:: wikimiki.org ::

Courbe Plane

Courbe plane

Plane, Courbe En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement incluse dans un plan.

Courbes planes classiques

- La droite
- Le cercle
- Le cercle unité
- les cissoïdes :
- La cissoïde de Dioclès
- La cissoïde de Sluze
- Les coniques :
- l'ellipse
- la parabole
- l'hyperbole
- les courbes cycloïdales :
- la cycloïde
- l'épicycloïde
- l'hypocycloïde
- la cardioïde
- la néphroïde
- l'astroïde
- la deltoïde
- Les courbes isochrones :
- L'isochrone de Huygens
- L'isochrone de Leibniz
- L'isochrone paracentrique
- L'isochrone de Varignon
- les lemniscates :
- Le lemniscate de Bernoulli
- Le lemniscate de Gerono
- Le lemniscate de Booth
- Les spirales :
- La spirale d'Archimède
- La spirale hyperbolique
- La spirale logarithmique
- La spirale de Fermat
- La spirale de Nielsen
- La spirale de Cotes
- La spirale de Galilée
- la sinusoïde
- l'exponentielle
- l' atriphtaloïde
- la chaînette
- Le folium de Descartes
- l' hélice
- les conchoïdes
- le limaçon de Pascal
- La lituus
- Les pétales de rose
- La strophoïde
- La superellipse
- la tractrice
- La trisectrice de Maclaurin
- la courbe du chien
- les courbes enveloppes
- les courbes développantes

Constructions

- La courbe du dragon
- Le flocon de Koch
- Les courbes de Bézier
- Les splines

Courbes analytiques

- Courbe fermée
- Courbe rectifiable
- Courbe de Jordan
- Courbe de Peano
- Courbe de Sierpinski

Courbes algébriques

Une courbe algébrique est une variété algébrique de dimension 1, généralement exprimée sous la forme d'un polynôme de degré divers. Des exemples incluent :
- Les droites projectives
- Les courbes quadriques, autre nom des coniques, de degré 2
- Les courbes cubiques, de degré 3
- La cubique d'Agnesi
- Les courbes quartiques, de degré 4
- La courbe de Klein
- Les courbes quintiques, de degré 5
- La quintique de l'Hospital
- Les courbes sextiques, de degré 6
- Les courbes elliptiques
- Les courbes hyperelliptiques
- Les courbes modulaires
- Les courbes de Fermat

Lien externe

[http://www.mathcurve.com Mathcurve] : une encyclopédie des courbes

Catégorie:Courbe

ko:분류:곡선 Catégorie:Géométrie Cette catégorie regroupe les courbes mathématiques.

Plan (mathématiques)

En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille de papier qui s'étend à l'infini. L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan. Dans un espace à trois dimensions et avec un système de coordonnées (x,y,z), on peut définir le plan comme l'ensemble des solutions de l'équation :

ax+by+cz+d=0 \,

où a, b, c et d sont des nombres réels et où a, b et c ne sont pas simultanément nuls. Un plan est uniquement défini par :
- Trois points distincts et non alignés.
- Une droite et un point n'appartenant pas à cette droite.
- Deux droites non confondues et sécantes.
- Deux droites non confondues et parallèles.
- Un point et un vecteur normal. Dans un espace en trois dimensions, soit deux plans distincts sont parallèles, soit leur intersection forme une droite.

Espace affine de dimension n

Dans un espace

\mathbb^

le plan passant par

A(a_1;a_2;...a_n) \,

et de vecteurs

v(v_1;v_2;...;v_n) \,

u(u_1;u_2;...;u_n) \,

est l'ensemble des points

M(x_1;x_2;...;x_n) \,

pour lesquels il existe deux scalaire k et l tel que :

\left\

Cercle

Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond ». Pour la plupart des gens, de nombreuses formes plus ou moins régulières sont représentées par un cercle : une roue, la circonférence d'un arbre, le tour de la Terre (bien que celle-ci soit aplatie aux pôles), les orbites des satellites autour de la Terre, des planètes autour du Soleil (bien que ces orbites soient en fait des ellipses)...

