:: wikimiki.org ::

Loi De Composition

Loi de composition

En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F. Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les axiomes de la structure de E.

Notion de loi

Une loi (de composition)
- : E × F → G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x , y ) de E × F, un élément de G noté habituellement « x
- y » (au lieu de la notation fonctionnelle «
- ( x , y ) ») et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y. x et y sont parfois qualifiés d’opérandes, car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération. G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :
- si E = F = G, la loi
- : E × E → E est appelée loi de composition interne dans E;
- si E ≠ F et G = F, la loi
- : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
- si E ≠ F et G = E, la loi
- : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.

Remarque

Il existe plusieurs notations pour les lois :
- la plus courante est la notation infixe; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs : :

x  -  y \,

- une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis : :

x y \,

- la notation préfixe, ou polonaise, se passe de parenthèses : :

-  x y \,

, parfois

-  x , y \,

- la notation suffixe, ou polonaise inverse, se passe aussi de parenthèses : :

x y  -  \,

, parfois

x , y  -  \,

Exemples

- Un produit scalaire sur un

\mathbb

-espace vectoriel E est une loi de E× E dans

\mathbb

.
- l’exponentiation entière des réels est une loi de

\mathbb\times \mathbb

dans

\mathbb

;
- les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division; attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n’est pas une loi de composition dans

\mathbb \,

;
- un exemple de multiplication externe est la multiplication d’un vecteur par un scalaire en algèbre linéaire.

Lois internes

Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre abstraite; elles font partie des groupes, des monoïdes, des semi-groupes, des anneaux, etc. La structure générale de magma est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l’addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives. Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).

Lois externes

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F → F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.

Voir aussi

- Loi de composition interne
- Loi de composition externe
- Structure algébrique
- Algèbre abstraite catégorie:Algèbre Composition

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Correspondances et Relations

catégorie:Théorie des ensembles catégorie:Algèbre En algèbre abstraite, la notion de correspondance, ou de relation, est une abstraction de notions telles que l’égalité, l’ordre alphabétique, ou la comparaison. De manière informelle, une relation dans un ensemble ( on dit aussi « sur un ensemble » ) est une proposition qui lie un certain nombre d’éléments. Sur un ensemble constitué de personnes, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou « Cecile connaît David »... On peut donc voir une relation comme des fils reliant divers éléments d’un ensemble. Cette notion peut être généralisée en établissant des liens entre des éléments d’ensembles distincts.

Graphe et correspondance

Le lien entre deux éléments peut s’exprimer de manière plus formelle par un « couple ». Un couple, noté entre parenthèses, est constitué de deux éléments mis dans un ordre particulier. Les correspondances, ou relations générales peuvent ainsi être considérées en première approche comme des ensembles de couples, c’est-à-dire des graphes. Mais cela ne suffit pas toujours: :Les propriétés des correspondances dépendent autant des absences de liens entre éléments que de leur existence. En d’autres termes, la donnée du graphe d’une correspondance ne suffit pas à définir complètement celle-ci ; il faut aussi savoir quels sont les couples d'éléments qu'elle ne lie pas. Cela revient à préciser dans quel produit cartésien s’inscrit la correspondance. Néanmoins, il demeure possible, le plus souvent, de confondre une correspondance avec son graphe, du moment qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le produit cartésien dans lequel elle s’inscrit. Pour illustrer ces idées, considérons par exemple l’ensemble P suivant de personnes : :

P = \\,

Définissons-y naïvement la relation aime par la seule donnée de son graphe : :

aime = \\,

Pour la relation aime, si « Alice aime Bernard », alors le couple ( Alice, Bernard ) fait partie de l’ensemble aime. L’ensemble aime est un sous-ensemble de P × P. Nous constatons que :
- la relation aime est une relation binaire dans P ;
- la relation aime est réflexive, puisque toutes les personnes considérées s’aiment elles-mêmes. Remarquons au passage que l’ordre dans le couple a de l’importance. Si « Alice aime Bernard », la réciproque n’est pas forcément vraie, et d’ailleurs ici ( Bernard , Alice ) n’appartient pas à aime. Ajoutons une personne à P. L’ensemble des personnes devient : :

Q = \

aime est encore un sous-ensemble de Q × Q, mais la relation aime n’est plus réflexive : la simple présence de Christian a modifié la relation, même si aucun lien n’a été rajouté. En fait, la relation aime dans Q doit être distinguée de la relation aime dans P, même si elles ont toutes deux le même graphe. Pour y parvenir, l’idée la plus simple est de considérer qu’une relation comporte non seulement un graphe, mais aussi le produit cartésien dans lequel il s’inscrit : si aime désigne toujours le graphe, les relations deviennent alors : :

( P \times P , aime ) \quad et \quad ( Q \times Q , aime ) \,

, ou, ce qui revient en pratique au même : :

( P , P , aime ) \quad et \quad ( Q , Q , aime ) \,

. Cette façon de procéder comporte toutefois encore un défaut : elle ne permet pas de définir des relations dans les univers, puisque les éléments de n-uplets doivent être des ensembles. Cela pose problème avec la relation d’équipotence par exemple, qui est à la base de la définition des cardinaux, et qui est censée être définie dans l’univers de tous les ensembles. Une solution (déjà entrevue dans l’article « Produit cartésien ») consiste à remplacer les triplets précédents par des sommes disjointes : les deux relations précédentes seront alors définies comme : :

\dot\cup ( P , P , aime ) \quad et \quad \dot\cup ( Q , Q , aime ) \,

, mais encore notées cependant par abus d’écriture : :

( P , P , aime ) \quad et \quad ( Q , Q , aime ) \,

. Remarque : le cheminement ci-dessus est caractéristique de la démarche des mathématiciens lorsqu’ils élaborent une définition : ils partent d’une première approche simple, qu’ils améliorent ensuite en la compliquant pour éliminer des contradictions internes ou prendre en compte certains cas particuliers, puis qu’ils généralisent au maximum.

