Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Cardinalité

Cardinalité

catégorie:Théorie des ensemblescatégorie:Nombre En théorie des ensembles, la cardinalité représente la taille d'un ensemble.

Définition

Cas des ensembles finis

Pour un ensemble fini la cardinalité est son nombre d'éléments (zéro, pour l'ensemble vide) : :card () = 0 ; :card () = 3. Ainsi, card (ensemble des faces d'un dé cubique) = 6

Approche intuitive, pour les ensembles de taille infinie

Des résultats en mathématiques montrent que pour les ensembles infinis, il existe plusieurs tailles d'ensembles, donc plusieurs infinis. Ces différents infinis sont représentés par des nombres cardinaux transfinis. En particulier : :\mathrm (\mathbb) = \aleph_0 < \mathrm (\mathbb) = 2^ Cependant, et cela ne semble pas intuitif au premier abord : :\mathrm (\mathbb) = \mathrm (\mathbb) (cf. ensemble dénombrable) Voir aussi Théorie axiomatique des ensembles.

Propriété

Deux ensembles ayant la même cardinalité sont en bijection, on dit aussi qu'ils sont équipotents.

Propriétés pour les ensembles finis (ou même infinis)

# card( P ( E ) ) = 2 card( E ) # card( A ∪ B ) ≤ card( A ) + card( B ) = card( A + B ) # card( A ∩ B ) = card( A ) + card( B ) - card( A ∪ B )

Exemples de cardinaux

Si E et F sont deux ensembles donnés, alors :
- les correspondances de E dans F forment un ensemble, noté habituellement « Corr( E, F) ». Le nombre de ces correspondances est : :: Card \ Corr( E, F) = 2^ :Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler que les graphes sont les sous-ensembles de E×F.
- les fonctions de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Fnct( E, F) ». Le nombre de ces fonctions est : :: Card \ Fnct( E, F) = (CardF + 1)^
- les applications de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, qui peut être noté « Appl( E, F) ». Le nombre de ces applications est : :: Card \ Appl( E, F) = CardF^ :Cette propriété explique pourquoi Appl( E, F) est le plus souvent noté « F^E \, ».
- les injections de E dans F forment un sous-ensemble du précédent, noté habituellement « Inj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE > CardF. Si CardE ≤ CardF, le nombre de ces injections est : :: Card \ Inj( E, F) = \frac
- les surjections de E dans F forment un sous-ensemble de l'ensemble des applications, noté habituellement « Surj( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE < CardF. Si CardE ≥ CardF, le nombre de ces surjections est : :: Card \ Surj( E, F) = \sum_^ (-1)^ \frac (CardF - i)^
- les bijections de E dans F forment un sous-ensemble des deux ensembles précédents, noté habituellement « Bij( E, F) ». Cet ensemble est vide si CardE ≠ CardF. Si CardE = CardF = n, le nombre de ces bijections est : :: Card \ Bij( E, F) = n ! .

Voir aussi


- Algèbre abstraite
- Correspondances et Relations
- Famille finie
- Théorie des ensembles

Catégorie:Nombre

catégorie:mathématiques Les nombres et les ensembles de nombres sont parmi les objets les plus couramment manipulés en mathématiques. Dans cette catégorie se trouve tout ce qui s'y rapporte. ja:Category:数 ko:분류:수 simple:Category:Numbers th:Category:จำนวน

Ensemble

catégorie:Mathématiques Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ). Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : :: x   ∈   A Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ». Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ». Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble : :« z \ _\not\in A » signifie « z n’appartient pas à A ».

Egalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments : : ( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \, où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément : : \forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \, L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ). Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments : : \forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \, où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b. Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ). Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants : SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément : : \forall\ a , \forall\ b , \, ( \ = \ ) \Leftrightarrow ( a = b ) \, SP2 : deux paires     et     sont égales ssi   a 1 est égal à b 1   et   a 2 à b 2 ,   ou si   a 1 est égal à b 2   et   a 2 à b 1 : : \forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, :: ( \ = \ ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité. Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble : : toujours avec le même exemple, = = . Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : \ _\mathbb N = .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique : : \forall\ P , \exists\ E /\ \forall\ x , \, ( x \in E ) \Leftrightarrow P( x) \, L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ). Par exemple :
-   désigne l’ensemble des nombres réels,
-   désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et     note l’ensemble     de tous les chiens. L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle. Cette notation permet certaines variantes :
-   désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P.   Par exemple, si \ _\mathbb Z est l’ensemble des nombre entiers, alors     est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
-   désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent,     est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
-   est la forme la plus générale de la définition en compréhension. : Par exemple,     est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).

Voir aussi


- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:集合 ko:집합

Nombre transfini

Transfini Les nombres transfinis sont les nombres infinis découverts et explorés par le mathématicien Georg Cantor. Cantor a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles.

Aspect épistémologique

Les travaux de Cantor sur la théorie des ensembles ont été à la source de nombreux paradoxes, et ont contribué à la crise des fondements qu'ont connue les mathématiques, entre la fin du XIX et le début du XX siècle. Kronecker, par exemple, a exprimé pourquoi ils ne considérait pas comme mathématiquement valides les démonstrations de Cantor faisant intervenir l'infini de deux façons différentes en considérant l'un comme achevé et l'autre comme en construction. Une fameuse boutade de David Hilbert résume le choix de bon nombre de mathématiciens : « Cantor a créé pour les mathématiciens un paradis dont ils ne se laisseront pas expulser ». Les nombres transfinis ont peu d'applications en dehors des mathématiques à l'heure actuelle (2005). Cela n'est pas nécessairement significatif, ainsi que le montrent quelques exemples historiques (nombres complexes en particulier). Toutefois au cours du siècle écoulé les physiciens ne se sont pas montrés demandeurs de ce genre de travaux. Cette situation est à opposer à d'autres travaux mathématiques qui furent au contraire inspirés au départ par un souci de formaliser et généraliser de procédés employés empiriquement en physique : le calcul opérationnel avait été formalisé par la transformation de Laplace, et les fonctions de Dirac par la théorie des distributions de Laurent Schwartz.

Distinction importante

Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Bien que semblables en apparence, ces deux concepts cantoriens doivent être distingués lorsque l'on s'intéresse à des ensembles infinis.

