰ = e
-

- \,

est dite permutative ssi : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x  -  y )  -  ( z  -  t ) = ( x  -  z )  -  ( y  -  t ) \,

:Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus. :Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi associative et commutative est nécessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nécessairement permutative, et qu’une loi permutative, même commutative, n’est pas nécessairement associative. :(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans

\mathbb

et la division dans

\mathbb -

, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...).
-

- \,

est dite neutroactive ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 , ( x  -  ( y  -  z ))  -  x = ( x  -  y )  -  ( z  -  x ) \,

:Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

- \,

est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = x \,

- \,

est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x  -  y = y  -  x \,

; :Les lois commutatives sont notées par « + », «

\top

» ou «

\bot

» plutôt que par «

- \,

». : Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans

\mathbb

) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans

\R_+^ -

). La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive. Toutefois, nous n’en indiquerons ici qu’une autre : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importantes de ces lois relatives est la distributivité.
- Une loi

- \,

peut être distributive par rapport à une autre loi

\bot

(par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y )  -  ( z \bot t ) = [ ( x  -  z ) \bot ( x  -  t ) ]\ \bot\ [ ( y  -  z ) \bot (y  -  t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties : :- distributivité à gauche : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y \bot z ) = ( x  -  y ) \bot ( x  -  z ) \,

:- distributivité à droite : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y )  -  z = ( x  -  z ) \bot ( y  -  z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi

\bot

est régulière et unifère , alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi

- \,

. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E ,

- \,

) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre

e \,

. Il est alors possible de définir les notions suivantes:
- un élément

s \,

est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si : :

\exists\ s' \in E /\ s'  -  s = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si : :

\exists\ s' \in E /\ s  -  s' = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à droite de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux; : s' est alors appelé élément symétrique de s;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles; Si la loi

-  \,

est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « s ^-1 ». Exemples :
- 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels;
- 2 est symétrisable, de symétrique -2, pour l’addition dans les entiers relatifs;
- 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs;
- 2 est inversible, d’inverse

\frac

, pour le produit dans les rationnels. Remarque : : Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.

Voir aussi

- Algèbre abstraite
- Relation ternaire interne
- Structure algébrique
- Loi de composition ja:二項演算 catégorie:Algèbre Composition

Monoïde

Définition

En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif et unifère. En d'autres termes, (E,
- ) est un monoïde si : # pour tout x,y dans E, x
- y est dans E (loi de composition interne) ; # pour tout x,y,z dans E, x
- (y
- z) = (x
- y)
- z (associativité) ; # il existe un élément e dans E vérifiant : pour tout x dans E, x
- e=e
- x=x. On trouve aussi parfois une définition d'un monoïde où l'existence d'un élément neutre n'est pas requise. Un monoïde E est dit simplifiable à gauche, ou encore régulier à gauche, (resp. à droite) si pour tout a,b,c dans E, a
- b=a
- c (resp. b
- a=c
- a) entraîne b=c. Un monoïde est dit libre s'il est isomorphe à l'ensemble des séquences d'éléments d'un ensemble fini (alphabet), muni de la concaténation. À ce moment-là, on appelle ensemble des générateurs libres du monoïde l'image de l'alphabet par l'isomorphisme. Cet ensemble est unique, et deux monoïdes libres sont isomorphes si et seulement s'ils ont le même nombre de générateurs libres.

Exemples

- l'ensemble des entiers naturels, muni de l'addition, est un monoïde, dont 0 est l'élément neutre ;
- l'ensemble des entiers naturels, muni de la multiplication, est un monoïde d'élément neutre 1 qui n'est pas simplifiable (0.n=0.m pour tout n,m) ;
- l'ensemble des mots formé sur un alphabet, muni de la concaténation, est un monoïde que l'on appelle monoïde libre, dont le mot vide est l'élément neutre.

Applications

En mathématiques, il est rare d'utiliser les monoïdes ; car souvent, lorsqu'une structure est trop pauvre en termes de propriétés pour pouvoir continuer son étude, elle se trouve plongée dans une structure plus riche, comme les groupes, ou les anneaux... Les entiers naturels en sont un exemple frappant : pour les étudier, on étudie les entiers relatifs, qui eux forment un groupe, et mieux, un anneau factoriel ! En informatique théorique, les monoïdes et plus particulièrement le monoïde libre sont parmi les structures les plus utilisées, notamment dans la théorie des codes et dans la théorie des langages. Catégorie:Algèbre abstraite ja:モノイド

Monoïde

Définition

Exemples

Applications

Commutativité

Catégorie:Algèbre abstraite En mathématiques, particulièrement en algèbre abstraite, une loi de composition interne

\star

sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S,

x \star y = y \star x

. Les exemples les plus courants de lois commutatives sont l'addition et la multiplication des entiers naturels ; par exemple : : 4 + 5 = 5 + 4 : 2 × 3 = 3 × 2 D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, et l'intersection et la réunion des ensembles. D'importantes lois non commutatives sont la multiplication des matrices et la composition de fonctions. Un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative. Un anneau est appelé anneau commutatif si sa multiplication est commutative puisque la loi d'addition dans tout anneau est commutative.