Définition formelle

Notes préliminaires

- Les définitions suivantes demeurent valides si on y remplace les ensembles par des classes ou des univers.
- Pour alléger l’écriture, nous noterons à partir d’ici les sommes disjointes comme des n-uplets.

Définition

:Une correspondance, ou relation générale, est la somme disjointe de trois ensembles dont le dernier est une partie du produit cartésien du premier par le deuxième. Plus précisément, si E et F sont deux ensembles, alors

\mathfrak

est une correspondance de E dans F si et seulement si : :

\exists\ G \ / \ ( \mathfrak = (E, F, G) ) \wedge ( G \subseteq E \times F )

E est l’ensemble de départ de la correspondance, F son ensemble d’arrivée et G son graphe. En pratique, on confondra une correspondance avec son graphe s’il n’y a pas d’ambiguïté sur les ensembles de départ et d’arrivée.

Egalité de deux correspondances

D’après leur définition, deux correspondances sont égales si et seulement si elles ont mêmes ensembles de départ et d’arrivée et même graphe. En d’autres termes, si

\mathfrak_1

= ( E₁ , F₁ , G₁ ) et si

\mathfrak_2

= ( E₂ , F₂ , G₂ ) , alors : :

( \mathfrak_1 = \mathfrak_2 ) \Leftrightarrow [ ( E_1 = E_2 ) \wedge ( F_1 = F_2 ) \wedge ( G_1 = G_2 ) ] \,

Exemples et cas particuliers importants

- Etudier quels sont les sports pratiqués par les français revient à établir une correspondance de l'ensemble des français dans l'ensemble des sports possibles.
- Si E = , F = et si G = , alors ( E, F, G ) est une correspondance de E dans F.
- Une correspondance est vide si et seulement si son graphe est égal à l'ensemble vide.
- Une correspondance est pleine si et seulement si son graphe est égal au produit cartésien des ensembles de départ et d'arrivée tout entier.
- La relation dans E dont le graphe est la diagonale de E est appelée identité de E, et notée habituellement «

Id_E \,

».
- L'ensemble de départ d'une correspondance peut être le produit cartésien de deux ensembles ou plus : ainsi, l'addition des nombres réels est une correspondance de

\mathbb \times \mathbb \,

dans

\mathbb \,

. Il semble évident que l'addition comporte deux arguments; mais en fait, le nombre d'arguments d'une correspondance dépend du point de vue adopté et n'en est donc pas une propriété intrinsèque: ainsi, on peut considérer que l'addition a un seul argument, le couple formé par les deux nombres additionnés !

Représentation des correspondances

Il existe trois types de représentation d’une correspondance :
- sagittale, qui dérive des diagrammes de Venn pour les ensembles, où les ensembles de départ et d’arrivée sont représentés par deux « patatoïdes » côte à côte, les éléments par des points à l’intérieur des patatoïdes, et les couples du graphe par des flèches reliant les premières composantes aux secondes; diagrammes de Venn
- tabulaire ou matricielle, sous forme d’un tableau à deux entrées, avec en première colonne la liste des éléments de l’ensemble de départ et en première ligne celle des éléments de l’ensemble d’arrivée; les couples sont représentés par des croix dans les cases à l’intersection de la ligne de la première composante et de la colonne de la seconde composante;
- graphique, avec un axe horizontal dont les points représentent les éléments de l’ensemble de départ, et un axe vertical dont les points représentent les éléments de l’ensemble d’arrivée; les couples sont représentés par les points à l’intersection de la ligne verticale coupant l’axe horizontal à l’emplacement de la première composante, et de la ligne horizontale coupant l’axe vertical à l’emplacement de la seconde composante. Traditionnellement, le nuage des points du graphe se situe au-dessus et à droite des axes.

Relations n-aires

Relations internes et externes

Une relation interne ou relation dans un ensemble ou relation sur un ensemble est une correspondance dont l’ensemble de départ est une puissance cartésienne de l’ensemble d’arrivée. Une relation externe est une correspondance dont l’ensemble de départ est le produit cartésien d’un ensemble dit de scalaires ou d’opérateurs par une puissance cartésienne de l’ensemble d’arrivée. Plus précisément, si E et S sont deux ensembles : :-

\mathfrak

est une relation dans E, donc interne ssi : :

\exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 2 ) \wedge ( \mathfrak = ( E^ , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \, )

\mathfrak

est une relation sur E à opérateurs à gauche dans S, donc externe à gauche ssi : :

\exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 3 ) \wedge ( \mathfrak = ( S  \times E^ , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E^ \, )

\mathfrak

est une relation sur E à opérateurs à droite dans S, donc externe à droite ssi : :

\exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 3 ) \wedge ( \mathfrak = ( E^ \times S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \times S \times E \, )

Pour que ces définitions soient cohérentes, S ne doit pas être un produit cartésien où E figure ( le cas S = E est toutefois toléré par abus de langage : une relation interne est alors vue comme une relation externe dans E à opérateurs dans E lui-même ). Les correspondances de S dans E où S n'est ni E, ni un produit cartésien comportant E ne relèvent pas de ces définitions, mais peuvent être vues comme relations externes dans E au cas limite où n = 2. S est alors l'ensemble des opérateurs ( sans préciser à gauche ou à droite, les deux se confondant ). A part ce cas, s’il n’est pas précisé si une relation externe est à gauche ou à droite, et si le contexte ne permet pas de lever l’ambiguïté, alors elle est à gauche. De même, s’il n’est pas précisé si une relation est interne, externe ou générale, et si le contexte ne permet pas de lever l’ambiguïté, alors elle est interne. Pour parler des relations au sens général du terme, il vaudra mieux préciser relation générale, ou employer le terme de correspondance.