Géométrie

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque. Dans un espace euclidien, il s'agit du rond que tout le monde associe au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Nous nous placerons pour la suite dans le cas d'un espace euclidien. cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité. cCercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts). Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle. représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

Définitions

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points. On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur dun rayon est évidemment le rayon r du cercle. Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r. définition d'objets géométriques liés au cercle Définition d'objets géométriques liés au cercle
Propriétés géométriques du cercle
Voici en vrac quelques propriétés géométriques du cercle.
Mesures
- Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2.π.r. - L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut π.r² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Tangente
- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. : Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir). tangente perpendiculaire au rayon Tangente perpendiculaire au rayon
Médiatrice
- On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. :Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices. la médiatrice d'une corde passe par le centre La médiatrice d'une corde passe par le centre - On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
Cercle et triangle rectangle
- Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B. : Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès. triangle rectangle inscrit dans un cercle Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Angle inscrit, angle au centre
- Prenons deux points distincts poop et caca du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a : $\widehat = 2 \cdot \widehat$ : Pour l'angle au centre $\widehat$ , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. : Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland. illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
- si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM² - R²
- si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² - R². Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.
Équations
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est : : (x-a)² + (y-b)² = r² cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc : x² + y² = 1. Ceci donne l'équation cartésienne du cercle : : $y = b \pm \sqrt$ . L'équation paramétrique du cercle est : x = a + r.cos(θ) : y = b + r.sin(θ) soit pour le cercle trigonométrique : x = cos(θ) : y = sin(θ)
Conique
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône). un cercle est une section droite d'un cône
Un cercle est une section droite d'un cône
Voir aussi
sphère (3 dimensions).
Société
Un cercle désigne un petit groupe de personnes librement associées et fait généralement référence à :
- une égalité des droits dans le groupe.
- le caractère d'exclusivité de l'appartenence à une telle structure. On parle parfois de club. Par exemple, le Cercle des poètes disparus (Dead Poets Society, film de Peter Weir).
Expression

- C'est la quadrature du cercle : se dit d'un problème insoluble, en référence à un problème mathématique classique, dont on a montré en 1882 qu'il n'avait pas de solution.
Cercle vicieux, cercle vertueux
Effet d'accumulation d'un effet négatif ou bénéfique parce que l'effet devient cause à son tour. Par exemple l'expérience montre que plus on « fait la gueule » plus on rencontre des personnes qui font de même. À l'inverse, plus on sourit plus le monde autour de soi est souriant. On dit aussi effet boule de neige, spirale vicieuse ou spirale vertueuse. Catégorie:Courbe Catégorie:Géométrie ja:円 (数学) simple:Circle

Conique

Catégorie:Courbe Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.

Définition purement géométrique

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. cône de révolution Selon les positions relatives du plan et du cône, on obtient différents types de coniques :
- les coniques propres, quand le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe du cône, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône :
- si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse;
- si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole;
- et si les deux angles sont égaux, c'est une parabole.
- les coniques partiellement dégénérées :
- l'intersection est un cercle quand le plan est perpendiculaire à l'axe du cône;
- l'intersection est une hyperbole équilatère quand l'angle d'inclinaison du plan est inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône;
- et les coniques totalement dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône :
- l'intersection est un couple de droites sécantes, si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est inférieur à l'angle d'ouverture du cône ;
- l'intersection est réduite à une droite si ces angles sont égaux.
- enfin elle est réduite à un point si l'angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture.

Définition purement projective

Il s'agit de définir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la règle, le crayon et une poignée d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal: voir traité projectif des coniques

Définition monofocale

La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.

Définition

traité projectif des coniques Dans un plan

P

, on considère une droite

D

et un point

F

non situé sur D. Soit

e

un réel strictement positif. On appelle conique de droite directrice

D

, de foyer

F

et dexcentricité $e$ l'ensemble des points $M$ du plan $P$ vérifiant : : $[1] \qquad \frac = e \qquad e \in\mathbb^ - _+$ où : $d(M,F)$ mesure la distance du point M au point F et : $d(M,D)$ mesure la distance du point M à la droite D
Mise en équation
Soit O la projection orthogonale du point F sur la droite D. Dans le plan P on définit alors le repère orthogonal (O, (OF), D). Soit p la distance de O à F (p s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (p,0). Pour un point M de coordonnées $(x,y)$ on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes : : $[2] \qquad d(M,F) = \sqrt$ : $[3] \qquad d(M,D) = \sqrt$ ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] : : $[4] \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^x^2$ soit après simplification : : $[5] \qquad x^2(1-e^2) + y^2 - 2xp + p^2 = 0$ repère En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :
- Si $0 une ellipse$
- Si $e=1$ une parabole
- Si $e>1$ une hyperbole Les coniques dégénérées s'obtiennent en modifiant les conditions précédentes
- Si F est sur D, on obtient :
- Si $e<1$ le point O ;
- Si $e=1$ la droite D ;
- Si $e>1$ deux droites sécantes ;
- Si $e=0$ , le point F. Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si pe = R et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon R
Définition bifocale
L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers de l'ellipse est constante et égale à une valeur fixée. L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est constante et égale à une valeur fixée. La parabole n'a pas de définition bifocale.
Définition analytique

