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Dernier Théorème De Fermat

Dernier théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls

x

y

z

tels que :

x^n+y^n=z^n \,

où

n

est un entier strictement supérieur à 2. (Pour les premières valeurs de

n

, il existe une infinité de solutions - le cas

n=1

est évident, le cas

n=2

admet notamment la solution classique 4² + 3² = 5² et fait appel à la méthode du cercle). Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de lArithmetica de Diophante, à côté de l'énoncé de ce problème : :J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres. Plus précisément, Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'il impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes… Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le faire tomber, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire qu'il prend une telle valeur. On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.
Remarques

- L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».
- Ce théorème est le sujet du livre « Le Dernier Théorème de Fermat » de Simon Singh, disponible au format poche sous le numéro ISBN 2012789218
- Contrairement à ce qu'on a pu parfois voir dans des journaux ou à la télévision (en raison du type de formule qui y figure), ce théorème n'a strictement aucune relation, quelle qu'elle soit, avec le théorème de Pythagore. Cependant, Fermat s'en est évidemment inspiré. Sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens(triplets d'entiers qui vérifient le théorème de Pythagore, comme (3,4,5)). ---- Pour le cas n = 2, toutes les solutions non triviales sont données par : Si $x=2kml\,$ et $y=k(m^2-l^2)\,$ , alors $z=k(m^2+l^2)\,$ où k entier, m>l, m et l de parités différentes. Ces entiers, que l'on appelle parfois les triplets de Pythagore, permettent entre autres de tracer facilement un triangle rectangle. Fermat-Wiles Fermat-Wiles ja:フェルマーの最終定理 ko:페르마의 마지막 정리 th:ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

Théorie des nombres

Présentation

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Voir par exemple la liste des matières de la théorie des nombres. Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu -- c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.

La théorie élémentaire des nombres

Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci. Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaîssent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches. Tels que les exemples suivants :
- La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
- La conjecture de Catalan concernant les puissances d'entiers successifs,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et
- La conjecture de Syracuse concernant une simple itération. La théorie de l'équation diophantienne a même été montrée comme étant indécidable (voir les Problèmes de Hilbert).

La théorie analytique des nombres

Elle emploie l'outillage du calcul et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver infiniment beaucoup de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approximé par un nombre rationnel.

La théorie algébrique des nombres

Dans ce domaine, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres. Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appelé localisation et mène à la construction des nombres p-adique ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.

La théorie géométrique des nombres

Traditionnellement appelée géométrie des nombres, elle incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.

La théorie calculatoire des nombres

Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Des algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.

Histoire de la théorie des nombres

La théorie des nombres, une étude favorite parmi les Grecs anciens, commence sa renaissance aux 16ième et 17ième siècles par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac, et spécialement Fermat. Au 18ième siècle, Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, et vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798), et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence. Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros. La théorie des congruences a réellement débuté avec les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant : :

a \equiv b \pmod c,

et explora la plus grande partie de ce domaine. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa. A côté du travail résumé précédemment, Legendre établit la loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à en donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller(?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer). On doit aussi à Gauss la représentation des nombres par forme quadratique binaire. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith est due une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith. Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant : :

x^n+y^n=z^n\,\!

. Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent indépendamment le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain. Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier. À la fin du XIXième et au début du , les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines a priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles qui prouvera cette conjecture en 1994 avec l'aide de Richard Taylor, et apportera une réponse définitive au célèbre problème. Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel, Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur), Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est l'un des plus érudits des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.

Citation

La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss

Références

Voir aussi

- Codes correcteurs
- Cryptographie
- Libri-Carucci
- Nombre premier

Liens externes

- [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/ThNbTdeM.htm Initiation à la théorie des nombres] catégorie: Mathématiques catégorie:Théorie des nombres ja:数論 ko:수론 th:ทฤษฎีจำนวน

Théorème de Taniyama-Shimura

Le théorème de Taniyama-Shimura établit une connexion importante entre les courbes elliptiques, qui sont des objets de la géométrie algébrique, et les formes modulaires, qui sont certaines fonctions holomorphes périodiques étudiées en théorie des nombres. Malgré le nom, qui provient de la conjecture de Taniyama-Shimura, le théorème est le travail d'Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, et Richard Taylor. Si p est un nombre premier et E, une courbe elliptique sur

\mathbb\,

(le corps des nombres rationnels), nous pouvons réduire l'équation définissant E modulo p; pour toutes les valeurs, mais de manière finie, de p nous obtiendrons une courbe elliptique sur le corps fini

\mathbb_p\,

, avec

n_p\,

éléments. On peut alors considérer la progression :

a_p = n_p - p\,

, qui est un invariant important de la courbe elliptique E. Chaque forme modulaire donne aussi une progression de nombres, par une transformation de Fourier. Une courbe elliptique dont la progression est en accord avec cela à partir d'une forme modulaire est appelée modulaire. Le théorème de Taniyama-Shimura établit ceci : :"Toutes les courbes elliptiques sur

\mathbb\,

sont modulaires." Ce théorème fut conjecturé en premier par Yutaka Taniyama en septembre 1955. Avec Goro Shimura, il en améliora la rigueur jusqu'en 1957. Taniyama mourut en 1958. Dans les années 60, il devint associé au programme de Langlands d'unification des conjectures en mathématiques, et en fut par conséquent un composant clef. La conjecture fut récupérée et promue par André Weil dans les années 70, et le nom de Weil fut associé avec ce théorème dans certains endroits. En dépit de l'intérêt, certains considéraient qu'il était indémontrable. Il attira un intérêt considérable dans les années 80 lorsque Gerhard Frey suggéra que la conjecture de Taniyama-Shimura (telle quelle était appelée alors) impliquait le dernier théorème de Fermat. Il le fit en essayant de montrer que tout contre-exemple du dernier théorème de Fermat déboucherait sur une courbe elliptique non-modulaire. Ken Ribet démontra plus tard ce résultat. En 1995, Andrew Wiles et Richard Taylor démontrèrent un cas particulier du théorème de Taniyama-Shimura (le cas des courbes elliptiques semi-stables) qui fut suffisamment forte pour fournir une preuve du dernier théorème de Fermat. Le théorème complet de Taniyama-Shimura fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond, et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet. Plusieurs théorèmes de la théorie des nombres similaires au dernier théorème de Fermat découlent du théorème de Taniyama-Shimura. Par exemple : aucun cube ne peut être écrit comme une somme de deux nombres premiers entre eux puissance n,

n \ge 3\,

. (Le cas n = 3 était déjà connu d'Euler.) En mars 1996, Wiles partagea le Prix Wolf avec Robert Langlands. Bien qu'aucun des deux ne fut à l'origine ou n'acheva la démonstration du théorème complet qui fut permise par leurs réalisations, ils furent reconnus comme ayant eu les influences décisives qui ont conduit à ce qu'il soit finalement démontré.

Références

- Henri Darmon : [http://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced], Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. Contient une introduction agréable du théorème et les grandes lignes de la démonstration (en anglais).
- Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations, Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521–567. Contient la démonstration. Taniyama-Shimura ja:谷山・志村定理

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Khassonké
The Khassonké are an ethnic group of Mali's Kayes Region. Descendants of the Peul and Malinké Khasso kingdoms, they speak a language very close to Bambara.

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According to the books, Sto Lat is a sizable walled town in the Sto Plains, although eclipsed enormously both in size and influence by the neighbouring city of Ankh-Morpork. Sto Lat is located about 20 miles from the c

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