Arité d’une relation

Le nombre n intervenant dans les définitions précédentes est appelé arité de la relation. Celle-ci est dite n-aire; ainsi :
- une relation binaire interne, d’arité 2 , est une correspondance dont les ensembles de départ et d’arrivée sont les mêmes. En d’autres termes, si E est un ensemble,

\mathfrak

est une relation binaire dans E ssi c'est une correspondance de E dans E, c'est-à-dire si : :

\exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E \times E \, ) \,

- une relation binaire externe, encore d'arité 2, est une correspondance d’un ensemble S dans un ensemble E, où S n’est pas un produit cartésien dont E soit une composante; en d’autres termes, si E et S sont deux ensembles,

\mathfrak

est une relation binaire externe de S dans E ssi : :

\exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E \, ) \,

- une relation ternaire interne, d'arité 3, est une correspondance dont l’ensemble de départ est le carré cartésien de l’ensemble d’arrivée; en d’autres termes, si E est un ensemble,

\mathfrak

est une relation ternaire interne dans E ssi : :

\exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E \times E , E, G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \, ) \,

- une relation ternaire externe à gauche (resp. à droite) est une correspondance dont l’ensemble de départ est le produit cartésien d’un ensemble S de scalaires par l’ensemble d’arrivée (resp. de l'ensemble d'arrivée par un ensemble S de scalaires); en d’autres termes, si E et S sont deux ensembles :,

\mathfrak

est une relation ternaire externe dans E à opérateurs dans S : :- à gauche ssi :

\exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( S \times E , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E^ \, ) \,

:- à droite ssi :

\exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E \times S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E \times S \times E \, ) \,

Encore une fois, l’ensemble S ci-dessus ne doit pas être un produit cartésien dont l’ensemble d’arrivée E soit une composante. En pratique, on considère rarement des relations d'arité supérieure, car elles peuvent toujours se décomposer en relations binaires ou ternaires.

Exemples

- L’égalité et l’inclusion sont des relations binaires dans l’univers des ensembles.
- La réunion, l’intersection, la différence et la différence symétrique sont des relations ternaires internes dans l’univers des ensembles.

Relations scalaires

Une relation scalaire est une correspondance d'un ensemble E² dans un ensemble S, où S n'est pas un produit cartésien dont l’ensemble E soit une composante ; c'est donc une relation binaire externe dont l'ensemble de départ est un carré cartésien. L'appellation de relation scalaire peut être étendue au cas où l'ensemble de départ n'est pas un carré cartésien, mais une puissance cartésienne d'ordre n supérieur à 2. La valeur n+1 est parfois appelée arité scalaire de la relation, à ne pas confondre avec l'arité définie précédemment (toujours égale à 2 pour une relation scalaire).

Fonctions

Images et antécédents

\mathfrak

est une correspondance, avec

\mathfrak = ( E , F , G )

, alors les affirmations suivantes sont équivalentes : :- y correspond à x par

\mathfrak

; :- ( x , y ) appartient à G ; :- y est image de x par

\mathfrak

; :- x est antécédent de y par

\mathfrak

. Le terme de « préimage » est parfois employé à la place de celui d'« antécédent ». « y correspond à x par

\mathfrak

» peut se noter :
- « ( x , y ) ∈ G(

\mathfrak

) » (notation ensembliste)
- « ( x , y )

\mathfrak

» (notation relationnelle postfixée)
- «

\mathfrak

( x , y ) » (notation relationnelle préfixée)
- « x

\mathfrak

y » (notation relationnelle infixée) Cette dernière notation est, sauf cas particulier, la plus pratique et par conséquent la plus utilisée. L'ensemble formé par les images de tous les éléments de l’ensemble de départ d’une correspondance est appelé ensemble-image de cette correspondance. Il est noté habituellement «

Im\mathfrak

». Un abus de langage courant consiste à appeler cet ensemble « image » de la correspondance, mais cela peut entraîner une confusion si la correspondance est elle-même élément d’un ensemble à partir duquel une autre correspondance est bâtie. Symétriquement, l’ensemble formé par les antécédents de tous les éléments de l’ensemble d’arrivée d’une correspondance est appelé ensemble-antécédent de cette correspondance. Il est noté habituellement «

Ant\mathfrak

». L’ensemble-antécédent est aussi nommé « domaine de définition » de la correspondance, et alors noté «

Dom\mathfrak

» ou «

D\mathfrak

», mais cette dernière appellation est plutôt réservée aux fonctions (ci-dessous).

Fonctions, applications et bijections

Propriétés de base

Une correspondance peut avoir quatre propriétés de base indépendantes les unes des autres ; elle peut être :
- fonctionnelle : tout élément de l'ensemble de départ a au plus une image : ::

\forall\, ( x , y_1 , y_2 ) \in E \times F^ , ( x \,\mathfrak\, y_1 \wedge x \,\mathfrak\, y_2 ) \Rightarrow ( y_1 = y_2 )

- applicative : tout élément de l'ensemble de départ a au moins une image : ::

\forall\, x \in E , \exists\, y \in F \ / \ x \,\mathfrak\, y \,

- injective : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent : ::

\forall\, ( x_1 , x_2 , y ) \in E^ \times F , ( x_1 \,\mathfrak\, y \wedge x_2 \,\mathfrak\, y ) \Rightarrow ( x_1 = x_2 ) \,

- ou surjective : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent : ::

\forall\, y \in F , \exists\, x \in E \ / \ x \,\mathfrak\, y \,

. Notes: : une correspondance est applicative si et seulement si :

\ Ant\mathfrak = E

; : une correspondance est surjective si et seulement si :