Cas affine
En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les coordonnées cartésiennes x et y des points sont solution d'une équation polynômiale du second degré, de la forme : : $A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,$ avec l'un au moins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'équation soit effectivement du second degré ( condition (1) ). Suivant le repère utilisé, l'expression de l'équation sera plus ou moins simple, mais restera toujours du second degré. Il est intéressant de chercher le repère dans lequel l'expression de l'équation, dite équation réduite, sera la plus simple. Pour cela, nous pouvons remarquer d'abord qu'il est toujours possible de rendre le coefficient B nul par une rotation du repère. Nous regardons ensuite les coefficients A et C :
- Si le coefficient C est lui aussi nul, A est alors forcément non nul ( condition (1) ), et une translation suivant l'axe des x permet ainsi d'annuler le coefficient D. :
- Si E est nul, en posant p = - F / A , l'équation se réduit à : ::: $x^2 = p \,$ : Suivant le signe de p, nous obtenons 0 à 2 droites parallèles. :
- Si E est non nul, une translation suivant l'axe des y annule F. En posant p = - A / E , nous obtenons l' équation cartésienne réduite d'une PARABOLE : ::: $y = p x^2 \,$
- Si le coefficient A est nul, on obtient la situation symétrique de la précédente où x et y voient leurs rôles échangés. On obtient donc encore : :
- Si D est nul, 0 à 2 droites parallèles, :
- Si D est non nul, une PARABOLE d'équation réduite : ::: $x = q y^2 \,$
- Si les coefficients A et C sont tous les deux non nuls, une translation suivant l'axe des x annule D, et une translation suivant les y annule E. L'équation se réduit donc à : :: $A x^2 + C y^2 = - F \,$ :
- Si A et C sont de même signe : ::- si F est lui aussi du même signe, il n'y a pas de courbe correspondante; ::- si F est nul, la courbe se réduit à un point; ::- si F est de signe opposé, nous pouvons poser a² = - F / A et b² = - F / C ; nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une ELLIPSE : :::: $( x / a )^2 + ( y / b )^2 = 1 \,$ :
- Si A et C sont de signes opposés : ::- si F est nul, la courbe se réduit à 2 droites concourrantes (= qui se croisent); ::- si F est du signe de A, nous pouvons poser a² = F / A et b² = - F / C ; nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une HYPERBOLE : :::: $( x / a )^2 - ( y / b )^2 = 1 \,$ ::- si F est du signe de C, nous pouvons poser a² = - F / A et b² = F / C ; nous parvenons ainsi à l' autre équation cartésienne réduite d'une HYPERBOLE : :::: $( x / a )^2 - ( y / b )^2 = -1 \,$
Cas projectif
En géométrie analytique projective, les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées projectives X, Y et Z qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme : : $A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X Z + E Y Z + F Z^2 = 0 \,$ On peut noter que pour Z = 1, on retrouve l'équation du cas affine. En fait, on a : : $x = X / Z \,$ et $y = Y / Z \,$ Pour classer les coniques projectives, on regarde d'abord leur comportement à l'infini ( présence d'asymptotes ou de branches paraboliques,...). Faire tendre x et y vers l'infini revient à faire tendre Z vers 0. Pour Z = 0, l'équation précédente se réduit à : : $A X^2 + B X Y + C Y^2 = 0 \,$ Cette équation est appelée équations aux directions asymptotiques, car le rapport Y / X donne alors la pente à l'infini de la courbe, c'est-à-dire sa direction asymptotique.
- Si C = 0 : :
- si B = 0 , l'équation a une solution X = 0 de multiplicité double, ce qui correspond à une pente à l'infini infinie, donc à une direction asymptotique verticale double; la courbe est donc soit une parabole d'axe vertical, soit 0 à 2 droites verticales parallèles; :
- si B est non nul, nous obtenons deux directions asymptotiques simples, l'une verticale, l'autre non; la courbe est donc soit une hyperbole, soit 2 droites concourrantes;
- Si C est non nul, en posant t = Y / X, l'équation devient : ::: $A + B t + C t^2 = 0 \,$ :
- si le discriminant de cette équation est strictement positif, nous obtenons 2 directions asymptotiques simples distinctes, et la courbe est soit une hyperbole, soit 2 droites concourrantes; :
- si le discriminant de cette équation est nul, nous obtenons une direction asymptotique double, et la courbe est soit une parabole, soit 0 à 2 droites parallèles; :
- si le discriminant de cette équation est strictement négatif, la courbe n'a pas de direction asymptotique, donc pas de branches infinies, et la courbe, si elle existe, est soit une ellipse, soit un point.
Cas barycentrique
En géométrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées barycentriques λ, μ et ν qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme : : $A_ \lambda^2 + A_ \mu^2 + A_ \nu^2 + 2 A_ \lambda \mu + 2 A_ \mu \nu + 2 A_ \nu \lambda = 0 \,$ On peut identifier cette équation à la précédente, en posant : : $\lambda = X , \ \mu = Y , \ \nu = Z$ On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près : : $A_ = A , \ A_ = C , A_ = F , A_ = B / 2 , A_ = E / 2 , A_ = D / 2 \,$
Voir également