Articles connexes

- Associativité ja:交換法則 ko:교환법칙

Loi de composition interne

Présentation

Exemple

+

Définition formelle

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application

- \,

de E × E dans E ( il s'agit donc de relations ternaires internes ). Un ensemble E muni d’une loi de composition interne

- \,

constitue une structure appelée magma et notée « ( E ,

- \,

) ». Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :
- les applications constantes : si c appartient à E :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = c ;
- l’application sélectionnant le terme de gauche :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = x ;
- l’application sélectionnant le terme de droite :

\forall

\in

\forall

\in

E, x

\, -

y = y.

Éléments particuliers

Carrés et dérivés

Dans un magma ( E ,

- \,

), certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :
- un élément

c \,

est dit carré ssi :

\exists\ x \in E /\ x  -  x = c \,

:En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x ² ».
- un élément

s \,

est dit idempotent ou projecteur ssi :

s  -  s = s \,

:En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
- un élément

d \,

est dit dévolutif ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:En d’autres termes, d est le carré de tous les éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent.

Neutres et dérivés

- un élément

e \,

est dit neutre à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

- un élément

e \,

est dit neutre à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

- un élément

e \,

s \,

est dit involutif s’il existe un élément neutre

e \,

et si :

s  -  s = e \,

; :L’élément neutre est nécessairement involutif.

Absorbants et dérivés

- un élément

a \,

est dit absorbant à gauche ssi :

\forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant à droite ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

- un élément

a \,

est dit absorbant lorsqu’il est absorbant à droite et à gauche; :Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.
- un élément

s \,

est dit nilpotent s’il existe un élément absorbant

a \,

et si :

s  -  s = a \,

; :L’élément absorbant est nécessairement nilpotent.

Centre d'une structure

- un élément

c \,

est dit commutatif ou central ssi :

\forall\ x \in E ,\ x  -  c = c  -  x  \,

:Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs. :On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

- un élément

s \,

est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = s  -  y ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier à droite ou simplifiable à droite ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x  -  s = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche;
- un élément

s \,

est dit antirégulier ou cosimplifiable ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s  -  x = y  -  s ) \Rightarrow ( x = y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s  -  x = s  -  y ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite ssi : :

\exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x  -  s = y  -  s ) \,

- un élément

s \,

est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à gauche ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s  -  r = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;
- un élément

s \,

est dit diviseur de zéro à droite ssi il existe un élément absorbant

a \,

, différent de

s \,

, et si :

\exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r  -  s = a ) \,

; :Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :
- deux éléments

r \,

s \,

seront dits permutables ou commutants ssi :

r  -  s = s  -  r \,

- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits symétriques ou inversibles : :- s’il existe un élément neutre

e \,

, :- et si :

r  -  s = e \,

;
- deux éléments permutables

r \,

s \,

seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants : :- s’il existe un élément absorbant

a \,

, :- si aucun des deux éléments n’est égal à

a \,

, :- et si :

r  -  s = a \,

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E ,

- \,

); la loi

- \,

peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

- \,

est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ e  -  x = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;
-

- \,

est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = x \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;
-

- \,

est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre

e \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  e = e  -  x = x \,

:Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite; :L’élément neutre d’une loi unifère est unique;
-

- \,

est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ a  -  x = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;
-

- \,

est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a \,

:Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;
-

- \,

est dite absorbante s’il existe un élément absorbant

a \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  a = a  -  x = a \,

:Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite; :L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;
-

- \,

est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif

d \,

, c’est-à-dire si : :

\exists\ d \in E /\ \forall\ x \in E ,\ x  -  x = d \,

:L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;
-

- \,

est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge ( x  -  x = e ) \,

:Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge ( x  -  x = a ) \,

:Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.
-

- \,

est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si : :

\exists\ a \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  a = a  -  x = a ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = a ) \Rightarrow ( x = a \vee y = a ) \ ] \,

- \,

est dite anticommutative si elle est unifère et si l’élément neutre est le seul élément commutatif, c’est-à-dire si : :

\exists\ e \in E /\ \forall\ x \in E ,\ ( x  -  e = e  -  x = x ) \wedge [\ \forall\ y \in E ,\ ( x  -  y = e ) \Rightarrow ( x = e \vee y = e ) \ ] \,