\ Im\mathfrak = F

Définitions

En combinant ces quatre propriétés de base, nous obtenons a priori seize types de correspondances, mais seules neuf ont un qualificatif; il est possible de résumer ces propriétés et leur définition dans le tableau suivant : Certaines des combinaisons des quatre propriétés de base ont reçu un nom, en raison de leur importance pratique :
- une fonction est une correspondance fonctionnelle; chaque élément de départ a au plus une image; on peut donc parler de son image sans ambiguïté, et la désigner par un symbole, d'habitude « R( x ) » si la fonction est notée « R ». Cela permet de remplacer la notation relationnelle « x R y » par la notation fonctionnelle « y = R( x ) » plus pratique;
- une application est une fonction applicative ; c’est donc aussi une correspondance fonctionnelle et applicative, c’est-à-dire une correspondance univoque ;
- une injection est une application injective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative et injective, c’est-à-dire une correspondance applicative et bifonctionnelle;
- une surjection est une application surjective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative et surjective, c’est-à-dire une fonction biapplicative;
- une bijection est une application bijective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative, injective et surjective, c’est-à-dire une correspondance biunivoque; Attention! Une correspondance applicative (respectivement injective, surjective, bijective) n’est pas en général une application (respectivement une injection, une surjection, une bijection); De même, une fonction injective ( respectivement surjective, bijective) n’est pas en général une injection (respectivement une surjection, une bijection).

Correspondance réciproque

Les notions d’image et d’antécédent sont duales. Echanger leur rôle revient à échanger entre elles les composantes de chaque couple du graphe, donc à remplacer chaque couple ( x , y ) par son couple réciproque ( y , x ). Le graphe réciproque d’un graphe

G

, noté «

G^

», est le graphe résultant d’un tel échange : :

G^ = \

La correspondance réciproque d’une correspondance est la correspondance obtenue en échangeant les ensembles de départ et d’arrivée et en remplaçant le graphe par son graphe réciproque. En d’autres termes, si

\mathfrak = ( E , F , G )

, alors :

\mathfrak^ = ( F , E , G^ )

La réciproque de la réciproque d’une correspondance n’est autre que cette correspondance : :

( \mathfrak^ )^ = \mathfrak

Il suffit de lire le tableau des combinaisons des propriétés de base des correspondances (voir plus haut), en échangeant le rôle des images et des antécédents, pour obtenir les propriétés des réciproques. Ainsi :
- la réciproque d’une fonction est une correspondance injective; inversement, pour que la réciproque d’une correspondance soit une fonction, il faut et il suffit que cette correspondance soit injective;
- la réciproque d’une correspondance applicative est surjective, et vice-versa;
- la réciproque d’une application, c'est-à-dire d'une correspondance univoque, est une correspondance bijective; inversement, pour que la réciproque d’une correspondance soit une application, il faut et il suffit que cette correspondance soit bijective;
- la réciproque d'une correspondance bifonctionnelle, c’est-à-dire d’une fonction injective, est une correspondance bifonctionnelle, c’est-à-dire une fonction injective;
- la réciproque d’une correspondance biapplicative est elle-même biapplicative;
- et enfin, la réciproque d’une bijection, c'est-à-dire d'une correspondance biunivoque, est une bijection.

Classement des correspondances

Remarques : : (
- ) à gauche ou à droite : (
- ) Les relations ternaires internes ne peuvent être des bijections que si le cardinal de leur ensemble d’arrivée est infini ou égal à 0 ou à 1. Nous retrouvons dans ce tableau les deux familles de notions définies plus haut, relations et fonctions, et leurs combinaisons : :- une transformation dans un ensemble est une application de cet ensemble dans lui-même, donc une relation binaire dans cet ensemble; :- une permutation dans un ensemble est une bijection d’un ensemble dans lui-même, donc une relation binaire dans cet ensemble; c’est donc un cas particulier de transformation; :- une opération est une correspondance qui est à la fois une relation ternaire et une fonction; :- une loi de composition ( appellation souvent abrégée en loi ) est une correspondance qui est à la fois une relation ternaire et une application; les lois sont donc des opérations particulières. Ainsi, les quatre opérations de notre enfance (+, -, x, :) sont effectivement des opérations internes dans

\mathbb

, mais seules l’addition et la multiplication y sont des lois de composition.

Voir aussi

- Théorie des ensembles
- Notion d’ensemble
- Sous-ensemble
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Opération sur des correspondances
- Relation binaire
- Fonction
- Relation ternaire interne
- Relation ternaire externe
- Relation scalaire
- Loi de composition

Produit cartésien

En mathématiques, la notion de produit cartésien repose avant tout sur celle de couple, ou plus généralement de multiplet. Cette notion permet d'ordonner implicitement les éléments d'un ensemble. Il est alors possible d'introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne).

Notion de couple

Propriété fondamentale

Pour deux objets a et b donnés, le couple contenant a et b est noté « ( a, b ) ». Nous allons suivre le point de vue historique et considérer dans un premier temps cette notion comme une notion primitive. Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple ( a, b ). L'essence de la notion de couple réside dans la propriété fondamentale suivante : : Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles. : ou : :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, [\ ( a_1 , a_2 ) = ( b_1 , b_2 ) \ ] \Leftrightarrow [\ ( a_1 = b_1 ) \wedge ( a_2 = b_2 ) \ ] \,

Cette propriété est à rapprocher du lemme SP2 d'égalité des paires (voir l'article « Ensemble »), pour lesquelles b₁ et b₂ peuvent être permutés par rapport à a₁ et a₂, ce qui n'est pas le cas pour les couples. Ceci est confirmé par le corollaire suivant : : Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques. : ou : :

\forall\ a , \forall\ b , \, [\ ( a , b ) = ( b , a ) \ ] \Leftrightarrow [\ a = b \ ] \,

Par conséquent:
- pour un couple ( a , b ) : b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
- pour une paire : = Les notions de couple et de paire ne doivent donc pas être confondues : :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( a , b ) \ne \ \,

L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition : : Si a est différent de b , le couple ( b , a ) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple ( a , b ).