- Théorème de Dandelin ja:円錐曲線

Parabole

Pour la figure de style (rhétorique), voir Parabole (rhétorique). ---- La parabole est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées.

Mathématiques

Section conique

Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône
La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône

Directrice, foyer et excentricité

Soient

D

une droite et

F

un point n'appartenant pas à

D

, et soit P le plan contenant la droite

D

et le point

F

). On appelle parabole de droite directrice

D

et de foyer

F

l'ensemble des points

M

du plan P vérifiant : :

\qquad \frac = 1

où

d(M,F)

mesure la distance du point M au point F et

d(M,D)

mesure la distance du point M à la droite D. C'est donc une conique dont l'excentricité e vaut 1

Équations

Une parabole est une courbe représentative d'un polynôme du second degré :y = a.x² + b.x + c où a, b et c sont des constantes réelles. La parabole dont l'expression mathématique est la plus simple est la courbe y = x².

Applications

Physique

polynôme La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

Ondes hertziennes

Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution. catégorie:Courbe ja:放物線

Hyperbole

L'hyperbole est:
- une figure de rhétorique consistant à amplifier un énoncé. Voir hyperbole (rhétorique).
- une figure géométrique de la famille des coniques. Voir hyperbole (mathématiques). Le terme hyperbole vient du grec hyperbolê, de hyper qui signifie « au-delà », et ballein qui signifie « jeter ».

Cycloïde

ja:サイクロイド Catégorie:Courbe Catégorie:CourbeLa cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la directrice est une droite et dont le point directeur est situé sur le cercle lui-même; c'est un cas particulier de roulette.
Par exemple, la valve d'une roue de vélo avançant en ligne droite décrit une épicycloïde.

Étymologie et histoire

Le mot vient du grec kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, semblable à), bien que cette courbe n'ait pas été connue des Grecs et ne fut baptisée qu'en 1599 par Galilée. Elle fut étudiée pour la première fois au par Nicolas de Cues alors qu'il essayait de déterminer la surface du cercle par intégration. En 1626, Mersenne en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche de cycloïde. Il faudra attendre 1634 pour que son confrère Roberval démontre que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a générée. Descartes, qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial. Galilée, pour sa part, avait étudié ce problème pendant quarante ans mais n'était arrivé au même ratio que par une méthode empirique mettant en jeu des mesures de poids ; il crut d'ailleurs que ce ratio n'était pas entier. La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres ». Après Descartes, Pascal (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule. En 1658, Christopher Wren démontra que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cercle qui l'a générée. En 1673, Christiaan Huygens l'évoqua dans un traité sur le pendule synchrone. Enfin, ses propriétés brachistochrones furent étudiées à partir de 1696 par Jean Bernoulli, puis par Isaac Newton, Leibniz, Jacques Bernoulli et L'Hôpital. Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration du calcul des variations.

Définition mathématique

La courbe peut être définie paramétriquement par l'équation suivante :
:

\left\

Hypocycloïde

Catégorie:Courbe pl:HipocykloidaUne hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.

Étymologie et histoire

Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée, et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »). La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.

Définition mathématique

Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante : :

x(\theta) = (R-r) \cos \theta + r \cos (\frac \theta) \,

y(\theta) = (R-r) \sin \theta - r \sin (\frac \theta) \,

où

R\,

est le rayon du cercle de base et

r\,

celui du cercle roulant. Avec

q=

, cette équation peut donc également s'écrire : :

x(\theta) = r 	\left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta 	\right] \,

y(\theta) = r 	\left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,

Propriétés

La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :
- a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point mobile à sa position de départ,
- b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ. Les points de rebroussements sont obtenus pour

\theta = \frac

. La longueur d'une arche est de

8 \fracR

.
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut

(1+)

fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut

(1-)(1-)

fois celle du cercle de base. Le théorème de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant. Les petites oscillations du pendule de Foucault forment également une hypocycloïde.

