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Géométrie Euclidienne

Géométrie euclidienne

La géométrie euclidienne est l'étude des figures (dessins) obéissant aux axiomes qu'a posés Euclide dans son ouvrage Les Éléments. C'est la géométrie telle qu'elle est enseignée jusqu'au lycée. On l'appelle souvent aussi géométrie plane lorsque les figures sont tracées sur une surface plane, ou géométrie dans l'espace lorsque l'on considère des volumes. La géométrie des Éléments d'Euclide n'utilise que la règle et le compas bien que les connaissances de son époque incluaient aussi des constructions approchées dites par neusis.
La règle permet de tracer des traits droits ( droites, segments de droite), et le compas permet de rapporter des distances (et accessoirement de tracer des cercles). On peut noter ici que la règle n'est pas graduée ; on ne s'intéresse pas à la distance comme quantité de centimètres mais comme grandeur non numérique.
Le dessin est son propre étalon ; on peut aussi dire que les propriétés du dessin ne dépendent pas de son échelle.
Notons aussi que la lecture de la figure dans la géométrie euclidienne est vitale et donne des informations que ne donne pas le texte.

Objets géométriques

La géométrie, comme toute science d'abstraction, définit des objets (attention, ces définitions sont naïves) :
- le point : on peut imager le point comme une tête d'épingle, il est en fait infiniment petit ; on le représente par une croix faite au crayon (l'intersection de deux droites sécantes est un point) ; on nomme en général les points par une lettre romaine majuscule, comme A, B...
- la droite : c'est un trait droit d'épaisseur nulle, comme un fil tendu extrêment mince ; la droite est le plus court trajet entre deux points ; on la représente par un trait de crayon droit ; on nomme la droite par une lettre romaine minuscule ou grecque majuscule (en général d ou Δ), mais si l'on connaît deux points distincts de la droite (par exemple A et B), on peut nommer la droite en mettant le nom de ces deux points entre parenthèse (on parle de la « droite (AB) ») ;
- le segment de droite : c'est une portion de droite comprise entre deux points ; on le represente par un trait droit délimité par deux petits traits perpendiculaires aux extrémités ; si A et B sont les points des extrémités, le segment est nommé en mettant ces noms entre crochets (on parle du « segment [AB] ») ;
- la demi-droite : c'est la portion d'une droite qui se trouve d'un côté d'un point de la droite ; si A est le point de « départ » de la demi-droite et B un autre point de cette demi-droite, alors on la note [AB) ;
- le cercle : il est l'ensemble des points qui se situent à une même distance d'un point particulier appelé centre ; il est représenté par un rond avec une croix au milieu ; la croix localise le centre, le rond localise les points du cercle ; il est en général nommé par une lettre romaine majuscule (par exemple C). Image:geometrie objets de base.png

Les postulats d'Euclide

Ces postulats sont appelés « demandes », soit des propositions a priori non évidentes mais qu'on demande tout de même d'admettre pour pouvoir travailler. Ils sont présentés ici dans la version de la traduction de Peyrard : # Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque. # Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie. # D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle. # Tous les angles droits sont égaux entre eux. # Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. Le dernier postulat est le bien connu 5 postulat d'Euclide. On peut aussi le formuler comme ci-dessous :
- Soient une droite (d) et un point M situé hors de cette droite ; il ne passe par M qu'une seule droite (d') parallèle à d

Constructions à la règle et au compas

La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment. La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I. :Théorème : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance de ses extrémités. :Théorème réciproque : L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est la médiatrice de ce segment. Ceci se voit aisément en remarquant que si l'on considère un point M de la médiatrice, les segments [AM] et [BM] sont symétriques par rapport à la médiatrice. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AMI et IMB et montrer l'égalité de leurs hypoténuses. Donc, si l'on sait construire la médiatrice, on sait donc déterminer le milieu d'un segment et tracer une perpendiculaire à une droite. Pour cela, on ouvre le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis, on trace deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (en fait, on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice. Image:geometrie construction mediatrice.png

Métrique

Longueurs, angles

Figures géométriques

La géométrie étudie des objets constitués de plusieurs segments
- triangle
- quadrilatère : trapèze, parallélogramme, losange, carré
- autres polygones

Voir aussi

- géométrie dans l'espace
- géométrie vectorielle
- géométrie analytique
- géométrie non-euclidienne Geometrie euclidienne ja:ユークリッド幾何学 ko:유클리드 기하학

Axiome

catégorie:Raisonnement mathématique catégorie:Logique
- catégorie:épistémologie Le mot axiome vient du grec αξιωμα (axioma), qui signifie : qui est considéré comme digne ou convenable ou qui est considéré comme évident en soi. Pour certains philosophes grecs de l'antiquité cela représentait une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant considérer comme digne, lui-même dérivé de αξιοσ (axios), signifiant digne. En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes. En mathématiques le mot axiome désigne une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide ; actuellement un axiome représente plutôt un point de départ dans un système de logique (cf. Robert Blanché). Par exemple, dans certains anneaux, l'opération de la multiplication est commutative, et dans d'autres elle ne l'est pas; ces anneaux dans lesquels la loi est commutative satisfont l'« axiome de la commutativité de la multiplication ». On a longtemps confondu axiome et postulat, bien qu’on les différencie déjà dans les Éléments d'Euclide (les axiomes sont évidents alors qu’on demande d’admettre les postulats). Des axiomes servent de base élémentaire pour un système de logique formelle qui avec des règles d'inférence, définissent une logique. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant une addition, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) : # un nombre noté 0 existe # tout nombre X a un successeur noté succ(X) # X+0 = X # succ(X) + Y = X + succ(Y) Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes. En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit: :succ(X) = X + 1 et :1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4 :1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1)) :1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0)) :1 + 2 = succ(2) + 0 Axiome 4 :1 + 2 = 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3) Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome. Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1 postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne). Je précise ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La théorie générale de la relativité est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une géométrie hyperbolique. Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois eut le temps de montrer avant de mourir en duel à 22ans, que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique. Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née. Au , le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisamment grande pour former la base des mathématiques ordinaires, ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Voir aussi