Définition

La propriété fondamentale des couples ne suffit pas en elle-même à définir la notion de couple. C'est pourquoi la définition suivante a été proposée (Wiener, 1914) : : pour tout objet a et tout objet b, le couple ( a , b ) est la paire formée par le singleton et la paire : : ou : :

\forall a , \forall b , ( a , b ) = \

Il est aisé de vérifier que les couples ainsi définis satisfont bien à la propriété fondamentale. D'autres définitions de la notion de couple sont possibles, par exemple en posant ( a, b ) = . Mais ces définitions n'apportent rien de plus et sont incompatibles avec celle de Wiener ; c'est pourquoi on conserve cette dernière au bénéfice de l'antériorité. Par ailleurs, tels qu'ils sont définis, les couples ne peuvent avoir pour composantes que des ensembles, pas des univers. Nous verrons plus loin un moyen de tourner cette limitation.

Produit cartésien de deux ensembles

Définition

Pour tout objet A et tout objet B, il existe un ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante vient de A et la seconde de B : :

\forall\ A , \forall\ B , \exists\ P /\ \forall\ x , \forall\ y , \, [\ ( x \in A ) \wedge ( y \in B ) \ ] \Rightarrow [\ ( x , y ) \in P \ ] \,

L'existence de cet ensemble découle de celle de

\ _\mathfrak P

[

\ _\mathfrak P

( A

\  _

B ) ] ( où

\ _\mathfrak P

( E ) désigne l' ensemble des parties de E ). L'unicité de P pour A et B donnés est garantie par l' Axiome d'extensionnalité. Cet ensemble est noté « A x B » (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B : :

A \times B = \left \

Exemple

Si A est l'ensemble et B l'ensemble , alors le produit cartésien des ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant : :.

Propriétés

- En règle générale, B x A ≠ A x B. Plus précisément : A x B = B x A ⇔ A = B. Remarque : A x A est noté A² (lire « A au carré ») et appelé carré cartésien de A : :

A^2 = \

A² ne doit pas être confondu avec ΔA (lire « delta A »), diagonale de A : :

\Delta A = \

Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide ou se réduit à un singleton.
- Le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide : :

\forall\ A ,\ \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing \,

- Les sous-ensembles d'un produit cartésien sont appelés graphes.

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes : :

\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement : :

\forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par : :

A \times B \times C = \left \

D'après ce qui précède, A x B x C = ( A x B ) x C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est appelé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire « A au cube ») : :

A^ = \

Les produits cartésiens furent développés pour la première fois par René Descartes dans le contexte de la géométrie analytique. Si

\ _\mathbb R

désigne l'ensemble de tous les nombre réels, alors

\ _\mathbb R

² =

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

représente le plan euclidien et

\ _\mathbb R

³ =

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

\ _\mathbb R

représente l'espace euclidien tri-dimensionnel.

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
- Propriété fondamentale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet : :

\forall a_ , \forall a_ , \cdots , \forall a_ , \forall b_ , \forall b_ , \cdots , \forall b_ ,

[\, ( a_ , a_ , \cdots a_ ) = ( b_ , b_ , \cdots b_ ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_ = b_ ) \wedge ( a_ = b_ ) \wedge \cdots ( a_ = b_ ) \,]

- Définition d'un n-uplet : :

\forall a_ , \forall a_ , \cdots \forall a_ , ( a_ , a_ , \cdots a_ , a_ ) = ( ( a_ , a_ , \cdots a_ ) , a_ )

- Produit cartésien de n ensembles : :

A_ \times A_ \times \cdots \times A_ \times A_ = ( A_ \times A_ \times \cdots \times A_ ) \times A_

- Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble : :

A^ = A^ \times A = \prod_^n A = \

Note : Il est possible de définir des produits cartésiens infinis, mais pour le faire, nous avons besoin d'une définition du produit cartésien plus profonde.

Somme disjointe ou cartésienne

Dans une réunion d'ensembles A ∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme × A et × B , où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « Ø » et « » , ou « 0 » et « 1 ». L' union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles est ainsi définie par : :

\forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B )

La notation préfixée «

\ _

( A , B ) » met en évidence que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples, la notion peut s'appliquer aux univers. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés. Plus précisément, si on rencontre un couple dont l'une des composantes est un univers, il s'agit d'un abus d'écriture : le couple est en réalité une somme disjointe. La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles : :

\forall A , \forall B , \forall C ,

\dot \cup ( A , B , C ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A , B ) , C ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B ) \cup ( \ \times C )

Et plus généralement : :

\forall A_1 , \forall A_2 , \cdots \forall A_n , \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ , A_n ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ ) , A_n )

Cela permet de généraliser l'abus d'écriture précédent : si on rencontre un n-uplet dont l'une des composantes est un univers, il s'agit en réalité d'une somme disjointe de n classes (univers ou ensembles).

Voir aussi

- Mathématiques -- Théorie des ensembles
- Notion d'ensemble
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Correspondance et relation Catégorie:Théorie des ensembles ja:直積集合 ko:곱집합

Structure algébrique

ja:代数的構造 Catégorie:Algèbre Catégorie:Algèbre abstraite En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné avec une ou plusieurs lois de composition éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d’ axiomes.

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition interne. Les plus importantes sont les structures de Groupe, d’Anneau et de Corps.