Nombres ordinaux transfinis

En théorie des ensembles, les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles : :0 = (ensemble vide) :1 = = :2 = = :3 = = :4 = = etc. De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels. Cela nous conduit à la définition d'un nombre ordinal par John von Neumann : un ensemble E est un ordinal si et seulement si E est totalement ordonné pour l'inclusion et tout élément de E est aussi un sous ensemble de E. Cette approche permet d'envisager les nombres ordinaux infinis. L'existence des ordinaux infinis est assuré par L'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini est ω, cf. alphabet grec. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels \mathbb=\. L'addition des nombres entiers naturels, traduite en terme d'ensembles, permet de généraliser l'addition aux nombres ordinaux transfinis. Cette addition est associative mais pas commutative. Elle donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis. Ainsi \omega < \omega + 1 < \omega 2, mais \omega = 1 + \omega = 2 \omega. On montre qu'il existe une infinité de nombres ordinaux transfinis : \omega < \omega + 1< \omega + 2 < \cdots < \omega+\omega = \omega 2 et \omega 2 < \cdots < \omega\omega = \omega^2 < \cdots < \omega^\omega < \omega^ < \cdots Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et \omega. Le plus petit d'entre eux est appelé \epsilon_0 et vaut \omega^. Il est en outre solution de l'équation x=\omega^x. À noter que les ordinaux ne forment pas un ensemble, au sens des axiomes ZFC de la théorie axiomatique des ensembles habituelle, mais une classe propre. Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : l'ensemble des ordinaux serait par définition un ordinal ... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que tous les ordinaux. Ceci est évidemment contradictoire.

Nombres cardinaux transfinis

À tout ensemble correspond un nombre cardinal. Le cardinal d'un ensemble fini à n éléments est n. Le cardinal de l'ensemble infini \mathbb des nombres entiers naturels est noté \aleph_0 (aleph-zéro), cf. alphabet hébreu. \aleph_0 est le plus petit nombre transfini cardinal. Il est plus grand que tout entier naturel. Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'ils sont en bijection. Ainsi, le cardinal de tout ensemble dénombrable infini est aussi \aleph_0, c'est le cas par exemple de l'ensemble des nombres algébriques. De manière plus générale, on montre que les ensembles des types suivants sont infinis dénombrables
- l'union de \mathbb avec un ensemble fini
- l'union d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables
- le produit d'une suite finie d'ensembles infinis dénombrables Ces propriétés se traduisent sur le nombre transfini \aleph_0 par les formules suivantes
- \aleph_0+n=\aleph_0 pour tout entier naturel n
- \aleph_0+\aleph_0=\aleph_0
- \aleph_0^n=\aleph_0 pour tout entier naturel n>0 Mais l'infini ne se résume pas à \aleph_0. On montre à l'aide de l'argument diagonal de Cantor que l'ensemble \mathbb des nombres réels n'est pas dénombrable. Si l'on note \aleph le nombre cardinal transfini associé à \mathbb, on a donc :\aleph_0 < \aleph. \aleph est parfois noté 2^ par analogie avec les cardinaux finis car \mathbb est en bijection avec l'ensemble des parties de \mathbb. On a donc avec cette notation que \aleph_0 < 2^. De manière plus générale, on montre que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours strictement plus gros que l'ensemble de départ. Ainsi, :\aleph_0 < 2^ < 2^ < \cdots Il existe donc une infinité de nombre cardinaux transfinis ! On a longtemps cherché à savoir s'il existait un nombre transfini strictement compris entre \aleph_0 et 2^, cf. hypothèse du continu. La réponse de Paul Cohen est plutôt surprenante, quoique présagée par Kurt Gödel.

Voir aussi


- Ensemble bien ordonné
- Récurrence transfinie
- Théorèmes de König

Ensemble dénombrable

Catégorie:Nombre Catégorie:Théorie des ensembles Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels \mathbb, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur \mathbb (ou \mathbb^
- , voir plus bas) ; cela équivaut à l'existence d'une bijection de \mathbb (ou \mathbb^
- ) sur E. Naïvement, dire qu'un ensemble E est dénombrable signifie qu'il est possible de compter un à un chacun de ses éléments, et de leur attribuer un rang : on peut numéroter les éléments de E sans omission ni répétition, en utilisant tous les entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels est dénombrable, car un ensemble est toujours équipotent à lui-même. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que chaque élément de \mathbb peut être associé à lui-même. Tout ensemble équipotent à un ensemble dénombrable est lui-même dénombrable. Un ensemble dénombrable est infini, car équipotent à \mathbb, qui est infini. Mais la réciproque est fausse : il existe des ensembles infinis non dénombrables. Le mathématicien Cantor, qui introduisit la notion de dénombrabilité, démontra que l'ensemble des nombres réels, noté \ \mathbb, n'est pas dénombrable.

Vocabulaire

L'expression ensemble dénombrable a deux définitions :
- Certaines publications emploient cette expression non seulement dans le sens vu ci-dessus mais aussi pour désigner un ensemble fini
- D'autres utilisent cette expression uniquement pour les ensembles satisfaisant la définition, et préfèrent employer l'expression ensemble au plus dénombrable pour désigner un ensemble soit fini, soit dénombrable. Il faut donc prendre garde à la convention utilisée lors de la lecture d'une publication sur le sujet. Dans cet article, c'est la seconde acception qui sera utilisée.

Ensembles courants et dénombrabilité


- Par définition, l'ensemble \mathbb des entiers naturels est dénombrable.
- L'ensemble \mathbb^
- des entiers naturels non nuls est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb^
- & \longrightarrow & \mathbb \\ n & \longmapsto & n-1\end est bijective.
- L'ensemble des entiers naturels pairs, noté 2\, \mathbb, est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \ 2\, \mathbb \\ n & \longmapsto & 2\, n\end est bijective.
- L'ensemble des carrés parfaits, noté ici \mathbb^, est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \ \mathbb^ \\ n & \longmapsto & n^2\end est bijective. :On doit à Galilée la remarque qu'il y a "autant" de carrés parfaits que d'entiers naturels, mettant ainsi en défaut l'affirmation classique (qu'on trouve dans les Éléments d'Euclide): "le tout est plus grand que la partie".
- L'ensemble \mathbb des entiers relatifs est dénombrable. En effet, l'application \begin\mathbb & \longrightarrow & \mathbb \\ n & \longmapsto & \left\

Bijection

Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet un unique antécédent x (par f). De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques. Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, une fonction bijective f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point. Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y ssi X et Y ont le même nombre d’éléments. La généralisation de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d’un ensemble, une façon de distinguer les différentes tailles infinies d’ensembles infinis.