- Axiomes IST de l'analyse non standard
- Axiomatisation
- Axiome d'antifondation
- Axiome d'Archimède
- Axiome du choix
- Axiome de la paire
- Axiome de la réunion
- Axiome de l'ensemble des parties
- Axiome de l'ensemble vide
- Axiome de l'infini
- Axiome de fondation
- Axiome de Pasch
- Axiome de régularité
- Axiome de remplacement
- Axiome d'extensionnalité
- Axiome de la borne supérieure
- Axiome de séparation
- Axiomes de Hilbert de la géométrie euclidienne
- Axiomes de Peano
- Axiomes des probabilités
- postulat de la droite parallèle
- Mathématiques renversées
- Axiomes selon R. Blanché
- Système axiomatique
- Théorie axiomatique des ensembles

Lien externe

- [http://metamath.planetmirror.com/mpegif/mmset.html#axioms Metamath axioms page] ja:公理 ko:공리

Euclide (mathématicien)

Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme un des textes fondateurs des mathématiques modernes : la rigueur n'est pas toujours à la hauteur des canons actuels mais la méthode consistant à partir d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les Éléments durent leur succès à leur supériorité d'organisation, de systématisation et de logique mais pas d'exhaustivité (ni de conique, ni de résolution par neusis ou ajustement). La géométrie telle que définie par Euclide dans ce texte fut considérée comme la géométrie pendant des siècles, et fut difficile à expugner de ce rôle ; Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky fut le premier à s'y essayer officiellement dès 1826, suivi de János Bolyai, mais la légende veut qu'il n'ait pas été pris au sérieux jusqu'à la mort de Gauss, lorsque l'on découvrit parmi ses papiers qu'il avait aussi songé à des géométries non euclidiennes ! Depuis, l'existence d'une grande variété de géométries distinctes, mais toutes aussi valables est communément admise. Euclide est aussi l'auteur des Données, de L'optique et la catoptrique et d'un livre perdu sur les coniques.

Voir aussi

Liens internes

- Division euclidienne
- Géométrie euclidienne

Liens externes

Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide (1632, traduction en vieux français) Catégorie:Mathématicien de la Grèce antique Catégorie:Philosophe grec ja:エウクレイデス ko:유클리드

Règle

ja:定規 Le terme règle désigne plusieurs choses : zh:尺
- Un instrument servant à tracer des traits droits (en général en bois, métal ou plexiglas), et, s'il est gradué, à mesurer des longueurs (si la règle fait 20 cm, on parle de « double-décimètre ») ;
Pour tracer une ligne droite, nous apposons la règle sur une surface en joignant certains points avec un bord de la règle; et nous laissons glisser contre ce bord, la pointe d’un stylo ou de tout instrument de traçage. De cette façon, la forme du bord est transférée en ligne sur la surface.
Les règles modernes comprennent généralement une échelle, avec laquelle des longueurs peuvent être mesurées par comparaison.
En mathématiques, lorsque nous parlons de constructions géométriques à la règle et au compas, nous faisons référence à une règle sans marque et sa propre longueur ne peut être utilisée pour effectuer des mesures rudimentaires. Voir la trisection de l'angle.
- Au pluriel, les menstruations, écoulement de sang par le vagin chez les femmes en âge de procréer ;
- La règle désigne aussi le règlement qui organise la vie monastique ; par exemple la règle de saint Benoît ; voir aussi Clergé régulier.
- Dans un jeu, les règles sont les conventions adoptées par les joueurs et qui définissent le jeu.

Cercle

Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond ». Pour la plupart des gens, de nombreuses formes plus ou moins régulières sont représentées par un cercle : une roue, la circonférence d'un arbre, le tour de la Terre (bien que celle-ci soit aplatie aux pôles), les orbites des satellites autour de la Terre, des planètes autour du Soleil (bien que ces orbites soient en fait des ellipses)...

Géométrie

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque. Dans un espace euclidien, il s'agit du rond que tout le monde associe au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Nous nous placerons pour la suite dans le cas d'un espace euclidien. cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé
Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité. cCercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus
Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts). Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle. représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

Définitions

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points. On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur dun rayon est évidemment le rayon r du cercle. Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r. définition d'objets géométriques liés au cercle
Définition d'objets géométriques liés au cercle
Propriétés géométriques du cercle
Voici en vrac quelques propriétés géométriques du cercle.
Mesures

- Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2.π.r.
- L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut π.r² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Tangente

- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. : Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir). tangente perpendiculaire au rayon
Tangente perpendiculaire au rayon
Médiatrice

- On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. :Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices. la médiatrice d'une corde passe par le centre
La médiatrice d'une corde passe par le centre
- On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle

- Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B. : Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès. triangle rectangle inscrit dans un cercle
Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Angle inscrit, angle au centre