Groupoïdes

Les structures algébriques les plus simples, ne comportant qu’ une loi de composition interne.
- magma : ensemble avec une seule loi de composition interne
- paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.
- antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.
- quasigroupe : un magma symogène.
- boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
- moufang : une boucle neutroactive.
- prégroupe : un magma associatif; les prégroupes sont parfois qualifiés de monoïdes
- monoïde : un prégroupe unifère.
- semigroupe : un monoïde régulier.
- groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout élément possède un inverse; c’est aussi une boucle associative.
- groupe abélien : un groupe commutatif; c’est aussi un paragroupe unifère et inversible.

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes.
- anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de magma associatif (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication étant distributive sur l’addition. Un anneau est unitaire (resp. intègre, commutatif) si la multiplication est unifère (resp. intègre, commutative).
- semianneau : similaire à un anneau, mais sans inverses additifs. L’ensemble muni de l’addition forme donc non pas un groupe, mais seulement un monoïde.
- anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est commutative.
- corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer : :- « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif, :- et « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif.
- corps commutatif , corps non commutatif : dans la tradition française un « corps » n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' « anneaux à (ou de) division » et les corps commutatifs de « corps » tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le « corps » considéré est-il commutatif ou quelconque ?

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique. Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne. Géométriquement, c’est un ensemble sur lequel agit un ensemble-opérateur , ou ensemble d’opérateurs, dits aussi scalaires. C’est donc un ensemble muni d’une action de l’ensemble-opérateur dans cet ensemble, c’est-à-dire d’une application de l’ensemble-opérateur dans l’ensemble des applications de cet ensemble dans lui-même. La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action. Pour être rigoureux, il faudrait distinguer entre actions à gauche et à droite, et de même entre lois externes à gauche et à droite. Dans les définitions et axiomes qui suivent, nous supposerons implicitement les lois externes à gauche.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, externe.
- Espace homogène ( sur un monoïde ) : ensemble muni d’une loi externe exo-associative et exo-unifère sur un monoïde Remarque : il existe aussi en topologie des espaces homogènes. En cas de doute, précisez « espace algébriquement homogène » ou « espace topologiquement homogène » pour lever l'ambiguïté.

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.
- espace actif ( sur un ensemble ) ou groupe à opérateurs ( dans un ensemble ) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe
- module ( sur un anneau unitaire ) : espace actif dont la loi externe : ::- est sur un anneau unitaire; ::- est, relativement à la loi du groupe, exo-distributive par rapport à l’addition de l’anneau; ::- forme un espace homogène sur l’ensemble de base de l’anneau muni de sa seule multiplication
- espace vectoriel ( sur un corps commutatif ) : un module sur un corps commutatif. C’est donc un groupe abélien muni d’une loi externe sur un corps commutatif, loi vérifiant les quatre propriétés précédentes (distributivité, exo-distributivité, exo-associativité et exo-unitarité).
- espace affine ( sur un corps commutatif ) : paragroupe muni d’une loi externe sur un corps commutatif. : La loi interne du paragroupe est souvent appelée loi milieu, car dans un espace affine euclidien, cette loi n’est autre que celle qui associe à deux points leur milieu géométrique. En symétrisant cette loi, on aboutit à un espace vectoriel, celui associé à l' espace affine. : La loi externe de l'espace affine vérifie d'ailleurs des propriétés analogues à celles de la loi externe d’un espace vectoriel.

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.
- algèbre ( sur un corps commutatif ) : un module ou un espace vectoriel muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.
- algèbre sur un anneau commutatif unitaire : combinant la structure de module et celle d'anneau.
- algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.
- algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.
- algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non-associative.
- algèbre de Clifford : une algèbre associative munie d’une application linéaire particulière.

Structures algébriques ordonnées

Treillis

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens d’un ordre partiel.
- treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.
- algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.

Structures algébriques topologiques

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques. Ainsi, en allant du général au particulier :
- Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique : :
- Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie telle que sa loi de composition interne soit continue ainsi que les relations inverses (RTID et RTIG) de cette loi. :
- Les espaces vectoriels topologiques constituent un autre cas important. :
- les groupes de Lie en forment un autre.
- Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique : :
- les espaces affines métriques en sont l’exemple le plus classique. :
- Les espaces vectoriels normés sont des espaces vectoriels munis d'une norme, définissant la « longueur » d’un vecteur. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : ::- dans un espace vectoriel, en prenant comme distance entre vecteurs la norme de leur différence, ::- dans un espace affine, dit alors espace affine normé, en prenant comme distance entre deux points la norme du vecteur formé par les deux points. ::
- Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet. :
- Les espaces vectoriels préhilbertiens, ou préhilbertiens, sont des espaces vectoriels munis d'un produit scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom : ::
- Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel sur

\mathbb

de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée de leur carré scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme euclidienne associée au produit scalaire. L’espace affine associé à un espace vectoriel euclidien devient un espace affine euclidien quand il est muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’Euclide. ::
- Un espace vectoriel hermitien est un espace vectoriel sur

\mathbb

de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme hermitienne correspondante est définie positive. Cet espace est un espace normé : il suffit par exemple de prendre comme norme des vecteurs la racine carrée de leur carré scalaire. Cette norme est d’ailleurs dite norme hermitienne associée au produit scalaire. ::
- Un espace de Hilbert est un préhilbertien séparé complet. C’est donc un espace de Banach particulier. La liste ci-dessus n'est pas exhaustive...

Structures algébriques et catégories

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.