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
- Ces desiderata sont incompatibles si le nombre de touristes est différent du nombre de chambres. Dans le cas contraire, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2. D’un autre côté, la fonction g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par g(x) = x2 n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x2 = −1, et donc g n’est pas surjective non plus. L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective. D’autre part, si nous définissons la fonction h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+ par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à \mathbb R_+, alors la fonction h est bijective. L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x2 qui est x = √y.

Propriétés


- Une fonction f: X → Y est bijective si et seulement s’il existe une fonction g: Y → X telle que g o f soit l’application identique sur X et f o g soit l’application identique sur Y. Les bijections sont précisément les isomorphismes dans la catégorie des ensembles. Dans ce cas, g est déterminée de manière unique par f et nous appelons g l’application réciproque de f et nous écrivons f −1 = g. De plus, g est aussi une bijection, et la réciproque de g est f à nouveau.
- Si f o g est bijective, alors f est surjective et g est injective.
- Si f et g sont toutes deux bijectives, alors f o g est aussi bijective.
- Si X est un ensemble, alors les fonctions bijectives de X sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications (o), un groupe, le groupe des permutations de X, qui est noté indifféremment S(X), SX, σX ou σ(X).

Voir aussi


- Surjection
- Injection
- Théorème de la bijection catégorie:Théorie des ensembles ja:全単射

Équipotence

Equipotence Deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce qu'on note E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité, c'est-à-dire la même « taille » ou encore le même nombre d'éléments. L'équipotence correspond au fait d'être isomorphe dans la catégorie (la catégorie des ensembles munis des fonctions totales). Dans un ensemble d'ensembles, la relation d'équipotence est une relation d'équivalence. Mais on n'a pas le droit de parler de relation sur l'hypothétique « ensemble des ensembles » car celui-ci n'existe pas (voir : paradoxe de Russell). Voir aussi :
- cardinalité
- bijection
- isomorphisme

Algèbre abstraite

L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, est la branche des mathématiques, qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite est utilisé pour la distinguer de l'algèbre élémentaire qui enseigne les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement les structures algébriques ne sont pas étudiées séparément. Aussi l'algèbre abstraite possède beaucoup de connexions avec toutes les branches des mathématiques. Bases : Théorie des ensembles :
- Notion d'ensemble :
- Sous-ensemble :
- Opérations sur les ensembles :
- Produit cartésien : Correspondances et Relations :
- Relation binaire :
- Fonctions et applications :
- Relation ternaire : Cardinalité : Loi de composition :
- Loi interne :
- Loi externe Structures algébriques : Magma : Quasigroupe : Monoïde : Semigroupe : Groupe : Morphismes : Anneaux : Corps : Tribu (σ-algèbre) Théorie des sous-ensembles flous : Sous-ensemble flou : Opérateur flou Catégorie:Algèbre ko:추상대수학 th:พีชคณิตนามธรรม

Correspondances et Relations

catégorie:Théorie des ensemblescatégorie:Algèbre En algèbre abstraite, la notion de correspondance, ou de relation, est une abstraction de notions telles que l’égalité, l’ordre alphabétique, ou la comparaison. De manière informelle, une relation dans un ensemble ( on dit aussi « sur un ensemble » ) est une proposition qui lie un certain nombre d’éléments. Sur un ensemble constitué de personnes, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou « Cecile connaît David »... On peut donc voir une relation comme des fils reliant divers éléments d’un ensemble. Cette notion peut être généralisée en établissant des liens entre des éléments d’ensembles distincts.

Graphe et correspondance

Le lien entre deux éléments peut s’exprimer de manière plus formelle par un « couple ». Un couple, noté entre parenthèses, est constitué de deux éléments mis dans un ordre particulier. Les correspondances, ou relations générales peuvent ainsi être considérées en première approche comme des ensembles de couples, c’est-à-dire des graphes. Mais cela ne suffit pas toujours: :Les propriétés des correspondances dépendent autant des absences de liens entre éléments que de leur existence. En d’autres termes, la donnée du graphe d’une correspondance ne suffit pas à définir complètement celle-ci ; il faut aussi savoir quels sont les couples d'éléments qu'elle ne lie pas. Cela revient à préciser dans quel produit cartésien s’inscrit la correspondance. Néanmoins, il demeure possible, le plus souvent, de confondre une correspondance avec son graphe, du moment qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le produit cartésien dans lequel elle s’inscrit. Pour illustrer ces idées, considérons par exemple l’ensemble P suivant de personnes : : P = \\, Définissons-y naïvement la relation aime par la seule donnée de son graphe : : aime = \\, Pour la relation aime, si « Alice aime Bernard », alors le couple ( Alice, Bernard ) fait partie de l’ensemble aime. L’ensemble aime est un sous-ensemble de P × P. Nous constatons que :
- la relation aime est une relation binaire dans P ;
- la relation aime est réflexive, puisque toutes les personnes considérées s’aiment elles-mêmes. Remarquons au passage que l’ordre dans le couple a de l’importance. Si « Alice aime Bernard », la réciproque n’est pas forcément vraie, et d’ailleurs ici  ( Bernard , Alice ) n’appartient pas à aime. Ajoutons une personne à P. L’ensemble des personnes devient : : Q = \ aime est encore un sous-ensemble de Q × Q, mais la relation aime n’est plus réflexive : la simple présence de Christian a modifié la relation, même si aucun lien n’a été rajouté. En fait, la relation aime dans Q doit être distinguée de la relation aime dans P, même si elles ont toutes deux le même graphe. Pour y parvenir, l’idée la plus simple est de considérer qu’une relation comporte non seulement un graphe, mais aussi le produit cartésien dans lequel il s’inscrit : si aime désigne toujours le graphe, les relations deviennent alors : : ( P \times P , aime ) \quad et \quad ( Q \times Q , aime ) \,, ou, ce qui revient en pratique au même : : ( P , P , aime ) \quad et \quad ( Q , Q , aime ) \,. Cette façon de procéder comporte toutefois encore un défaut : elle ne permet pas de définir des relations dans les univers, puisque les éléments de n-uplets doivent être des ensembles. Cela pose problème avec la relation d’équipotence par exemple, qui est à la base de la définition des cardinaux, et qui est censée être définie dans l’univers de tous les ensembles. Une solution (déjà entrevue dans l’article « Produit cartésien ») consiste à remplacer les triplets précédents par des sommes disjointes : les deux relations précédentes seront alors définies comme : : \dot\cup ( P , P , aime ) \quad et \quad \dot\cup ( Q , Q , aime ) \,, mais encore notées cependant par abus d’écriture : : ( P , P , aime ) \quad et \quad ( Q , Q , aime ) \,. Remarque : le cheminement ci-dessus est caractéristique de la démarche des mathématiciens lorsqu’ils élaborent une définition : ils partent d’une première approche simple, qu’ils améliorent ensuite en la compliquant pour éliminer des contradictions internes ou prendre en compte certains cas particuliers, puis qu’ils généralisent au maximum.