- Prenons deux points distincts poop et caca du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a : $\widehat = 2 \cdot \widehat$ : Pour l'angle au centre $\widehat$ , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. : Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland. illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
- si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM² - R²
- si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² - R². Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.
Équations
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est : : (x-a)² + (y-b)² = r² cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc : x² + y² = 1. Ceci donne l'équation cartésienne du cercle : : $y = b \pm \sqrt$ . L'équation paramétrique du cercle est : x = a + r.cos(θ) : y = b + r.sin(θ) soit pour le cercle trigonométrique : x = cos(θ) : y = sin(θ)
Conique
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône). un cercle est une section droite d'un cône
Un cercle est une section droite d'un cône
Voir aussi
sphère (3 dimensions).
Société
Un cercle désigne un petit groupe de personnes librement associées et fait généralement référence à :
- une égalité des droits dans le groupe.
- le caractère d'exclusivité de l'appartenence à une telle structure. On parle parfois de club. Par exemple, le Cercle des poètes disparus (Dead Poets Society, film de Peter Weir).
Expression

- C'est la quadrature du cercle : se dit d'un problème insoluble, en référence à un problème mathématique classique, dont on a montré en 1882 qu'il n'avait pas de solution.
Cercle vicieux, cercle vertueux
Effet d'accumulation d'un effet négatif ou bénéfique parce que l'effet devient cause à son tour. Par exemple l'expérience montre que plus on « fait la gueule » plus on rencontre des personnes qui font de même. À l'inverse, plus on sourit plus le monde autour de soi est souriant. On dit aussi effet boule de neige, spirale vicieuse ou spirale vertueuse. Catégorie:Courbe Catégorie:Géométrie ja:円 (数学) simple:Circle

Mètre

utilisé comme prototype du mètre de 1889 à 1960]] Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde.

Histoire

Le mètre est un enfant de l'esprit des Lumières et de la Révolution française. Auparavant, les longueurs étaient mesurées en référence à l'humain (le pouce, le pied, la toise) ; comme chaque être humain est différent, on prenait souvent comme référence le souverain, ce qui était un symbole monarchique fort. Il fut donc décidé, afin de supprimer toute référence à un homme particulier et pour faciliter la diffusion du savoir, de choisir un étalon non-humain unique, et d'utiliser des multiples et sous-multiples de 10. Exit ainsi le pied qui valait 12 pouces et la verge qui valait 3 pieds. Le mètre fut défini pour la première fois en 1791 par l'Académie des Sciences comme étant la dix-millionième partie d'un quart de méridien terrestre. Il fut adopté par la France le 7 avril 1795 comme mesure de longueur officielle. Quelques années plus tard, en 1799, un mètre étalon en platine fut créé à partir de cette définition et devint la référence. De février 1796 à décembre 1797, la Convention fit placer dans Paris seize mètres-étalons gravés dans du marbre pour familiariser la population avec la nouvelle mesure. Aujourd'hui, il n'en subsiste que deux : l'un est au 36 de la rue de Vaugirard, à droite de l'entrée ; l'autre, replacé en 1848, est au 13 de la place Vendôme, à gauche de l'entrée du ministère de la Justice. En juin 1792 Jean-Baptiste Delambre est chargé de mesurer la distance entre Dunkerque et Rodez pendant que Pierre Méchain mesure celle de Rodez à Barcelone. Cela permettra d'établir précisément la valeur du mètre. En 1793, à Montjouy a Barcelone, Méchain détecte une incohérence entre les longueurs relevées et le relevé astronomique de la position des étoiles. La guerre franco-espagnole l'empêche de réitérer ses mesures. Cet écart (qui n'était en fait pas dû à une erreur de manipulation mais à l'incertitude des instruments utilisés) le plonge dans un profond trouble et il met tout en œuvre pour éviter de devoir rendre compte de ses travaux à Paris. En 1799, il se résigne à se rendre à une conférence internationale qui salue son œuvre scientifique. Il maquille alors ses résultats, ce qui rendra le mètre trop court de 0,2 mm. La « fraude » ne sera découverte par Delambre qu'en 1806, années ou il ré-étudiera l'ensemble des résultats lors de la rédaction de Base du système métrique. En 1889, le Bureau des poids et mesures redéfinit le mètre comme étant la distance entre deux points sur une barre d'un alliage de platine-iridium. Cette barre est toujours conservée à Sèvres en France. En 1960, grâce à l'avènement des lasers, la 11 Conférence générale des poids et mesures (CGPM) définit le mètre comme 1 650 765,73 longueurs d'onde d'une radiation orangée émise par l'isotope 86 du krypton. Enfin la conférence de 1983 se fonda sur la lumière et redéfinit le mètre comme étant la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde. La vitesse de la lumière dans le vide étant la même en tout point (selon la théorie de la relativité), c'est une définition plus facile à communiquer et universelle. C'est surtout une distance plus facile à mesurer qu'une distance entre deux points, la seconde étant l'unité du Système international (SI) la mieux mesurée.

Relation avec d'autres unités de mesures

Il existe une corrélation entre l'unité de mesure (mètre), l'unité de masse (kilogramme), les unités de surface (mètre-carré) et les unités de volume (mètre-cube ou litre, utilisé souvent pour désigner le volume des liquides).
- Un mètre-carré (m²) est la surface d'un carré dont chaque côté mesure un mètre
- Un mètre-cube (m³) est le volume d'un cube dont chaque côté mesure un mètre

Quelques points de repères

- Un homme adulte mesure environ 1,70 mètre.
- La taille d'un pied est d'environ 0,30 mètre.
- On parcourt environ 5 000 mètres en une heure de marche.
- Un grand pas fait plus ou moins un mètre.

Multiples

Décamètre

- 1 dam = 10 m Cette unité est adaptée au calcul de la superficie d'un terrain, par le biais de l'are, superficie d'un carré d'un décamètre de côté.

Hectomètre

- 1 hm = 100 m

Kilomètre

- 1 km = 1 000 m C'est le multiple du mètre le plus fréquemment utilisé pour mesurer les distances terrestres (comme par exemple entre les villes). Le long des routes, les bornes kilométriques sont placées tous les kilomètres.