Voir aussi

- Algèbre abstraite

Loi de composition externe

catégorie:Algèbre En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application. = Définition = Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d' ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :
- une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
- une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E . = Principales propriétés =

Propriétés simples

Soit un ensemble E muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).
- la loi « . » est exo-unifère à gauche ( resp. exo-unifère à droite ), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E :ou : ::- pour une relation à gauche : ::

\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \epsilon . x = x \,

::- et à droite : ::

\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \epsilon = x \,

- la loi « . » est absorbante à droite ( resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même :ou : ::- pour une relation à gauche : :: $\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ \lambda . a = a \,$ ::- et à droite : :: $\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ a . \lambda = a \,$
- la loi « . » est exo-absorbante à gauche ( resp. exo-absorbante à droite ), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E :ou : ::- pour une relation à gauche : :: $\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \omega . x = a \,$ ::- et à droite : :: $\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \omega = a \,$
- la loi « . » est régulière à gauche ( resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux :ou : ::- pour une relation à gauche : :: $\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,$ ::- et à droite : :: $\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,$
- la loi « . » est exo-régulière à droite ( resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E , ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux :ou : ::- pour une relation à gauche : :: $\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,$ ::- et à droite : :: $\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,$
- la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.
Propriétés relatives à une loi interne

- la loi « . » est exo-associative par rapport à une loi interne «

-  \,

» de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi «

-  \,

» :ou : ::- pour une relation à gauche : ::

\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda  -  \mu ) . x \,

::- et à droite : ::

\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu  -  \lambda ) \,

- la loi « . » est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne «

\bot \,

» de E si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi «

\bot \,

» de deux éléments de E est égal au composé par la loi «

\bot \,

» des deux composés par la loi « . » de ces éléments de E avec le scalaire précédent :ou : ::- pour une relation à gauche : ::

\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \,

::- et à droite : ::

\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,

- la loi « . » est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne «

\top \,

» de S relativement à une autre loi interne «

\bot \,

» de E si tout composé par la loi « . » d'un élément de E avec le composé par la loi «

\top \,

» de deux scalaires est égal au composé par la loi «

\bot \,

» des deux composés par la loi « . » de l'élément de E avec chaque scalaire :ou : ::- pour une relation à gauche : ::

\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \,

::- et à droite : ::

\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,

= Voir aussi =
- Loi de composition

Infixe

catégorie:Linguistique Pour les préfixes du système international, voir ici. ---- En morphologie, domaine de la linguistique, un affixe (du latin ad-fixus > affixus, « (qui est) fixé contre ») est un morphème en théorie lié qui s'adjoint au radical ou au lexème d'un mot. Des affixes peuvent se lexicaliser et donc devenir des morphèmes libres : c'est le cas pour le préfixe ex- dans une expression comme mon ex, à savoir mon ex-mari / -petit ami, etc. N.B. : en mathématiques, une affixe est un nombre complexe associé à un point du plan. Pour cette notion, voir Plan complexe.

Valeur des affixes

Les affixes sont principalement de deux natures :
- affixes grammaticaux et flexionnels. :Ils ne donnent pas naissance à un nouveau lemme mais à une autre forme d'un même radical :
- affixes agglutinants (ils dénotent un seul trait grammatical) :
- japonais 私 watashi « je » / 私たち watashi-tachi « je [pluriel] → nous »,
- chinois 我 wǒ « je » / 我們 wǒ-men « je [pluriel] → nous »,
- turc ev « maison » / ev-ler « maison [pluriel] → maisons »,
- désinences (ils peuvent dénoter plusieurs traits grammaticaux ; consulter aussi l'article Langue flexionnelle) :
- grec λόγ-ος lógos « parole » [désinence nominale du nominatif masculin singulier],
- latin fec-erunt « ils firent » [désinence verbale de troisième personne du pluriel du parfait de l'indicatif],
- affixes de classe (dénotent des traits sémantiques et grammaticaux) :
- en tonga (langue bantoue) bu-Tonga « les Tongas » [préfixe pluriel de la classe des ensembles de personnes].
- Affixes de dérivation. :Ils permettent de former, à partir d'un même radical, de nouveaux lemmes :
- affixes sémantiques (pour la création de mots dérivés de sens différent) : français dé-faire (préfixe privatif : indique le contraire du signifié du radical), re-faire (préfixe fréquentatif : répétition), par-faire (préfixe perfectif : indique que l'action est entièrement accomplie), mé-faire (préfixe péjoratif : modifie négativement le signifié du radical), ou encore jaun-asse (suffixe péjoratif),
- affixes lexicaux (permettent de former des dérivés de classe lexicale ou de genre différents, par exemple ; dans les exemples, les désinences sont entre parenthèses) : latin pugn-u-(s) « poing » (nom), pugn-a « combat à coup de poing », pugn-are « combattre au coup de poing > combattre » (verbe), pugn-tu(m) > punc-tu(m) (participe passé passif) « ce qui est piqué > piqûre », pugn-ac(s) > pugn-ax « ardent à la lutte aux poings > belliqueux » (adjectif).