Voir aussi

- Lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci on parle alors d'hypotrochoïde, qui est un cas particulier de trochoïde. D'ailleurs, si vous avez cru reconnaître les dessins réalisés avec un spirographe dans les illustrations ci-dessus, vous ne vous êtes pas beaucoup trompé : cet appareil réalise des hypotrochoïdes et non des hypocycloïdes.
- Lorsque le cercle mobile tourne à l'extérieur du cercle directeur, la courbe ainsi dessinée s'appelle alors épicycloïde.
- Si R = 2r, l'hypocycloïde est un diamètre du cercle de base (voir le théorème de La Hire).
- Si R = 3r, l'hypocycloïde est une deltoïde. On obtient une figure identique si R = 3/2 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du diamètre du cercle roulant.
- Si R = 4r, l'hypocycloïde est une astroïde. On obtient une figure identique si R = 4/3 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du segment de longueur constante R dont les extrémités décrivent les axes d'un repère orthonormé.

Liens externes

- [http://www.mathcurve.com/courbes2d/hypocycloid/hypocycloid.shtml Sur le site MathCurve.com]
- [http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/hyp_ep_j.html Une Applet qui permet de jouer avec les paramètres de construction d'une hypocycloïde]

Deltoïde

- Muscle deltoïde
- Courbe géométrique : Deltoïde (courbe)

Isochrone

Isochrone signifie qui se produit à intervalles de temps égaux. Les oscillations d'un pendule ou d'un balancier-spirale sont isochrones lorsque leur durée est indépendante de l'amplitude.

Informatique

En informatique, l'isochronie est la caractéristique d'une transmission où les deux points travaillent en concert. La téléphonie est une application isochrone. Catégorie:Télécommunications

Lemniscate de Bernoulli

La lemniscate de Bernoulli de foyers F et F' est une courbe plane, ensemble des points M vérifiant MF
- MF' = OF². :Elle admet pour équation en coordonnées polaires : ρ² = a²cos2θ :Son équation cartésienne peut se mettre sous la forme (x²+y²)² = a²(x²-y²). Elle fait partie de la famille des lemniscates, dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.
- [http://www.mathcurve.com/courbes2d/lemniscate/lemniscate.shtml Lien externe] Catégorie:Courbe ja:レムニスケート

Spirale

Catégorie:Courbe (voir page de discussion) En mathématiques, une spirale est une courbe plane qui tourne autour d'un point ou d'un axe central en s'en éloignant ou s'en rapprochant de plus en plus selon la manière dont vous suivez la courbe.

Spirale à deux dimensions

Une spirale à deux dimensions peut être décrite à l'aide de coordonnées polaires. C’est-à-dire qu'on peut exprimer r (le rayon) comme étant un fonction continue et monotone de θ (l'angle). Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions. Voici les plus importants :
- La spirale d'Archimède : r = a + bθ
- La spirale hyperbolique : r = a/θ
- La spirale logarithmique : r = ab^θ. Certains coquillages ou la représentation spatiale de l'ADN ou la forme de notre galaxie sont des approximations de cette spirale ; elle a la particularité de « repasser » à chaque angle avec des tangentes de même direction.
- La spirale de Fermat : r = θ^1/2
- La spirale de Nielsen
- La spirale de Cotes
- La spirale de Galilée

Construction d'une spirale basique

Se munir d'une feuille de papier, d'un compas et d'une règle.
- 1. Tracer une droite qui partage la feuille en deux parties égales.
- 2. Placer deux points A_{1_{et A_{2_{sur la droite aux environs du centre de la feuille. La distance entre le point A_{1_{et le point A_{2_{paramètre la concentration de la courbe. Plus cette distance est courte, plus la spirale sera concentrée.

- 3. Piquer le compas sur le point A_{1_{. L'écarter de la distance A_{1_{;A_{2_{.

- 4. Tracer le demi-cercle d'origine A_{2_{. Noter A_{3_{le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.

- 5. Piquer le compas sur le point A_{2_{. L'écarter de la distance A_{2_{A_{3_{.

- 6. Tracer le demi-cercle d'origine A_{3_{. Noter A_{4_{le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.