Mégamètre

- 1 Mm = 10⁶ m

Gigamètre

- 1 Gm = 10⁹ m C'est un multiple du mètre utilisé pour mesurer les distances interplanétaires courtes, par exemple entre une planète et ses satellites naturels. La Lune orbite à 0,384 gigamètre de la Terre.

Téramètre

- 1 Tm = 10¹² m C'est un multiple du mètre utilisé pour mesurer les grandes distances interplanétaires. Par exemple la planète Pluton orbite à une moyenne de 5,9 téramètres du Soleil.

Pétamètre

- 1 Pm = 10¹⁵ m Une année-lumière vaut environ 9,46 Pm.

Examètre

- 1 Em = 10¹⁸ m C'est une distance interstellaire typique dans la périphérie galactique.

Zettamètre

- 1 Zm = 10 ²¹ m Notre galaxie mesure quelques zettamètres de diamètre.

Yottamètre

- 1 Ym = 10²⁴ m C'est une bonne unité de mesure des distances intergalactiques.

Sous-multiples

Décimètre

- 1 dm = 0,1 m Au cours du XX siècle, la règle graduée standard des écoliers était le double-décimètre et les programmes scolaires se référaient à cette appellation.

Centimètre

- 1 cm = 0,01 m Le centimètre est une des unités de base du système CGS : voir centimètre.

Millimètre

- 1 mm = 0,001 m Une représentation graphique manuelle précise nécessite l'utilisation de papier millimétré.

Micromètre

- 1 µm = 10^-6 m Le micromètre était autrefois appelé micron (symbole : µ). L'utilisation du micron a été interdite par la 13 CGPM en 1968.

Nanomètre

- 1 nm = 10^-9 m

Angström

- 1 Å = 10 ^-10 m Attention cette mesure ne fait pas partie du système international ... Pour en savoir plus : Angström

Picomètre

- 1 pm = 10^-12 m

Femtomètre

- 1 fm = 10^-15 m Le femtomètre fut d'abord nommé fermi en l'honneur du physicien italien Enrico Fermi (le fermi comme tel ne fait pas partie du Système international). Le femtomètre est fréquemment utilisé pour mesurer le diamètre d'un noyau atomique. Le diamètre d'un noyau atomique peut aller jusqu'à 15 fm. Le neutron et le proton ont un diamètre d'environ 2,5 fm.

Attomètre

- 1 am = 10^-18 m

Zeptomètre

- 1 zm = 10^-21 m

Yoctomètre

- 1 ym = 10^-24 m L'unité tombe dans le « vide » séparant la longueur de Planck (~4×10^-11 ym) des longueurs significatives.

Voir aussi

Articles connexes

- Unités de longueur
- Système international d'unités
- Unité de base du système international
- Préfixe du système international
- Ordre de grandeur

Liens externes

- [http://www.industrie.gouv.fr/metro/aquoisert/metre.htm histoire du mètre], par le Ministère de l'Économie, des Finances et de l'Industrie de France
- [http://histoire.du.metre.free.fr/ L'Histoire du Mètre], site complet sur l'histoire du mètre, de la Révolution à nos jours
- [http://www.bipm.fr/fr/convention/ La convention du mètre] qui instituera le BIPM, institution initiatrice du système international Metre Metre ja:メートル ko:미터 ms:Meter simple:Metre th:เมตร

Infiniment petit

En analyse non standard, un réel infiniment petit (on dit aussi infinitésimal) est un nombre inférieur en valeur absolue à tout réel standard strictement positif.

Cercle

Géométrie

Définitions

Euclide

Voir aussi

Liens internes

- Division euclidienne
- Géométrie euclidienne

Liens externes

Triangle

En géométrie, un triangle se définit rigoureusement sur une surface comme une figure fermée à trois côtés, ces trois côtés étant des arcs de géodésiques de cette surface. Cette surface peut être entre autres sphérique, hyperbolique ou plane, et les triangles correspondants sont dits sphériques, hyperboliques ou plans. Ce dernier cas a cependant une telle importance pratique qu'en l'absence d'autre précision, un triangle est en fait toujours un triangle plan. C'est donc un polygone à trois côtés. Trois points non alignés (les sommets) suffisent à définir un triangle (à propos de la détermination d'un triangle d'un voir aussi Résolution d'un triangle).

Typologie des triangles

Les triangles peuvent être classés de deux manières :

Suivant leurs symétries

Suivant leurs angles

Rappelons qu'un angle est :
- droit s'il vaut un quart de tour ou 90 ° ou π/2 radians ;
- aigu s'il est plus petit qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut moins de 90 ° ;
- obtus s'il est plus grand qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut plus de 90 °. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180 ° (ou π radians) (voir ci-dessous Propriétés en géométrie euclidienne), un triangle ne peut pas comporter deux angles droits ou obtus. Il a au moins deux angles aigus. Suivant la mesure de son troisième angle, il est :

Triangles particuliers

Triangle 3-4-5

left C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression (3, 4, 5). Il est facile à réaliser avec trois cordes : il permet donc de tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi triangle des arpenteurs.

Triangle 30-60-90

right C'est un triangle rectangle dont les angles font 30 °, 60 ° et 90 °, c'est-à-dire forment une progression (1, 2, 3). Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » ou « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

Demi-carré

Le découpage précédent peut se généraliser à tout triangle isocèle, à condition de couper suivant l'axe de symétrie. Les deux triangles rectangles obtenus peuvent être recollés le long de leur deux autres côtés adjacents à l'angle droit. À tout triangle isocèle obtusangle se trouve ainsi associé un triangle isocèle acutangle et vice-versa. Si le triangle de départ était rectangle, le triangle obtenu est alors identique, et les deux morceaux intermédiaires ont d'ailleurs eux aussi la même forme. Si ces derniers sont recollés suivant leur hypoténuse, on obtient un carré, d'où le nom de demi-carré donné à ces triangles. Un demi-carré est donc un triangle isocèle et rectangle ; les deux angles aigus d'un tel triangle valent 45 ° (ou π/4 rad).