Régularité et propriétés liées

- \,

est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = x  -  z ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y  -  x = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x  -  y = x  -  z ) \wedge ( y  -  x = z  -  x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,

:Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite; :On peut noter que si

-  \,

est régulière à gauche (resp. à droite), alors

-  \,

est injective (resp. surjective).
-

- \,

est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x  -  y = z  -  x ) \Rightarrow ( y = z ) \,

- \,

est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a , b ) de E ² une solution ( x , y ) unique aux équations a

- \,

x = b et y

- \,

a = b , c’est-à-dire si : :

\forall\ ( a , b ) \in E^2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a  -  x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a  -  z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,

::::

\wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y  -  a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z  -  a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,

:Cette propriété est moins forte que la régularité, puisque toute loi régulière est nécessairement symogène;

Associativité et propriétés analogues

- \,

est dite associative ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y  -  z ) = ( x  -  y )  -  z \,

- \,

est dite alternative ssi : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x  -  ( x  -  y ) = ( x  -  x )  -  y \ ] \wedge [\ ( x  -  y )  -  y = x  -  ( y  -  y )\ ] \,

:Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.
-

- \,

est dite associative des puissances ssi : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  ( x  -  x ) = ( x  -  x )  -  x \,

- \,

, (n - 1) fois avec lui-même; ainsi x ¹ = x ; x ² = x

- \,

x ; x ³ = x

- \,

- \,

x ;... ::- si, de plus, la loi

- \,

présente un élément neutre e, on pose alors x ⁰ = e
-

- \,

est dite permutative ssi : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x  -  y )  -  ( z  -  t ) = ( x  -  z )  -  ( y  -  t ) \,

\mathbb

et la division dans

\mathbb -

, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...).
-

- \,

est dite neutroactive ssi : :

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 , ( x  -  ( y  -  z ))  -  x = ( x  -  y )  -  ( z  -  x ) \,

:Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

- \,

est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si : :

\forall\ x \in E ,\ x  -  x = x \,

- \,

est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si : :

\forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x  -  y = y  -  x \,

; :Les lois commutatives sont notées par « + », «

\top

» ou «

\bot

» plutôt que par «

- \,

». : Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans

\mathbb

) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans

\R_+^ -

- \,

peut être distributive par rapport à une autre loi

\bot

(par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) : :

\forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y )  -  ( z \bot t ) = [ ( x  -  z ) \bot ( x  -  t ) ]\ \bot\ [ ( y  -  z ) \bot (y  -  t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties : :- distributivité à gauche : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x  -  ( y \bot z ) = ( x  -  y ) \bot ( x  -  z ) \,

:- distributivité à droite : ::

\forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y )  -  z = ( x  -  z ) \bot ( y  -  z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi

\bot

est régulière et unifère , alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi

- \,

. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E ,

- \,

) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre

e \,

. Il est alors possible de définir les notions suivantes:
- un élément

s \,

est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si : :

\exists\ s' \in E /\ s'  -  s = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si : :

\exists\ s' \in E /\ s  -  s' = e \,

: s' est alors appelé élément symétrique à droite de s;
- un élément

s \,

est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux; : s' est alors appelé élément symétrique de s;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite;
- la loi

-  \,

est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles; Si la loi

-  \,

\frac

Voir aussi

- Algèbre abstraite
- Relation ternaire interne
- Structure algébrique
- Loi de composition ja:二項演算 catégorie:Algèbre Composition

Régis Courtecuisse

Régis Courtecuisse est actuellement Professeur à la faculté des sciences pharmaceutiques et biologiques de l'université de Lille II. Il est considéré comme l'un des plus grands mycologues actuels, et ses travaux font autorité dans le monde entier. Il a grandement contribué à dépoussiérer la classification traditionnelle des champignons.

Principaux ouvrages

- 1986 : Clé de détermination macroscopique des champignons supérieurs des régions du Nord de la France (CRDP Amiens).
- 1991 : Premier atlas microphotographique pour l'expertise et le contrôle des champignons comestibles et leurs falsifications (Montpellier).
- 1992 : La classification des champignons : schéma général et points de repère (Bulletin de la Société mycologique du Nord).
- 1993 : Guide de poche des champignons (Delachaux & Niestlé).
- 1994 : Les Champignons de France (Eclectis).
- 1994-2000 : Guide des champignons de France et d'Europe (Delachaux & Niestlé).
- 1999 : Mushrooms & Toadstools of Britain and Europe (Collins)
- 1999 : Mushrooms of Britain & Europe (Delachaux & Niestlé).
- 2000 : Photo-guide des champignons d'Europe (Delachaux & Niestlé). Courtecuisse, Régis

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