Place des affixes

Selon leur place par rapport au radical, les affixes se subdivisent en plusieurs types :
- préfixes (latin præ-fixus, « fixé devant »), placés avant le radical : français pré-paration ;
- suffixes (latin sub-fixus > suffixus, « fixé derrière »), placés après : latin figur-are,
- infixes (latin in-fixus, « fixé dans ») s'insèrent à l'intérieur du radical : grec λαμϐάνω « je prends » (racine λαϐ- avec un suffixe -άνω inchoatif — indique que l'action commence — et un infixe inchoatif -μ- ; à l'aoriste, sorte de passé simple, les affixes inchoatifs disparaissent : ἔ-λαϐ-ον « j'ai pris »),
- circumfixes (latin circum-fixus, « fixé autour ») : affixes se plaçant autour d'un radical, comme on en rencontre en allemand dans le participe passé passif des verbes faibles construit avec le circumfixe ge-...-t ; ainsi hab-en « avoir » fait ge-hab-t (il est aussi possible de considérer que ge- est un augment). De même, en tatabahasa, langue indonésienne, il existe plusieurs circumfixes, comme per-...-an (marquant, entre autres, le résultat nominal d'un procès verbal) : janji « promettre » donne per-anji-an « promesse ». Les affixes peuvent s'ajouter les uns aux autres ; un mot comme anticonstitutionnellement, par exemple, s'analyse grossièrement ainsi : D'autre part, le jeu de l'évolution phonétique fait parfois que le locuteur profane ne peut distinguer les morphèmes d'un mot donné : dans le verbe pondre, par exemple, po- représente un ancien préfixe que, déjà en latin (dans ponere), les locuteurs ne savaient pas reconnaître comme tel. De fait, n'étant plus productif en latin, il ne l'est pas plus en français. Il existe d'autres types de placements qui ne concernent plus vraiment une vision morphématique de la question mais considèrent que la flexion interne fait aussi partie des affixes :
- simulfixes (simul : « en même temps ») : des phonèmes sont modifiée mais l'apparence globale du terme est conservée. Il peut s'agir d'une flexion interne, du type arabe سُلْطاَن sulṭān « sultan » / سَلاَطِين salāṭīn « sultans », maltais raġel « homme » / irġiel « hommes », ou encore breton dant « dent » / dent « dents ». Le suffixe -er du mandarin s'apparente à un simulfixe par rétroflexion : 錯 cuò [ʦʰʷo] « être dans l'erreur » / 錯兒 cuòr [ʦʰʷo˞] « erreur » ;
- suprafixes (supra : « au-delà ») : c'est un trait suprasegmental du signifié qui est modifié, comme dans l'anglais recórd [ɹɪ'kɔːd] « enregistrer » / récord ['ɹekɔːd] « enregistrement », en mandarin 好 hǎo « être bon » / 好 hào « trouver bon » ou encore en sanskrit यम् yam [jɐm] « qui (accusatif masculin) » / याम् yām [jaːm] « qui (accusatif féminin) » (dans ce dernier exemple, considérer que le passage de a à ā est la marque d'un suprafixe est contestable).

Affixes séparables et tmèse

Dans certaines langues, les affixes peuvent être reliés étymologiquement à des morphèmes autonomes comme des prépositions, c'est-à-dire étymologiquement des adverbes. C'est le cas dans nombre de langues indo-européennes. De sorte, il est parfois possible de leur rendre leur fonctionnement autonome en les séparant du radical : on parle alors d'une tmèse (du grec τμῆσις tmêsis « coupure »). En grec ancien, la tmèse est assez rare et se limite surtout à des états anciens de la langue, quand la distinction entre affixe et adverbe n'était pas encore nette : ainsi, chez Sappho :Ἔσπερε [...] φέρεις ἄπυ μάτερι παῖδα :« Étoile vespérale, tu ramènes l'enfant à sa mère ». L'auteur utilise φέρεις... ἄπυ au lieu de ἀπύφερεις. Le préfixe ἀπύ- « (de) loin » est séparé du thème verbal φέρεις « tu transportes » et redevient grammaticalement mais non sémantiquement une préposition autonome. Un contresens ferait traduire par « tu mènes l'enfant loin de (ἀπύ-) la mère », en considérant que ἄπυ est une préposition ayant pour régime μάτερι « (à) la mère » ; on aurait dans ce cas ἀπὺ μάτερι « loin de sa mère » (noter la différence d'accentuation). Il faut donc faire de ἀπύ- un préfixe détaché du radical pour obtenir le sens, plus convaincant dans le reste de la phrase, de ἀπυφέρεις, c'est-à-dire « tu ramènes (de loin) ». Les tmèses sont aussi fréquentes chez Homère : τίθει... πάρα au lieu de παρατίθει « il place à côté, il offre ». Ce cas de figure est cependant régulier dans certaines langues germaniques comme l'allemand où les « particules séparables » sont plus nombreuses que les inséparables (liste fermée : zer-, be-, er-, ge-, miß-, ent-, emp- et ver-). La position du préfixe, collé au verbe ou séparé, est régie par des règles strictes : an-ziehen « tirer » mais ziehe den Vorhang an « tire le rideau », par opposition à er-lagen « succomber » / er erlag seinem Wunden « il succomba à ses blessures ». La mobilité relative du préfixe dans certaines langues indo-européennes est un reliquat lointain d'une langue, l'indo-européen, dans laquelle les prépositions et les préfixes étaient d'anciens adverbes. Poussé plus loin, le raisonnement permet de penser que les désinences flexionnelles elles aussi sont issues d'anciennes formes autonomes, ce que des langues très anciennes comme le grec d'Homère et le sanskrit du Rig Veda confirment en partie. Ainsi, la différence principale qui existe entre les langues agglutinantes et les langues flexionnelles — à savoir l'identité du radical, le non-syncrétisme des affixes et leur capacité à ne pas saturer directement un radical (c'est-à-dire la possibilité de s'agglutiner les uns aux autres) — se trouve réduite si l'on considère que l'existence de langues flexionnelles est peut être le résultat de l'évolution d'états plus anciens, qui rejoignent le type agglutinant. Certaines désinences reconstruites de l'indo-européen montrent en effet des liens implicites avec d'autres types de suffixes : c'est le cas pour le celui de formation de mots féminins que l'on écrit
- -ih₂ (on lit « /i/ laryngale 2 ») et qui donne en grec des noms principalement féminins en -ια /ia/, équivalents aux noms latins surtout féminins en -ia et en sanskrit aux noms féminins en -ī (résultat phonétique attendu de
- -ih₂). Ce suffixe devient dans les langues en question une désinence, celle de nominatif singulier féminin (sauf pour quelques cas). Étymologiquement, ce n'est qu'un suffixe de formation de noms dérivés d'un masculin indiquant la possession.