Définitions dérivées

On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé, en minuscules : a = BC, b = AC, c = AB.

objets géométriques liés aux triangles
Objets géométriques liés aux triangles

Cercles liés à un triangle

- Un théorème de géométrie plane affirme que : ::Par trois points non alignés passe un cercle et un seul. : Il existe donc un unique cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Il est appelé cercle circonscrit au triangle. Le triangle est alors dit « inscrit » dans le cercle circonscrit.
- De même, il existe un et un seul cercle contenu dans un triangle et tangent à ses trois côtés. Il est appelé cercle inscrit dans le triangle. Le triangle est alors « circonscrit » au cercle inscrit.
- Le cercle inscrit n'est pas le seul cercle tangent au triangle, c'est-à-dire à ses trois côtés. Si ces derniers sont prolongés, il apparait trois autres possibilités extérieures au triangle, les cercles exinscrits.

Segments liés à un triangle

- Un triangle a trois hauteurs, une par sommet. Si nous notons H le projeté orthogonal d'un sommet S sur son côté opposé ( ou plus exactement sur la droite support de ce côté ), alors la hauteur du sommet S est le segment SH ; il matérialise la distance « h » qui sépare ce sommet du côté opposé.
- Un triangle a trois médianes, une par sommet. Chaque médiane relie un sommet au milieu de son côté opposé.
- Un triangle a trois médiatrices, une par côté. La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu ; c'est aussi le lieu des points situés à égale distance des extrémités du côté.
- Un triangle a trois bissectrices, une par angle. La bissectrice d'un angle est la droite divisant le secteur angulaire en deux secteurs angulaires de même angle ; les points de la bissectrice sont à égale distance des côtés adjacents au sommet concerné. Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les segments indiqués ci-dessus, mais aussi les droites qui les supportent.

la somme des angles d'un triangles est l'angle plat
La somme des mesures des angles
d'un triangle vaut 180°

Propriétés en géométrie euclidienne

Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).
- La somme des mesures des angles est égale à 180 ° (ou π rad). : Ceci se voit aisément en traçant les parallèles aux côtés en un point (ce qui est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32). On déduit ainsi que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou π/3 rad).

le triangle rectangle est un demi-rectangle
Le triangle rectangle est un demi-rectangle

- Si ABC est un triangle rectangle en A, et que b et c sont les longueurs des côtés adjacents à A, alors l'aire du triangle est b.c/2. :ABC est la moitié d'un rectangle.
- Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [BH], H étant le projeté orthogonal de B sur (AC)) et b est la longueur du segment [AC], alors l'aire du triangle vaut B.h/2. :Si H est à l'intérieur de [AC], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires. :Voir aussi l'article Aire de surfaces usuelles. Voir la figure de la section Définitions dérivées.
- Les hauteurs issues des 3 sommets sont concourantes, et leur point de concours H est appelé orthocentre du triangle.
- Les 3 médianes (AA' ) , (BB' ) et (CC' ) sont concourantes, et leur point de concours G est le centre de gravité du triangle. :Il vérifie GA = 2GA' , GB = 2GB' et GC = 2GC' .
- Les médiatrices des 3 côtés sont concourantes, et leur point de concours O est le centre du cercle circonscrit. :On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.
- On note que les trois points H, G et O sont alignés. La droite ainsi définie s'appelle la droite d'Euler.
- Les bissectrices des 3 angles sont concourantes, et leur point de concours I est le centre du cercle inscrit.

les centres de tous les cercles tangents à deux droites sécantes sont sur la bissectrice
Les centres de tous les cercles tangents à deux droites sécantes
sont sur une des deux bissectrices

: Les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droites, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.
- Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit : :BC² = AC² + AB² Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration

médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle
Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle

- Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [BC], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse. : Commençons par une démonstration purement géométrique : :: Par définition de la médiane, M est le milieu de [BC] . :: Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD . :: Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, :: donc M , milieu de [BC] , est aussi celui de [AD] . :: Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC :: et AM = AD / 2 = BC / 2 . : Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs : :: $\vec = \vec + \vec / 2 \,$ et $\vec = \vec + \vec\,$ , d'où : $\vec = (\vec + \vec) / 2 \,$ , :: Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc : AM² = (AB² + AC²)/4 :: D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient : BC² = AB² + AC² :: Et finalement : AM = BC / 2 : Ceci permet de montrer que A, B et C se trouvent sur un cercle de centre M , et dont [BC] est un diamètre . : (voir aussi les propriétés du cercle)