- 7. Piquer le compas sur le point A_{3_{. L'écarter de la distance A_{3_{A_{4_{.

- 8. Tracer le demi-cercle d'origine A_{4_{. Noter A_{5_{le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.

- 9. etc.

Le résultat est une spirale construite à partir de demis-cercles dont le rayon double à chaque fois.

On peut imaginer plusieurs variantes combinables :

- le rayon de chaque demi-cercle ne double pas mais est plutôt augmenté d'une valeur fixe.

- tracer des quarts de cercles au lieu de demis-cercles (nécessite deux droites perpendiculaires)

Voir aussi

- Développante du cercle

Liens externes

- [http://www.mathcurve.com/courbes2d/spirale/spirale.shtml Spirale] (page du site Mathcurve.com)

- [http://cj.tronquet.free.fr/cnam/rapports/belarbi2003.pdf Antennes à spirales]

Spirale d'Archimède

Catégorie:Courbe
Catégorie:Courbe
La spirale d'Archimède est la courbe d'équation polaire suivante :

:: $\rho= a \theta \,$

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. Le sillon des disques vinyles est une spirale d'Archimède.

La spirale dessinée ci-contre est une spirale définie pour des angles positifs. La spirale d'équation $r = - t/\pi$ définie pour des angles négatifs serait l'image de la précédente par une symétrie d'axe (Ox). Bref, elle aurait la même forme mais tournerait dans l'autre sens.

La courbe d'équation polaire :

:: $\rho= a \theta +b \,$

est aussi une spirale d'Archimède. C'est la spirale précédente ayant subi une rotation d'angle -b/a.

Construction mécanique
On peut envisager une construction mécanique d'une spirale d'Archimède en posant la feuille de papier sur un socle muni d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical passant par O. Le crayon, lui, s'éloigne du centre O suivant un mouvement rectiligne uniforme. Les deux mouvements peuvent être liés par un système de vis sans fin.

Loi des aires
L'aire balayée par un rayon sur l'intervalle $[0;\theta]$ est

$\frac$

Attention, cela ne correspond pas à l'aire de la spirale car le rayon risque de balayer plusieurs fois la même portion de plan.

Trisection de l'angle
L'aire
Une spirale d'Archimède permet de résoudre le problème de la trisection de l'angle : pour un angle $\theta$ donné, il est possible de contruire à la règle et au compas l'angle $\theta/3$ . Il suffit de repérer le point M de la spirale associé à l'angle $\theta$ , de construire un cercle de centre O et de rayon OM/3. Ce cercle coupe la spirale en un point P associé à l'angle $\theta/3$ .

Rectification du cercle
La rectification du cercle est une problème analogue à sa quadrature. Chercher la quadrature du cercle, c'est chercher le carré qui a la même aire qu'un cercle donné. Chercher la rectification du cercle c'est chercher une segment de droite qui a même longueur que le périmètre du cercle. Dans l'un des cas (la quadrature) il s'agit de représenter $\sqrt$ par une longueur, dans l'autre cas (la rectification), il s'agit de représenter $\pi$ par une longueur. La spirale d'Archimède permet de réaliser la seconde construction.

quadrature du cercle
On utilise la propriété de la tangente à la spirale au point M associé à l'angle $\theta$ . On peut démontrer que l'angle $\alpha$ que fait cette tangente avec la droite (OM) n'est pas constant, comme c'est le cas dans une spirale logarithmique, mais varie en fonction de $\theta$ selon la loi suivante :

:: $\tan(\alpha) = \theta \,$ .

Il suffit alors de tracer la tangente à la spirale au point M associé à $\pi$ . Elle rencontre la droite (Oy) en P. On obtient alors le rapport
:: $\pi = \frac$

Problème non résolu
Les deux paragraphes précédents pourraient laisser croire qu'Archimède, grâce à sa spirale, aurait résolu les deux problèmes classiques de la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle. Mais il n'en est rien. Les mathématiciens de l'époque cherchaient des méthodes de résolutions à la règle et au compas et méprisaient les résolutions mécaniques. C'est pourquoi la spirale d'Archimède n'a pas été considérée comme un outil de résolution et a été rejetée comme l'ont été d'autres quadratrices et d'autres trisectrices.

Il est à noter de plus que le tracé de la tangente à la spirale ne faisait que déplacer le problème.

Lien externe
[http://www.mathcurve.com/courbes2d/archimede/archimede.shtml Spirale d'Archimède]

Spirale logarithmique
La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :

r = ab^θ

La spirale ci-contre a pour équation polaire :

: $r=\Phi^$

où $\Phi\,$ est le nombre d'or : $\frac$ .