Définition formelle

Notes préliminaires


- Les définitions suivantes demeurent valides si on y remplace les ensembles par des classes ou des univers.
- Pour alléger l’écriture, nous noterons à partir d’ici les sommes disjointes comme des n-uplets.

Définition

:Une correspondance, ou relation générale, est la somme disjointe de trois ensembles dont le dernier est une partie du produit cartésien du premier par le deuxième. Plus précisément, si E et F sont deux ensembles, alors \mathfrak est une correspondance de E dans F si et seulement si : : \exists\ G \ / \ ( \mathfrak = (E, F, G) ) \wedge ( G \subseteq E \times F ) E est l’ensemble de départ de la correspondance, F son ensemble d’arrivée et G son graphe. En pratique, on confondra une correspondance avec son graphe s’il n’y a pas d’ambiguïté sur les ensembles de départ et d’arrivée.

Egalité de deux correspondances

D’après leur définition, deux correspondances sont égales si et seulement si elles ont mêmes ensembles de départ et d’arrivée et même graphe. En d’autres termes, si   \mathfrak_1 = ( E1 , F1 , G1 )   et si   \mathfrak_2 = ( E2 , F2 , G2 ) , alors : : ( \mathfrak_1 = \mathfrak_2 ) \Leftrightarrow [ ( E_1 = E_2 ) \wedge ( F_1 = F_2 ) \wedge ( G_1 = G_2 ) ] \,.

Exemples et cas particuliers importants


- Etudier quels sont les sports pratiqués par les français revient à établir une correspondance de l'ensemble des français dans l'ensemble des sports possibles.
- Si E = , F = et si G = , alors ( E, F, G ) est une correspondance de E dans F.
- Une correspondance est vide si et seulement si son graphe est égal à l'ensemble vide.
- Une correspondance est pleine si et seulement si son graphe est égal au produit cartésien des ensembles de départ et d'arrivée tout entier.
- La relation dans E dont le graphe est la diagonale de E est appelée identité de E, et notée habituellement « Id_E \, ».
- L'ensemble de départ d'une correspondance peut être le produit cartésien de deux ensembles ou plus : ainsi, l'addition des nombres réels est une correspondance de \mathbb \times \mathbb \, dans \mathbb \,. Il semble évident que l'addition comporte deux arguments; mais en fait, le nombre d'arguments d'une correspondance dépend du point de vue adopté et n'en est donc pas une propriété intrinsèque: ainsi, on peut considérer que l'addition a un seul argument, le couple formé par les deux nombres additionnés !

Représentation des correspondances

Il existe trois types de représentation d’une correspondance :
- sagittale, qui dérive des diagrammes de Venn pour les ensembles, où les ensembles de départ et d’arrivée sont représentés par deux « patatoïdes » côte à côte, les éléments par des points à l’intérieur des patatoïdes, et les couples du graphe par des flèches reliant les premières composantes aux secondes; diagrammes de Venn
- tabulaire ou matricielle, sous forme d’un tableau à deux entrées, avec en première colonne la liste des éléments de l’ensemble de départ et en première ligne celle des éléments de l’ensemble d’arrivée; les couples sont représentés par des croix dans les cases à l’intersection de la ligne de la première composante et de la colonne de la seconde composante;
- graphique, avec un axe horizontal dont les points représentent les éléments de l’ensemble de départ, et un axe vertical dont les points représentent les éléments de l’ensemble d’arrivée; les couples sont représentés par les points à l’intersection de la ligne verticale coupant l’axe horizontal à l’emplacement de la première composante, et de la ligne horizontale coupant l’axe vertical à l’emplacement de la seconde composante. Traditionnellement, le nuage des points du graphe se situe au-dessus et à droite des axes.

Relations n-aires

Relations internes et externes

Une relation interne ou relation dans un ensemble ou relation sur un ensemble est une correspondance dont l’ensemble de départ est une puissance cartésienne de l’ensemble d’arrivée. Une relation externe est une correspondance dont l’ensemble de départ est le produit cartésien d’un ensemble dit de scalaires ou d’opérateurs par une puissance cartésienne de l’ensemble d’arrivée. Plus précisément, si E et S sont deux ensembles : :- \mathfrak est une relation dans E, donc interne ssi : : \exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 2 ) \wedge ( \mathfrak = ( E^ , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \, ) :- \mathfrak est une relation sur E à opérateurs à gauche dans S, donc externe à gauche ssi : : \exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 3 ) \wedge ( \mathfrak = ( S \times E^ , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E^ \, ) :- \mathfrak est une relation sur E à opérateurs à droite dans S, donc externe à droite ssi : : \exists\ G \ , \exists\ n \in \mathbb \ / \ ( n \geq 3 ) \wedge ( \mathfrak = ( E^ \times S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \times S \times E \, ) Pour que ces définitions soient cohérentes, S ne doit pas être un produit cartésien où E figure ( le cas S = E est toutefois toléré par abus de langage : une relation interne est alors vue comme une relation externe dans E à opérateurs dans E lui-même ). Les correspondances de S dans E où S n'est ni E, ni un produit cartésien comportant E ne relèvent pas de ces définitions, mais peuvent être vues comme relations externes dans E au cas limite où n = 2. S est alors l'ensemble des opérateurs ( sans préciser à gauche ou à droite, les deux se confondant ). A part ce cas, s’il n’est pas précisé si une relation externe est à gauche ou à droite, et si le contexte ne permet pas de lever l’ambiguïté, alors elle est à gauche. De même, s’il n’est pas précisé si une relation est interne, externe ou générale, et si le contexte ne permet pas de lever l’ambiguïté, alors elle est interne. Pour parler des relations au sens général du terme, il vaudra mieux préciser relation générale, ou employer le terme de correspondance.