polyèdres à faces triangulaires
Polyèdres à faces triangulaires

- Théorème des milieux : une droite passant par les milieux de deux des côtés (dite droite des milieux) est parallèle au troisième côté ; c'est en fait un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.
- En géométrie dans l'espace, trois points non alignés suffisent à définir un plan, donc un triangle situé dans ce plan. Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit côtés, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...
Propriétés en géométrie non euclidienne
Cette fois, la somme des angles d'un triangle est différente de 180°. Un triangle sphérique à en effet une somme de ses angles supérieure à 180°
Métrique du triangle
Notations : :p désigne le demi-périmètre du triangle : p = ( a + b + c ) / 2 :S désigne la surface du triangle :R désigne le rayon du cercle circonscrit :h désigne la hauteur relative au coté BC de longueur a :r désigne le rayon du cercle inscrit
- $S=\fracbc\sin\hat A=\sqrt$ (Formule de Héron)
- $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A$ (Théorème d'Al-Kashi, ou Théorème de Pythagore généralisé)
- $\frac=\frac=\frac=\frac=2R$ (formule « des sinus ») : Avec $\hat A + \hat B + \hat C = \pi$ , les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation en géodésie et astronomie.
- $S=\frac=pr=\frac$
Symbolique
Cette figure est particulièrement intéressante, car toute forme aux contours brisés ( c'est-à-dire dont le contour est constitué de traits droits ) peut être découpée en triangles ; si l'on connaît les propriétés des triangles, on peut en déduire les propriétés de cette figure quelconque. Si la figure a un contour courbe, on peut l'approcher par une ligne brisée et se reporter au cas précédent. Le triangle est également le symbole de la stabilité, utilisé par exemple dans le symbole de la Sécurité civile. C'est le profil spontané que prend un tas de sable ou de gravier. Il est de ce fait à la base des constructions traditionnelles ( hutte, tipi, wigwam,...) et a été largement adopté par les architectes : c'est le profil des pyramides égyptiennes, mais aussi celui des toitures, des flèches de cathédrale... Il symbolise également la trinité de la religion catholique. Il est repris dans ce sens dans l'imagerie de la franc-maçonnerie. Outre cette stabilité verticale, on peut aussi remarquer qu'un tabouret à trois pieds n'est jamais bancal : le triangle représente aussi la stabilité horizontale. En fait, trois point sont toujours sur un même plan ( on peut mettre une plaque parfaitement plane en contact avec les trois pieds ), alors que si l'on ajoute un quatrième point, il peut être au-dessus ou en dessous de ce plan. Ainsi, une des positions de travail stable est la position dite du trépied ( un genou au sol, l'autre relevé ) ; c'est la figure formée par les roues et la béquille d'un vélo ; en premiers secours, la stabilité de la position latérale de sécurité (PLS) est assurée par deux triangles, l'un formé par l'avant-bras posé au sol et la main sous la tête, l'autre formé par la partie du bassin posée au sol, le genou de la jambe pliée et le pied de la jambe allongée. C'est aussi cette propriété de planéité qui fait qu'en informatique pour la synthèse d'images 3D, ou en CAO lors de calculs par éléments finis, les surfaces sont décomposées en triangles. Le triangle est aussi le profil de la pointe de flèche, le symbole de la direction, de la détermination, de la pénétration. C'est le profil de l'aile d'un deltaplane ou du Concorde. Dans certaines sociétés traditionnelles, c'est le symbole de la femme, car c'est la forme de la pilosité pubienne ; par exemple, le foyer (feu) entretenu par la femme est constitué de trois pierres.
Autres sens

- Le commerce triangulaire concerne la traite des esclaves échangés contre des marchandises qui sont ensuite ramenées en Europe.
- Une triangulaire lors d'élections est la présence de trois candidats pour un même poste.
- Le triangle amoureux est une situation fréquente au cinéma ou en littérature lorsqu'un couple est associé à un rival (ou une rivale).
Voir aussi

- Résolution d'un triangle
- Liste des éléments remarquables d'un triangle Catégorie:Polygone ja:三角形 ko:삼각형 th:รูปสามเหลี่ยม

Trapèze

catégorie:Géométrie Un trapèze est un quadrilatère, polygone à quatre côtés, possédant deux côtés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés petite base et grande base.

Propriétés

On réserve généralement la dénomination trapèze aux quadrilatères convexes tels que ABCD ci-dessous (dont les côtés AB et CD sont parallèles), mais la définition première conduit à accepter également le quadrilatère ABDC de la figure ci-dessous. image:geometrie_trapeze.png
Exemple de trapèze Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180 degrés ou π radians. La somme des deux autres angles est alors la même.

Cas particuliers

- Un trapèze est qualifié de rectangle dès qu’il possède un angle droit. (C’est alors un trapèze rectangle, qui est parfois mais pas toujours un rectangle tout court avec quatre angles droits.)
- Un trapèze est qualifié d’isocèle lorsque les deux angles adjacents à une même base sont égaux. Les deux bases du trapèze ont alors la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze.
- Un trapèze convexe dont les

Aire du trapèze

L’aire du trapèze convexe vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases. Ceci peut se démontrer facilement en remarquant que le trapèze est un rectangle auquel on accole deux triangles.

Méthode des trapèzes

::Article principal : Méthode des trapèzes La méthode d’intégration approchée, dite des trapèzes, décrite par Isaac Newton et son élève Roger Cotes, consiste à remplacer les arcs de courbe successifs M_iM_i+1 par les segments [M_iM_i+1] : c'est une interpolation linéaire. La méthode des trapèzes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann, consistant à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier. ----

Sens non mathématiques

En anatomie, le trapèze désigne aussi bien un muscle du dos qu’un os de la main, ainsi dénommés pour leur forme. Le trapèze désigne aussi un appareil de gymnastique ou de voltige.

Losange

Un losange est un quadrilatère (polygone à 4 côtés) particulier : c'est un parallélogramme ayant les côtés de même longueur. Par conséquence, ses côtés sont parallèles deux à deux, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Un carré est un losange particulier (ses angles sont droits). Si a et b sont les longueurs des diagonales, alors l'aire du losange est : :A = 1/2 × a × b en effet, les diagonales définissent quatre triangles rectangles qu'il suffit de réagencer pour avoir un rectangle dont les côtés sont a/2 et b (par exemple) ; on applique alors la formule donnant l'aire du rectangle. Image:losange aire.png Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges. Catégorie:Géométrie

Polygone

Un polygone — du grec ancien polus, nombreux, et gónia, angles — est une figure géométrique fermée, formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le suivant, délimitant ainsi un contour polygonal fermé.

Définitions

Vocabulaire de base

Soient A₁, A₂, A₃, ... A_n, n points d'un espace géométrique. On appelle alors polygone la figure notée « A₁A₂A₃...A_n » et constituée par la suite des n segments : [ A₁A₂ ], [ A₂A₃ ], ... [ A_n-1A_n ] et [ A_nA₁ ]. Chaque segment est un côté du polygone, et chaque point A_i un sommet. A chaque sommet est associé un angle, l'angle entre les deux côtés qui y aboutissent. Le nombre n des sommets, des angles ou des côtés est appelé ordre du polygone. Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. On peut aussi parler de l' aire d'un polygone, mais cette notion n'a de sens que pour un polygone non-croisé ( voir plus bas ), et il s'agit de surcroît d'un abus de langage : c'est en fait l'aire de la surface enclose par le polygone. La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom particulier, mais vaut dans le cas convexe ( voir plus bas ) ( n - 2 ) π radians, où n est l'ordre du polygone. Pour le démontrer, prenez un point à l'intérieur du polygone; reliez-y tous les sommets, vous obtenez un découpage du polygone en n triangles; sachant que la somme des angles d'un triangle vaut π radians, celle des n triangles vaut n.π radians; en y retirant la somme des angles autour du point central commun aux n triangles, qui vaut 2 π radians, il reste alors juste la valeur cherchée. Enfin, en géométrie euclidienne, on ne considère que les polygones inscrits dans un plan. C'est ce que nous ferons dans la suite de cet article.

Dénomination des polygones

Le polygone le plus élémentaire a trois côtés : c'est le triangle.
Vient ensuite le quadrilatère avec quatre côtés.
À partir de cinq côtés le nom des polygones est formé d'une racine grecque correspondant au nombre de côtés et du suffixe gone signifiant angle.
Au delà de douze côtés, on a coutume de parler d'un polygone à n côtés où n est remplacé par le nombre souhaité.
Il existe cependant quelques dénominations anciennes pour des nombres ronds comme vingt (icosagone), cent (hectagone) et dix mille (myriagone).
On pourrait théoriquement former des mots comme heptakaiennéacontagone pour un polygone à quatre-vingt-dix-sept côtés mais c'est anecdotique et un peu pédant.
- polygone à 3 côtés : trigone, triangle ;
- polygone à 4 côtés : tetragone, quadrilatère ;
- polygone à 5 côtés : pentagone ;
- polygone à 6 côtés : hexagone ;
- polygone à 7 côtés : heptagone ;
- polygone à 8 côtés : octogone ;
- polygone à 9 côtés : ennéagone, nonagone ;
- polygone à 10 côtés : décagone ;
- polygone à 11 côtés : hendécagone ;
- polygone à 12 côtés : dodécagone ;
- polygone à 13 côtés : triskaidécagone ("kai" signifie "plus"), tridécagone ;
- polygone à 14 côtés : tétrakaidécagone, tétradécagone ;
- polygone à 15 côtés : pentakaidécagone, pentadécagone, quidécagone ;
- polygone à 16 côtés : hexakaidécagone, hexadécagone ;
- polygone à 17 côtés : heptakaidécagone, heptadécagone ;
- polygone à 18 côtés : octakaidécagone, octadécagone ;
- polygone à 19 côtés : ennéakaidécagone, ennéadécagone ;
- polygone à 20 côtés : icosagone ;
- polygone à 21 côtés : icosikaihenagone, henicosagone ;
- polygone à 22 côtés : icosikaidigone, doicosagone ;
- polygone à 23 côtés : icosikaitrigone, triaicosagone ;
- polygone à 24 côtés : icosikaitétragone, tetraicosagone ;
- polygone à 25 côtés : icosikaipentagone, pentaicosagone ;
- polygone à 26 côtés : icosikaihexagone, hexaicosagone ;
- polygone à 27 côtés : icosikaiheptagone, heptaicosagone ;
- polygone à 28 côtés : icosikaioctagone, octaicosagone ;
- polygone à 29 côtés : icosikaiennéagone, ennéaicosagone ;
- polygone à 30 côtés : triacontagone ("conta" = "dizaine") ;
- polygone à 31 côtés : triacontakaihenagone, hentriacontagone ;
- polygone à 32 côtés : triacontakaidigone, dotriacontagone ;
- polygone à 33 côtés : triacontakaitrigone, tritriacontagone ;
- polygone à 34 côtés : triacontakaitétragone, tetratriacontagone ;
- polygone à 35 côtés : triacontakaipentagone, pentatriacontagone ;
- polygone à 36 côtés : triacontakaihexagone, hexatriacontagone ;
- polygone à 37 côtés : triacontakaiheptagone, heptatriacontagone ;
- polygone à 38 côtés : triacontakaioctogone, octatriacontagone ;
- polygone à 39 côtés : triacontakaiennégone, ennéatriacontagone ;
- polygone à 40 côtés : tétracontagone ;
- polygone à 50 côtés : pentacontagone ;
- polygone à 60 côtés : hexacontagone ;
- polygone à 70 côtés : heptacontagone ;
- polygone à 80 côtés : octacontagone ;
- polygone à 90 côtés : ennéacontagone ;
- polygone à 100 côtés : hectogone, hecatontagone ;
- polygone à 1000 côtés : chiliagone ;
- polygone à 10000 côtés : myriagone. Les mêmes principes de dénomination s'appliquent aux polyèdres, en remplaçant la terminaison en -gone par une terminaison en -èdre.