Pour obtenir une spirale symétrique de la précédente par rapport à l'axe (Ox), il suffit de changer b en 1/b.

Invariance par similitude
Une rotation de la spirale autour de O d'un angle $\theta_0\,$ équivaut à une homothétie de centre O et de rapport $b^$ .

On peut donc remarquer que la spirale logarithmique est invariante par similitude d'angle $\theta_0\,$ et de rapport $b^$ .

Spirale équiangle
équation polaireOn remarque que la tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant $\alpha$ vérifiant la propriété suivante :

: $\tan(\alpha)=\frac$

où ln(b) représente le logarithme népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

Rayon de courbure
On peut aussi démontrer que le rayon de courbure est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

: $R=\frac$

Il est alors facile de trouver le centre du cercle osculateur passant « au plus près » de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

Voir aussi

- spirale logarithmique de Newton en dynamique

Lien externe
[http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml Spirale logarithmique]

Catégorie:Courbe

Sinusoïde
Catégorie:Courbe

Un signal sinusoïdal est un signal (onde) dont l’amplitude, observée à un endroit précis, est une fonction sinusoïdale du temps.

- La fonction sinus est une fonction qui permet de calculer le sinus d’un angle à partir de la valeur de cet angle.

- Une sinusoïde est la forme que prend cette fonction (voir Figure 1).

Exemples
L’amplitude du signal peut correspondre à une pression (son), à un déplacement (corde qui vibre) , à une quantité d’électrons en déplacement (courant électrique) ou encore à une onde électromagnétique.

L'importance des signaux sinusoïdaux est encore accrue par le fait que toute grandeur périodique peut se décomposer en somme de termes sinusoïdaux à l'aide de la décompositione en séries de Fourier.

Caractéristiques d'un signal sinusoïdal
Un signal sinusoïdal est caractérisé par son amplitude maximale et sa fréquence. Il peut se mettre sous la forme :
: $g(t) = \hat G . \sin (\omega t + \varphi ) \,$ ,
avec :
: $g(t) = \hat G \,$ : Amplitude de la grandeur, appelée aussi valeur de crête.
: $\omega \,$ : pulsation de la grandeur en rad/s
: $(\omega t + \varphi ) \,$ phase instantannée en radian
: $\varphi \,$ phase à l'origine en radian (souvent fixé par l'expérimentateur)

Lorsque l'on compare deux signaux de même fréquence, il est nécessaire d’indiquer de combien de temps ils sont décalés. On parle alors de déphasage.

Image:Sinus_dephase_90.gif Image:Sinus_en_opos_phase.gif

- On dit que les signaux sont « en phase » s'ils sont superposés.

- La figure 2a représente des signaux déphasés de 90°.

- La figure 2b représente des signaux en « opposition de phase » : déphasés de 180°.

Le déphasage se déduit par une simple règle de 3 du décalage temporel séparant les deux signaux.
En effet, 0° (ou 0 radian) correspond à 0 seconde de déphasage et 360° (ou 2 π radians) correspondent à des signaux décalés d’une période (T), ils sont alors à nouveau en phase. Si on appelle τ le décalage temporel entre les signaux, on peut écrire :

: en degrés : $\Delta \varphi =\frac$
: en radians : $\Delta \varphi =\frac$

Opérations arithmétiques avec les grandeurs sinusoïdales
Afin de réaliser les opérations d'addition ou de soustraction de grandeurs sinusoïdales, on utilise la représentation de Fresnel ou la transformation complexe Matsuyama CastleMatsuyama Castle (松山城; -jō) is the name of several castles in Japan:

- Matsuyama Castle (Bitchu) is a castle in Takahashi, Okayama (former Bitchu Province).

- Matsuyama Castle (Iyo) is a castle in Matsuyama, Ehime (former Iyo Province).

ja:松山城

zawory metalowe katalog mp3 download hotel a Venezia bwin}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

:: RELATED NEWS ::

PPT
Microsoft PowerPoint ist ein Computerprogramm, mit dem sich interaktive Folienpräsentationen unter Windows und Mac OS erstellen lassen. Es ist derzeit das am weitesten verbreitete Präsentationsprogramm, nach Schätzungen von Microsoft werden damit täglich 30 Millionen Präsentationen erstellt.

Geschichte

Ursprünglich wurde das Programm seit April 1987 von der Firma Forethought für den Read More...