Arité d’une relation

Le nombre n intervenant dans les définitions précédentes est appelé arité de la relation. Celle-ci est dite n-aire; ainsi :
- une relation binaire interne, d’arité 2 , est une correspondance dont les ensembles de départ et d’arrivée sont les mêmes. En d’autres termes, si E est un ensemble, \mathfrak est une relation binaire dans E ssi c'est une correspondance de E dans E, c'est-à-dire si : : \exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E \times E \, ) \,
- une relation binaire externe, encore d'arité 2, est une correspondance d’un ensemble S dans un ensemble E, où S n’est pas un produit cartésien dont E soit une composante; en d’autres termes, si E et S sont deux ensembles, \mathfrak est une relation binaire externe de S dans E ssi : : \exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E \, ) \,
- une relation ternaire interne, d'arité 3, est une correspondance dont l’ensemble de départ est le carré cartésien de l’ensemble d’arrivée; en d’autres termes, si E est un ensemble, \mathfrak est une relation ternaire interne dans E ssi : : \exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E \times E , E, G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E^ \, ) \,
- une relation ternaire externe à gauche (resp. à droite) est une correspondance dont l’ensemble de départ est le produit cartésien d’un ensemble S de scalaires par l’ensemble d’arrivée (resp. de l'ensemble d'arrivée par un ensemble S de scalaires); en d’autres termes, si E et S sont deux ensembles :, \mathfrak est une relation ternaire externe dans E à opérateurs dans S : :- à gauche ssi :   \exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( S \times E , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq S \times E^ \, ) \, :- à droite ssi :   \exists\ G\ /\ ( \mathfrak = ( E \times S , E , G \, ) ) \wedge ( G \subseteq E \times S \times E \, ) \, Encore une fois, l’ensemble S ci-dessus ne doit pas être un produit cartésien dont l’ensemble d’arrivée E soit une composante. En pratique, on considère rarement des relations d'arité supérieure, car elles peuvent toujours se décomposer en relations binaires ou ternaires.

Exemples


- L’égalité et l’inclusion sont des relations binaires dans l’univers des ensembles.
- La réunion, l’intersection, la différence et la différence symétrique sont des relations ternaires internes dans l’univers des ensembles.

Relations scalaires

Une relation scalaire est une correspondance d'un ensemble E 2 dans un ensemble S, où S n'est pas un produit cartésien dont l’ensemble E soit une composante ; c'est donc une relation binaire externe dont l'ensemble de départ est un carré cartésien. L'appellation de relation scalaire peut être étendue au cas où l'ensemble de départ n'est pas un carré cartésien, mais une puissance cartésienne d'ordre n supérieur à 2. La valeur n+1 est parfois appelée arité scalaire de la relation, à ne pas confondre avec l'arité définie précédemment (toujours égale à 2 pour une relation scalaire).

Fonctions

Images et antécédents

Si \mathfrak est une correspondance, avec \mathfrak = ( E , F , G ) , alors les affirmations suivantes sont équivalentes : :- y correspond à x par \mathfrak ; :- ( x , y ) appartient à G ; :- y est image de x par \mathfrak ; :- x est antécédent de y par \mathfrak . Le terme de « préimage » est parfois employé à la place de celui d'« antécédent ». « y correspond à x par \mathfrak » peut se noter :
- « ( x , y ) ∈ G( \mathfrak ) »   (notation ensembliste)
- « ( x , y ) \mathfrak »   (notation relationnelle postfixée)
- « \mathfrak ( x , y ) »   (notation relationnelle préfixée)
- « x \mathfrak y »   (notation relationnelle infixée) Cette dernière notation est, sauf cas particulier, la plus pratique et par conséquent la plus utilisée. L'ensemble formé par les images de tous les éléments de l’ensemble de départ d’une correspondance est appelé ensemble-image de cette correspondance. Il est noté habituellement « Im\mathfrak ». Un abus de langage courant consiste à appeler cet ensemble « image » de la correspondance, mais cela peut entraîner une confusion si la correspondance est elle-même élément d’un ensemble à partir duquel une autre correspondance est bâtie. Symétriquement, l’ensemble formé par les antécédents de tous les éléments de l’ensemble d’arrivée d’une correspondance est appelé ensemble-antécédent de cette correspondance. Il est noté habituellement « Ant\mathfrak ». L’ensemble-antécédent est aussi nommé « domaine de définition » de la correspondance, et alors noté « Dom\mathfrak » ou « D\mathfrak », mais cette dernière appellation est plutôt réservée aux fonctions (ci-dessous).

Fonctions, applications et bijections

Propriétés de base

Une correspondance peut avoir quatre propriétés de base indépendantes les unes des autres ; elle peut être :
- fonctionnelle : tout élément de l'ensemble de départ a au plus une image : :: \forall\, ( x , y_1 , y_2 ) \in E \times F^ , ( x \,\mathfrak\, y_1 \wedge x \,\mathfrak\, y_2 ) \Rightarrow ( y_1 = y_2 )
- applicative : tout élément de l'ensemble de départ a au moins une image : :: \forall\, x \in E , \exists\, y \in F \ / \ x \,\mathfrak\, y \,
- injective : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent : :: \forall\, ( x_1 , x_2 , y ) \in E^ \times F , ( x_1 \,\mathfrak\, y \wedge x_2 \,\mathfrak\, y ) \Rightarrow ( x_1 = x_2 ) \,
- ou surjective : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent : :: \forall\, y \in F , \exists\, x \in E \ / \ x \,\mathfrak\, y \, . Notes: : une correspondance est applicative si et seulement si : \ Ant\mathfrak = E ; : une correspondance est surjective si et seulement si : \ Im\mathfrak = F .

Définitions

En combinant ces quatre propriétés de base, nous obtenons a priori seize types de correspondances, mais seules neuf ont un qualificatif; il est possible de résumer ces propriétés et leur définition dans le tableau suivant : Certaines des combinaisons des quatre propriétés de base ont reçu un nom, en raison de leur importance pratique :
- une fonction est une correspondance fonctionnelle; chaque élément de départ a au plus une image; on peut donc parler de son image sans ambiguïté, et la désigner par un symbole, d'habitude « R( x ) » si la fonction est notée « R ». Cela permet de remplacer la notation relationnelle « x R y » par la notation fonctionnelle « y = R( x ) » plus pratique;
- une application est une fonction applicative ; c’est donc aussi une correspondance fonctionnelle et applicative, c’est-à-dire une correspondance univoque ;
- une injection est une application injective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative et injective, c’est-à-dire une correspondance applicative et bifonctionnelle;
- une surjection est une application surjective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative et surjective, c’est-à-dire une fonction biapplicative;
- une bijection est une application bijective; c’est donc une correspondance fonctionnelle, applicative, injective et surjective, c’est-à-dire une correspondance biunivoque; Attention! Une correspondance applicative (respectivement injective, surjective, bijective) n’est pas en général une application (respectivement une injection, une surjection, une bijection); De même, une fonction injective ( respectivement surjective, bijective) n’est pas en général une injection (respectivement une surjection, une bijection).

Correspondance réciproque

Les notions d’image et d’antécédent sont duales. Echanger leur rôle revient à échanger entre elles les composantes de chaque couple du graphe, donc à remplacer chaque couple ( x , y ) par son couple réciproque ( y , x ). Le graphe réciproque d’un graphe G , noté « G^ », est le graphe résultant d’un tel échange : : G^ = \ La correspondance réciproque d’une correspondance est la correspondance obtenue en échangeant les ensembles de départ et d’arrivée et en remplaçant le graphe par son graphe réciproque. En d’autres termes, si \mathfrak = ( E , F , G ) , alors : \mathfrak^ = ( F , E , G^ ) La réciproque de la réciproque d’une correspondance n’est autre que cette correspondance : : ( \mathfrak^ )^ = \mathfrak Il suffit de lire le tableau des combinaisons des propriétés de base des correspondances (voir plus haut), en échangeant le rôle des images et des antécédents, pour obtenir les propriétés des réciproques. Ainsi :
- la réciproque d’une fonction est une correspondance injective; inversement, pour que la réciproque d’une correspondance soit une fonction, il faut et il suffit que cette correspondance soit injective;
- la réciproque d’une correspondance applicative est surjective, et vice-versa;
- la réciproque d’une application, c'est-à-dire d'une correspondance univoque, est une correspondance bijective; inversement, pour que la réciproque d’une correspondance soit une application, il faut et il suffit que cette correspondance soit bijective;
- la réciproque d'une correspondance bifonctionnelle, c’est-à-dire d’une fonction injective, est une correspondance bifonctionnelle, c’est-à-dire une fonction injective;
- la réciproque d’une correspondance biapplicative est elle-même biapplicative;
- et enfin, la réciproque d’une bijection, c'est-à-dire d'une correspondance biunivoque, est une bijection.

Classement des correspondances

Remarques : : (
- ) à gauche ou à droite : (
  - ) Les relations ternaires internes ne peuvent être des bijections que si le cardinal de leur ensemble d’arrivée est infini ou égal à 0 ou à 1. Nous retrouvons dans ce tableau les deux familles de notions définies plus haut, relations et fonctions, et leurs combinaisons : :- une transformation dans un ensemble est une application de cet ensemble dans lui-même, donc une relation binaire dans cet ensemble; :- une permutation dans un ensemble est une bijection d’un ensemble dans lui-même, donc une relation binaire dans cet ensemble; c’est donc un cas particulier de transformation; :- une opération est une correspondance qui est à la fois une relation ternaire et une fonction; :- une loi de composition ( appellation souvent abrégée en loi ) est une correspondance qui est à la fois une relation ternaire et une application; les lois sont donc des opérations particulières. Ainsi, les quatre opérations de notre enfance (+, -, x, :) sont effectivement des opérations internes dans \mathbb , mais seules l’addition et la multiplication y sont des lois de composition.

Voir aussi


- Théorie des ensembles
- Notion d’ensemble
- Sous-ensemble
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Opération sur des correspondances
- Relation binaire
- Fonction
- Relation ternaire interne
- Relation ternaire externe
- Relation scalaire
- Loi de composition

Théorie des ensembles

ja:公理的集合論
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques et de l'informatique créée principalement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les ensembles et leurs éléments. Un ensemble est vu comme une collection d'objets, appelés les éléments (ou membres) d'un ensemble. En mathématiques, tout objet mathématique (y compris un ensemble) peut être élément d'un ensemble. Initialement controversée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale des mathématiques modernes, puisque cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés. Actuellement, on sépare la théorie des ensembles en deux parties : la théorie naïve des ensembles et la théorie axiomatique des ensembles. La théorie naïve des ensembles, également qualifiée « d'intuitive », a été développée en premier lieu. Par la suite, il s'est avéré que supposer que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell. Pour répondre à ces problèmes, la théorie des ensembles a été reconstruite, en utilisant cette fois une approche axiomatique.

Voir aussi


- Algèbre abstraite
- Ensemble-produit
- Fondation des mathématiques
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Opérations ensemblistes
  - Produit cartésien

Mammi Water

:This article is about the goddess Mami Wata. For other uses of the name and its variants, see Mami Wata (disambiguation). Mami Wata (disambiguation) Mami Wata (also known by numerous other names, listed below) is a goddess of the African diaspora whose immensely popular cult has grown in West, Central, and Southern Africa, and in the Caribbean and parts of South America since the 18th century. Mami Wata is often pictured as a mermaid, half-human and either half-fish or half-reptile. Other stories and images show her as a human-looking woman dressed in the latest fashion. Her most definitive image, that of a long-haired woman with a snake circling her torso, is based on a 19th century chromolithograph of a Samoan snake charmer. The goddess is characterized by her inhuman beauty and capricious nature; in many traditions, she is as likely to harm her followers as to help them. Her cult has strong associations with fortune, healing, sex, and water. Worship practices for the goddess vary, but they often involve wearing the colours red and white (sacred to Mami Wata) and dancing to an altered state of consciousness, and potentially spiritual possession. Mami Wata as she exists today represents a widespread amalgamation of many different African water gods. Slaves from the Slave Coast brought their water-spirit beliefs with them to the New World, and traders in the 20th century carried similar beliefs with them from Senegal to as far as Zambia, so that today the goddess is known in at least 20 African nations. As the Mami Wata cult spread, native water deities were subsumed into it. In addition, Africans may sometimes call non-Mami Wata figures by that name when speaking to foreigners, as they know that Mami Wata is better known than local gods and goddesses. She is today one of the most popular themes in African and Caribbean popular culture.

Appearance

Mami Wata is usually described in excesses. She possesses an inhuman beauty, unnaturally long hair, and a lighter-than-normal complexion. Her hair is straight, either black or blonde, and combed straight back. Her lustrous eyes gaze enticingly, which only enhances her ethereal beauty. In many parts of West and Central Africa, "Mami Wata" thus serves as a slang term for a gorgeous woman. She is often described as a mermaid-like figure, with a woman's upper body (often nude), and the hindquarters of a fish or serpent. In other tales, Mami Wata is fully humanoid (though never human). Her superlative nature extends to her clothing, which is more fashionable than anything created by a human fashion designer. She flaunts her unimaginable wealth with jewelry that blinds those who view it. In both mermaid and humanoid form, she often carries enormously expensive baubles such as combs, mirrors, and watches. A large snake (symbol of divination and divinity in many African cultures) frequently accompanies her, wrapping itself around her and laying its head between her breasts. Other times, she may try to pass as completely human, wandering busy markets or patronising bars. She may also manifest in a number of other forms, including as a man.

Cult

Followers of traditional African religions, Santeria, and Voodoo comprise Mami Wata's devotees. Her worship is therefore as diverse as her worshippers, though there are many parallels. Groups of people may gather in her name, but the goddess is much more prone to interacting with followers on a one-on-one basis. She thus has many priests and mediums in both Africa and the Caribbean who are specifically devoted to her. Followers typically wear red and white clothing, as these colours represent the goddess's dual nature. Especially in Igbo iconography, red represents such qualities as death, destruction, heat, maleness, physicality, and power. In contrast, white symbolises beauty, creation, femaleness, new life, spirituality, translucence, water, and wealth. This regalia may also include a cloth snake wrapped about the waist. The Mami Wata shrines may also be decorated in these colours, and items such as bells, carvings, Christian or Indian prints, dolls, incense, spirits, and remnants of previous sacrifices often adorn such places. Frenzied dancing accompanied by musical instruments such as African guitars or harmonicas often forms the core of Mami Wata worship. Followers dance to the point of entering a trance. At this point, Mami Wata possesses the person and speaks to him or her. Offerings to the goddess are also important, and Mami Wata prefers gifts of delicious food and drink, alcohol, fragrant objects (such as pomade, incense, and soap), and expensive goods like jewelry. Modern worshippers usually leave her gifts of manufactured goods, such as Coca-Cola or designer jewelry. Nevertheless, Mami Wata is unpredictable. She craves attention, and her followers must be prepared to be called to service without warning. She can give her devotees boons based on her attributes: beauty, an easy life, good luck, and material wealth. However, she can also takes these things away on a whim. Nevertheless, she largely wants her followers to be healthy and well off. More broadly, people blame the spirit for all sorts of misfortune. In Cameroon, for example, Mami Wata is ascribed with causing the strong undertow that kills many swimmers each year along the coast.

Attributes

Water

As her name would imply, the goddess is closely associated with water. Traditions on both sides of the Atlantic tell of the goddess abducting her followers or random people whilst they are swimming or boating. She brings them to her paradisiacal realm, which may be underwater, in the spirit world, or both. The captives' release often hinges on some sort of demand, ranging from sexual fidelity to the goddess to something as simple as a promise that they do not eat fish. Should she allow them to leave, the travellers usually returns in dry clothing and with a new spiritual understanding reflected in their gaze. These returnees often grow wealthier, more attractive, and more easygoing after the encounter. Other tales describe river travellers (usually men) chancing upon the goddess. She is inevitably grooming herself, combing her hair, and peering at herself in a mirror. Upon noticing the intruder, she flees into the water and leaves her possessions behind. The traveller then takes the invaluable items. Later, Mami Wata appears to the thief in his dreams to demand the return of her things. Should he agree, she further demands a promise from him to be sexually faithful to her. Agreement grants the person riches; refusal to return the possessions or to be faithful brings the man ill fortune. In parts of the Caribbean, in contrast, meeting with the water goddess prompts the mortal to flee, not the spirit. In the folklore of Trinidad and Tobago, for example (where she is called Maman Dlo), one can escape the deity by removing his left shoe, laying it upside down on the ground, and then running home backwards.

Sex

Mami Wata's association with sex and lust is somewhat paradoxically linked to one with fidelity as well. Male followers may encounter the goddess in the guise of a beautiful, sexually promiscuous woman, such as a prostitute. Should the man have sex with her, he often contracts venereal disease (this leads to the African slang term "Mami Wata" for prostitutes). A related tradition says that Mami Wata may seduce a favoured male devotee and then show herself to him following coitus. She then demands his complete sexual faithfulness and secrecy about the matter. Acceptance means wealth and fortune; rejection spells the ruin of his family, finances, and job. Nevertheless, Mami Wata has a strong phallic nature. She is frequently depicted with snakes, and even some female followers report sexual relations with the goddess in their dreams.

Healing and fertility

Another prominent aspect of the deity is her connection to healing. If someone comes down with an incurable, languorous illness, Mami Wata often takes the blame. This implies that she caused the illness, and that only she can cure it. Similarly, several other ailments may be attributed to the water goddess, from headaches to sterility. In fact, barren mothers often call upon the goddess to cure their affliction. However, many traditions hold that Mami Wata herself is barren, so if she gives a woman a child, that woman inherently becomes more distanced from the goddess's true nature. The woman will thus be less likely to become wealthy or attractive through her devotion to Mami Wata. Images of women with children often decorate shrines to the goddess.

Other associations

As other deities become absorbed into the figure of Mami Wata, the goddess often takes on characteristics unique to a particular region or culture. In Trinidad and Tobago, for example, Maman Dlo plays the role of guardian of nature, punishing overzealous hunters or woodcutters. She is the lover of Papa Bois, a nature deity.

Origins and development

West Africa possessed a multitude of water-spirit traditions before the first contact with Europeans. Most of these were regarded as female, and dual natures of good and evil were not uncommon, reflecting the fact that water is both an important means of providing communication, food, drink, trade, and transportation, but at the same time, it can drown people, flood fields or villages, and provide passage to intruders. Scholars have proposed several theories for Mami Wata's light-skinned, mermaid-like appearance. One theory is that she is based on the West African manatee; in fact, "Mami Wata" is a common name for this animal in the region. Another proposal is that the mermaid image came into being after contact with Europeans. The ships of traders and slavers often had carvings of mermaid figures on their prows, for example, and tales of mermaids were popular among sailors of the time. In addition, the goddess's light complexion and straight hair could be based on European features. On the other hand, white is traditionally associated with the spirit world in many cultures of Nigeria. The people of the Cross River area often whiten their skin with talcum or other substances for rituals and for cosmetic reasons, for example.

Spread through Africa

Liberian traders of the Kru ethnic group moved up and down the west coast of Africa from Liberia to Cameroon beginning in the 19th century. They spread their own water-spirit beliefs with them and helped to standardise conceptions in West Africa. Their perceived wealth also helped establish the goddess as one of good fortune. This period also introduced West Africa to what would become the definitive image Mami Wata. Circa 1887, a chromolithograph of a female Samoan snake charmer appeared in Nigeria. The poster, entitled Der Schlangenbandinger (The Snake Charmer) was originally created sometime between 1880 and 1887. It may have been intended to advertise a company of itinerate entertainers who were performing in Nigeria at the time, the girl depicted being one of the acts. Another proposed explanation is that the girl was the wife of a zookeeper from Hamburg. Alternately, Indian traders may have brought the image to Africa and then posted it in their shops. Whatever its source, the image – an enticing woman with long, black hair and a large snake slithering up between her breasts – caught the imagination of the Africans who saw it; it was the definitive image of the goddess. Before long, Mami Wata posters appeared in over a dozen countries. People began creating Mami Wata art of their own, much of it influenced by the lithograph.

Modern development

During the 20th century, the various West African cults came to resemble one another, especially in urban areas. The homogenisation was largely the result of greater communication and mobility of individuals from town to town and country to country, though links between the goddess's nature and the perils of the urban environment have also been proposed. This led to a new level of standarisation of priests, initiations of new devotees, healing rituals, and temples. The 20th century also led to Mami Wata's adoption in much of Central and Southern Africa. In the mid-1950s, traders imported copies of The Snake Charmer from Bombay and England and sold them throughout Africa. West African traders moved her to Lumbumbashi in the Democratic Republic of the Congo (DRC) in that same decade. There the goddess became a popular subject of Congolese folk painters, who placed her on the walls of bars, stores, and marketplace stalls. Senegalese traders and Congolese immigrants brought her cult to Zambia by the 1970s. Meanwhile, Congolese and Zambian artists spread Mami Wata images throughout public places in Zambia. Further diffusion occurred during the Biafran Secessionist War in Nigeria, which began in 1967. Refugees fled to all parts of West and Central Africa, bringing with them their belief in the water spirit. Modern DRC, Lesotho, South Africa, and Zambia today form the current boundary of the Mami Wata cult, albeit a blurred one. The pan-African water deity is assimilating native water spirits in this region, many of them serpent figures. Some examples are the Congolese-Zambian chitapo or nakamwale, the South African umamlambo, and the Sotho mamolapo or mamogashoa. The most visible evidence of this absorption is that many of these creatures are today viewed as mermaids rather than snakes, their traditional form. These adoptions often lead to confusion when aspects of more than one being become amalgamated under the name "Mami Wata". In Southern Africa, for example, Mami Wata is sometimes said to be able to fly around in the form of a tornado, an adopted aspect from the khanyapa water spirit.

Across the Atlantic

West African slaves brought tales of Mami Wata with them to the New World. The new environment only served to emphasize the slaves' connection to water. In Guiana, for example, slaves had to fight back swamp waters on the plantations they worked. She was first mentioned in Dutch Guiana in the 1740s in the journal of a colonist. According to the anonymous man, the slaves in the colony often claimed that "Watermama" appeared to them and told them to skip work or to perform sacrifices to avoid her wrath. Slaves worshipped the goddess by dancing and then falling into a trancelike state. In the 1770s, the Dutch rulers outlawed the ritual dances associated with the goddess. Amerindians of the colony adopted Watermama from the slaves and merged her with their own water spirits. By the 19th century, an influx of slaves from other regions had relegated Watermama to a position in the pantheon of the gods of the Surinamese Winti religion. When Winti was outlawed in the 1970s, her cult lost some of its importance in Suriname. Furthermore, a relative lack of freedom compared to their African brethren prevented the homgenisation that occurred with the Mami Wata cult across the Atlantic.

Mami Wata in popular culture

Mami Wata is a popular subject in the art, fiction, poetry, music, and film of the Caribbean and West and Central Africa. Visual artists especially seem drawn to her image, and both wealthier Africans and tourists buy paintings and wooden sculptures of the goddess. She also figures prominently in the folk art of Africa, with her image adorning walls of bars and living rooms, album covers, and other items. Mami Wata has also proved to be a popular theme in African and Caribbean literature. Authors who have featured her in their fiction include P. Chamoisseau, Alex Godard, Rose Marie Guiraud (Côte d'Ivoire), Flora Nwapa, and Véronique Tadjo (Côte d'Ivoire). Mamy-Wata is also the title of a satirical Cameroonian newspaper.

Other names

In addition to numerous variants of the name "Mami Wata" (Mammy Wata, Mamy Wata, Mami Water, Maame Water, Mamaissii, etc.), numerous cultures call the goddess by alternate names. What follows is only a partial list.
- Antilles: Maman de l'Eau, Maman Dlo
- Benin: Mawa-Lisu (sometimes seen as an aspect of Mami Wata)
- Democratic Republic of the Congo: La Sirène, Madame Poisson, Mamba Muntu
- Dominica: Maman de l'Eau, Maman Dlo
- French Guiana: Mamadilo
- Grenada: Mamadjo
- Guadaloupe: Maman de l'Eau, Maman Dlo
- Guyana: Watramama
- Jamaica: River Mama
- Martinique: Lamanté
- Nigeria (Igbo): Ezebelamiri, Ezenwaanyi, Nnekwunwenyi, Nwaanyi mara mma, Uhamiri
- Suriname: Watermama, Watramama
- Togo: Mawa-Lisu (sometimes seen as an aspect of Mami Wata)
- Trinidad and Tobago: Maman de l'Eau, Maman Dglo, Maman Dlo, Mama Glow In addition, several non-Mami Wata figures have taken on aspects of the goddess or show signs of being absorbed by the Mami Wata figure:
- Brazil: Yemanya (or Yemaya)
- Cuba: Yemanya (or Yemaya)
- Haiti: Erzulie, Simbi

References


- [http://server1.fandm.edu/departments/Anthropology/mami.html Bastian, Misty L., Ph.D. "Nwaanyi Mara Mma: Mami Wata, the More Than Beautiful Woman".]
- [http://www.arcyart.com/mami1.htm "Modernity and mystery: Mami Wata in African art".]
- van Stipriaan, Alex (2005). "Watramama/Mami Wata: Three centuries of creolization of a water spirit in West Africa, Suriname and Europe". Matatu: Journal for African Culture and Society 27/28, 323-337.

See also


- Jengu Category:African goddesses Category:Caribbean culture Category:Fertility goddesses Category:Fortune goddesses Category:Health goddesses Category:Love and lust goddesses Category:Sea and river goddesses Category:South American deities

rozstpy gry zrcznociowe spalacze tuszczu darmowe statystyki Cia










































:: RELATED NEWS ::



All Rights Reserved 2005 wikimiki.org