Typologie des polygones

polyèdre Il existe plusieurs manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles, ...

Classement par convexité

Notion de diagonale

On appelle diagonale d'un polygone tout segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire tout segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone. Exemple : les segments

[AC]

[AD]

[BD]

[BE]

[CE]

sont les 5 diagonales du pentagone

ABCDE

ci-contre. polyèdre

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire qu'ils se coupent. C'est le cas du pentagone

ABCDE

ci-contre à droite qui est de plus étoilé.

Polygone convexe

Un polygone est dit convexe si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. L'hexagone MNOPQR ci-contre à gauche est convexe. hexagone

Polygone concave

Un polygone est dit concave si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Exemple : le pentagone ACDBE ci-contre à droite est concave car les diagonales

[CB]

[CE]

sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités ( appelées symétries ) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que rotations ou symétries. L' élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :
- pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
- pour une symétrie par rapport à un axe, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
- pour une rotation, l'élément de symétrie est l'axe de rotation ( en fait, pour être exact, il s'agit plutôt de l'intersection de cet axe avec le plan où se trouve le polygone ). Dans le cas d'une rotation, il faut préciser l'angle de cette rotation ou son ordre, sachant que le produit de l'angle de la rotation par son ordre est toujours égal à 2 π radians ( ou 1 tour ou 360° ...) On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux. On dit qu'un polygone ( ou plus généralement toute figure de géométrie ) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante. Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Ce point, s'il existe, est appelé centre du polygone.

Polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés. Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2 π / n , où n est le nombre de ses côtés. Il présente donc la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation. Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur ( et les angles la même mesure ). Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux ( ou ses angles égaux ), alors il est régulier. Exemples et contre-exemples :
- Le triangle équilatéral est un polygone régulier.
- Le carré est un polygone régulier.
- Un losange non carré n'est pas régulier (il n'est pas inscrit dans un cercle). Propriété : :Soit

A_1 A_2 A_3  A_n \,

un polygone régulier à n côtés inscrit sur un cercle de centre O, alors on a :

mes ( \widehat ) =  \,

( en radians ).

Polygone isocèle

Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir. Les axes-miroir passent nécessairement par les sommets et les milieux des côtés du polygone. Plus précisément :
- si le nombre de côtés du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ;
- si le nombre de côtés est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommts opposés, soit par les milieux de deux côtés opposés. Exemples et contre-exemples :
- le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
- les quadrilatères isocèles convexes sont : :
- le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ; :
- le cerf-volant ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ;
- le losange peut être vu comme un cas particulier de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et donc confondus avec ses diagonales ;
- tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés;
- le parallélogramme n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un rectangle)

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie. Tout polygone centrosymétrique a un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones à nombre pair de sommets peuvent être centrosymétriques. Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur.

Image:parallelogramme.png
Exemple de polygone centrosymétrique

Exemples et contre-exemples :
- les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie.
- les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes.
- les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
- tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n. Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés. Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques. Exemples et contre-exemples :
- un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
- tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
- le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique;
- tout polygone régulier présente par définition un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
- tout polygone d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier.

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie.

Classement par les angles

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit. Exemples et contre-exemples :
- un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus;
- un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre;
- dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents;
- le seul polygone régulier rectangle est le carré.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux. Exemples et contre-exemples :
- le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral;
- les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles;
- tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur. Exemples et contre-exemples :
- tous les polygones réguliers sont équilatéraux;
- les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglais aux polygones inscriptibles. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est inscriptible;
- un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle;
- tout quadrilatère formé de deux triangles rectangles accolés par leur hypotènuse est inscriptible;
- le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle;
- tout polygone régulier est inscriptible;

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle. Les anglais ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone. Exemples et contre-exemples :
- tout triangle est circonscriptible;
- les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges;
- tout polygone régulier est circonscriptible;

Algorithmique des polygones

- Calcul du centre de gravité d'un polygone
- Construction à la règle et au compas
- Théorème de Gauss-Wantzel
- Calcul de l'aire d'un polygone
- Simplification d'un polygone

Voir aussi

- Forme cristalline
- Polyèdre
- Polygone de sustentation
- ja:多角形

Catégorie:Géométrie

Catégorie:Mathématiques ja:Category:幾何学 ko:분류:기하학 zh-min-nan:Category:Kí-hô-ha̍k

Pit

Pit (ang. wgłębienie) - jest to wgłębienie w nośnikach optycznych, takich jak CD, DVD, HD DVD czy Blu-ray. Wiązka lasera jest albo rozpraszana (absorbowana) we wgłębieniu albo odbijana od powierzchni (land). Przy użyciu różnych algorytmów stopień odbicia lub rozproszenia wiązki lasera konwertowany jest na ciąg jedynek i zer. To wgłębienie jest od strony etykiety. Natomiast patrząc od strony lasera zobaczymy wypukłość. Kategoria:Dyski optyczne

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Sveriges Flagga
Sveriges flagga, sång till Sveriges flagga med musik av Hugo Alfvén och text av K. G. Ossiannilsson. Flamma stolt mot dunkla skyar,
likt en glimt av sommarens sol
över Sveriges skogar, berg och byar,
över vatten av viol.
Du som sjunger, när du bredes,
som vår gamla lyckas tolk:
solen lyser! Solen lyser!
Ingen vredes åska slog vårt tappra folk.
Flamma högt, vårt kärlekstecken,

Bibliografi

- Masker (1900)
- Hedningar (1901)
- Örnar (1902)
- Barbarskogen (1908)
- Slätten (1909)
-