Prinz-Rupprecht-Turm
Der Prinz-Rupprecht-Turm steht am Westrand des Fichtelgebirges auf dem 610 Meter hohen Wolfenberg, zwischen den Dörfern Gothendorf und Köslar, beide sind Ortsteile von Bad Berneck im Landkreis Bayreuth). Wanderer erreichen den Turm auf dem Main-Wanderweg von Bad Berneck aus in ca. 5 km Entfernung. Auch wenn man vom Turm aus wegen des hohen Baumbestandes nicht mehr die Aussicht genießen kann, wie sie früher bestand, lohnt sich eine Wanderung dorthin dennoch. Nur wenige Meter vom Turm entfernt hat der Wanderer schöne Ausblicke in das Ficht

Wikipedia:Kategorien/Recht (Kurzfassung)

Systematische Zusammenstellung der Kategorien im Bereich Recht einschließlich Untergliederungen

(Stand: 4. November 2005) (auszugsweise Kurzfassung der Übersicht unter Wikipedia:Kategorien/Recht)

Übersicht über die oberen Gliederungsebenen

Recht #Britisches Recht #Gericht #Gesetz #Grundlagen des Rechts #Jurist #Juristenvereinigung #Juristische Literatur #Recht (Schweiz) #Rechtssystem ##Europarecht ##Kirchenrecht ##Privatrecht ##Steuerrecht ##Strafrecht ##Teilgebiete des Rechts ##Verfah

Aufrundungsfunktion
Die Gauß-Klammer wird auch als Ganzzahl-Funktion oder Abrundungsfunktion bezeichnet (engl. floor function). Sie wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt und man schreibt

floor(x)

oder

\lfloor x \rfloor

. Sie ist folgendermaßen definiert: :Für eine reelle Zahl

x

ist

\lfloor x \rfloor

die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich

x

ist.

Beispiele

Katapult Film
Die KATAPULT Filmproduktion GmbH ist eine deutsche Filmproduktion mit Sitz in Berlin Kreuzberg. Das Hauptgeschäft der KATAPULT Filmproduktion sind Musikvideos, wobei von Anfang an auch andere Formate bedient werden.

Geschichte

Die KATAPULT Filmproduktion GmbH wurde Anfang 2003 von den beiden Produzenten Read More...

Stachelfisch
Der Stachelfisch ist ein seltsamer Fisch aus der der Barschartigen. Er ist die einzige der Ptilichthyidae. Die Tiere haben einen extrem langstreckten dünnen Körper. Stachelfische leben in größeren Tiefen auf dem Kontinentalschelf in den kalten Küstengewässern des Nordpazifiks. Sein Verbreitungsgebiet erstreckt sich von Japan über die Berin

Athenion
Athenion († 101 v. Chr.) war ein Anführer der Sklaven im zweiten römischen Sklavenkrieg. Athenion stammte aus Kilikien und war als Sklave auf einem Landgut im westlichen Sizilien Aufseher über zweihundert andere Sklaven. Bei Ausbruch des Sklavenkriegs wurde er Anführer der aufständischen Sklaven und führte den Königstitel, diente dann aber dem im Ostte

Bharat Mata
Bharat Mata (Hindi, भारत माता, Bhārat Mātā; englisch: Mother India; deutsch: Mutter Indien) ist ein indischer Film von Mehboob Khan aus dem Jahr 1957. Er gehört zu den Klassikern des Bollywoodfilms und gilt vielfach als indisches Pendant zu Vom Winde verweht.

Inhalt

Radhu und Shamu heiraten. Um die neue Schwiegertochter gebührend auszustatten, nimmt die Schwiegermutter Geld auf beim Geldleiher Sukhi. U

Mona Freiberg
Mona Freiberg, eigentlich Ursula Freiberger, ist eine bayerische Volksschauspielerin und Sängerin. In ihrer Jugend bildete sie zusammen mit Lisa Fitz das Duo "Mona und Lisa"; so erklärt sich auch ihr Künstlername, wie aus Ursula Freiberger eben Mona Freiberg wurde. Seit 1970 steht Mona Freiberg als Volksschauspielerin auf der Bühne. Es begann mit einem Engagement am Provinz Messina in der Region Sizilien in Italien.

Lage und Daten

Castel di Lucio liegt 159 km westlich von Messina. Hier wohnen 1.477 Einwohner (Stand am 31. März 2005), die in der Hauptsache in der Landwirtschaft, im Handwerk und der Lebensmittelproduktion arbeiten. Die Nachbargemeinden sind: