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| Équations Diophantiennes |
Équations diophantiennesEquation diophantienne Diophantienne (Equation) Diophantienne (Equation)
En mathématiques, une équation diophantienne est une équation entre deux polynômes à coefficients entiers avec un nombre quelconque d'inconnues. Un problème diophantien veut dire une équation diophantienne, où des nombres entiers mis pour les inconnues, fournissent les solutions qui satisfont l'équation.
L'exemple le plus simple :
Une équation diophantienne linéaire est une équation entre deux sommes de monômes de degrés zéro ou un.
Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante ().
Exemples d'équations diophantiennes
- : voir l'identité de Bézout ; ceci est une équation diophantienne linéaire.
- : pour n = 2, il existe beaucoup de solutions (x,y,z), les triplets pythagoriciens. Pour de plus grandes valeurs de n, le grand théorème de Fermat établit qu'il n'existe pas de solution en nombre entier x, y, z satisfaisant à l'équation ci-dessus.
- : (équation de Pell) qui est nommée, improprement, en l'honneur du mathématicien anglais John Pell. Elle fut étudiée par le mathématicien français Fermat.
- , où et : ce sont les équations de Thue, et sont, en général, résolvables.
Résolution d'une équation diophantienne
Soit , une équation diophantienne d'inconnues , on note l'ensemble de ces solutions.
si et seulement si le pgcd de et divise c :.
Supposons . On peut simplifier l'équation par . On a alors
:.
Considérons l'équation homogène
:. On a
:.
Soit
:
une solution particulière. On peut obtenir cette solution en considérant la relation de Bézout associée à et :
: car . En multipliant par , on a :
:.
On a alors
:
Relation avec la géométrie
La résolution d'une équation diophantienne permet d'obtenir un système du type
dans E. Un cas très fréquent est celui où A est un corps , et E l'algèbre des matrices n × n sur , ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur . On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :
:
:
Divisibilité
En algèbre commutative, c'est-à-dire dans une anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.
Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre
Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f.q = g.
On peut démontrer alors que « chaque racine engendre un facteur linéaire », ou plus formellement que : si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f ( a ) = 0, alors le polynôme ( X - a ) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Hörner.
Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors :
- Polynôme inversible : un polynôme P est inversible ssi il existe un polynôme Q tel que P.Q = 1.
::Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.
- Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.
:: Un polynôme du premier degré dont le coefficient devant X est 1 est irréductible.
:: Le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans , mais pas dans .
:: Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.
- Polynôme premier : P est un polynôme premier ssi , pour tout Q et S, si P ne divise pas Q alors P divise S.
:: Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalente mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.
- Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif ssi le pgcd de ses coefficients est 1.
- Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré
:: X 2 + 1 est scindé sur mais pas sur .
- Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré X - a i où tous les a i sont distincts.
- Polynômes premiers entre eux : P et Q sont premiers entre eux ssi : pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
- Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
Coefficients dans un corps commutatif
Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.
K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .
Constructions de nouvelles structures
Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.
Corps des fractions
Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X.
Corps de rupture
La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions.
Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X] , on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.
Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.
La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.
On plonge alors A dans cet anneau AP par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0.
Un corps est algébriquement clos quand, il est inutile de chercher des corps de rupture. C'est à dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de .
Autres opérations sur les polynômes
Polynôme dérivé
Sur A[X], si P est le polynôme défini par , le polynôme dP défini par si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P
L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau.
Division suivant les puissances croissantes
Si K est un corps, pour tout entier n, et pour tout P et Q de K[X], Q(0) non nul, il existe deux polynômes T et R tels que P = TQ + XnR avec deg(T) < n. Cette décomposition est unique.
Exemple :
donc 1 + 3X + 2X2 - 7X3 = (1 + X - 2X2)(1 + 2X + 2X2 - 5X3) + X4(9 - 10X)
Cette opération est très utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou celle d'un développement limité.
Polynôme à plusieurs indéterminées
Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X].
Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée dans chaque monôme.
:
est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées
Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.
Voir aussi
- Fonction polynôme
- Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)
- Équation polynomiale
- Dans le domaine de l'algèbre linéaire : Polynôme minimal, Polynôme caractéristique
- Dans le domaine de l'analyse : Polynôme d'interpolation
ja:多項式
ko:다항식
Nombre entierLes entiers relatifs, ou nombres entiers sont l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...) et leurs opposés (-1, -2, -3, ...). Plus rigoureusement on définit comme le quotient de par la relation si, et seulement si, , i.e. un couple représente l'intuitif entier relatif . Cet ensemble est noté , qui vient de l'allemand Zahlen (nombre).
Les entiers relatifs peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et comparés entre eux.
La principale raison de l'introduction des nombres négatifs est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme: a + x = b, où x est l'inconnue. Dans l'ensemble de entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution. Autrement dit, est un groupe. La vérification en est aisée. Clairement chaque classe de la relation admet un représentant ayant ou bien la forme (il s'agit des entiers négatifs ou nuls) ou bien la forme (il s'agit des entiers positifs ou nuls) l'élément étant le seul à admettre les deux formes. Ainsi peut être vu comme la donnée . Ainsi on vérifie aisément que est compatible avec l'addition. Il suffit à présent de voir que est un élément neutre et que et sont symétriques l'un de l'autre (i.e. )pour tout .
Toutes les lois habituelles de l'arithmétique sont valides dans , ce qui, en termes mathématiques, revient à dire que (, +,
- ) est un anneau commutatif.
Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini.
La branche des mathématiques qui traite des nombres entiers est la théorie des nombres.
Voir aussi
Construction des entiers relatifs
Catégorie:Nombre
ja:整数
ko:정수
th:จำนวนเต็ม
Somme (arithmétique)
Somme
La somme S de deux nombres A et B est le résultat de l'addition de ces deux nombres.
Somme des n premiers entiers
Découvert par Blaise Pascal à l'âge de 11 ans
Soit
Alors
Démonstration
S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n , alors
S = n + ( n - 1) + ... + 2 + 1 . Par somme :
S+S = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) d'ou :
2S = n(n+1) d'ou :
CQFD
Somme des n premiers carrés parfaits
Soit > S = \sum_^n i^2
Alors
Démonstration (par récurrence)
Initialisation à n=0
or d'ou l'hypothèse est verifiée au rang n=0
Conclusion de Récurrence
Démonstration
On sait que : pour n = 0
Or :
D'ou :
<>
<>
<>
<> CQFD
Somme des n premiers entier à la puissance 4
Soit
Alors
Voir aussi
- Produit (arithmétique)
Catégorie:MathématiquesCatégorie:Arithmétique
MonômeAu début XXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante.
En mathématiques, le terme de monôme recouvre plusieurs significations:
Algèbre
En algèbre, un monôme est un polynôme qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées précédé d'un coefficient; par exemple de la forme . Chaque polynôme se décompose en somme de monômes.
Exemples:
-
-
-
-
Logique
En logique, un monôme est une conjonction de littéraux. Une disjonction de monômes est une forme normale disjonctive.
Quelques exemples de monômes, avec un littéral:
Catégorie:Algèbre
Triplet pythagoricienUn triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels (a, b, c) vérifiant la relation de Pythagore :
:a2 + b2 = c2
Ces triplets sont les solutions de l'équation diophantienne
:x2 + y2 = z2
où x, y et z sont des nombres entiers positifs.
Les solutions s'écrivent sous la forme suivante :
:x = 2kmn
:y = k(m2 - n2)
:z = k(m2 + n2)
avec k, m et n des entiers tels que m-n est impair.
Les solutions peuvent aussi s'écrire sous la forme suivante :
:x = 2n(n + 1)
:y = 2n + 1
:z = 2n(n + 1) + 1
avec n un entier naturel. Ces formules ont l'avantage de n'avoir qu'une inconnue, et donc par exemple de retrouver x et y à partir de z uniquement.
Si on divise la première relation par c2, on obtient :
:
C’est-à-dire que les triplets pythagoriciens permettent de trouver les points à coordonnées rationnelles (donnés par ) sur le cercle trigonométrique.
Exemples
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (6,8,10) (20,21,29)
Voir aussi
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Fermat
Catégorie:Mathématiques
ja:ピタゴラス数
ko:피타고라스 수
Équation de Pell__TOC__
Définition générale
Une équation de Pell est toute équation diophantienne de la forme
où n est un entier positif différent d'un carré parfait. En l'appelant « diophantienne », nous disons réellement ce que nous avons l'intention de faire avec l'équation plutôt que d'en décrire une propriété intrinsèque : nous avons l'intention de chercher les solutions où x et y sont entiers. Dans le cas , une infinité de telles solutions de cette équation existent. Celles-ci produisent de bonnes approximations rationnelles de la racine carrée du nombre naturel n. Si a toujours une solution particulière, ceci n'est pas le cas de , par exemple l'équation , n'admet aucune solution entière.
Le nom de cette équation provient du mathématicien suisse Leonhard Euler qui attribua son étude de façon erronée à John Pell.
Par exemple, considérons la racine carrée de deux . Elle est souvent approchée par 1,414..., que certains peuvent incorrectement interpréter comme 1,41414141414..., ou 140/99. De la même manière, l'inverse de la racine carrée de deux à trois décimales est 0,707, qui suggère 0,70707070..., ou 70/99. Si 70/99 approche l'inverse de la racine carrée de deux, il découle que 99/70 approche la racine carrée de deux. Ainsi, la racine carrée de deux est comprise entre 140/99 et 99/70. La moyenne arithmétique de ces deux rationnels est 19601/13860. Ce nombre élevé au carré est 384199201/192099600. On voit que 2 fois le dénominateur 192099600 est 384199200, qui diffère du numérateur de seulement 1. p = 19601 et q = 13860 satisfont l'équation diophantienne . Toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait cette équation sera une bonne approximation raisonnable pour la racine carrée de deux.
Plus généralement, si n est un nombre naturel donné, alors toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait à l'équation de Pell
:
est une bonne approximation pour la racine carrée de n. Plus les nombres p et q sont grands, meilleure est l'approximation.
On peut voir que si (a, b) et (c, d) satisfont une équation de Pell du type , alors il vient
:
et
: .
Le mathématicien français Pierre de Fermat à démontré que p et q peuvent toujours être trouvés pour satisfaire une équation de Pell pour tout nombre naturel n qui n'est pas un carré parfait. Avec un ordinateur capable de calculer les grands nombres, il est facile ainsi de converger rapidement vers n'importe quelle racine carrée (donc irrationnelle) de n. Comme bonus, une équation de Pell peut toujours être résolue en un nombre fini d'étapes en calculant la représentation en fraction continuée de la racine carrée de n.
Cas x²-ny² = 1
On démontre alors :
:Si avec car n'est pas un carré parfait, alors
:l'équation de Pell admet, suivant la parité de , la solution minimale suivante :
- quand est pair, le couple où est la réduite de rang de
- quand est impair, le couple où est la réduite de rang de
:La réduite de rang de étant la fraction qui est irréductible.
:Les autres solutions avec sont obtenues en identifiant au développement de
:En particulier, , , etc.
:La formule de récurrence étant :
Exemples détaillés
- Recherche des solutions de
:Le développement en fraction continuée périodique de est ( et est pair)
:La réduite de rang de est
:La solution minimale est donc qui vérifie bien
:Les autres solutions sont , , etc.
- Recherche des solutions de
:Le développement en fraction continuée périodique de est ( et est pair)
:La réduite de rang de est
:La solution minimale est donc qui vérifie bien
:Les autres solutions sont , , etc.
- Recherche des solutions de
:Le développement en fraction continuée périodique de est ( et est impair)
:La réduite de rang de est
:La solution minimale est donc qui vérifie bien
:Les autres solutions sont , , etc.
- Recherche des solutions de
:Le développement en fraction continuée périodique de est ( et est impair)
:La réduite de rang de est
:La solution minimale est donc qui vérifie bien
:Les autres solutions sont , , etc.
Cas x²-ny² = -1
On démontre que si est une solution particulière, alors les couples vérifiant
: avec
sont les solutions générales.
Exemple
Une solution particulière de est
Les développements :
:
:
:
fournissent les solutions , et :
:
:
:
Bibliogaphie
- Jean Trignan; Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994, ISBN 2-909028-16-X
Pell (Equation)
Equation de Pell
Mathématicien ja:数学者
Catégorie:Mathématiques
-
Un mathématicien est un chercheur en mathématiques, ce qui recouvre donc une large palette de compétences et de pratiques très différentes, avec néanmoins en commun un même fond de vocabulaire, et une même exigence de rigueur.
Pour mériter d'être qualifié de mathématicien, il faut quand même être reconnu d'avoir contribué significativement au développement de la science mathématique.
Voir aussi
- Mathématiciens célèbres
John Pell
Pell, John
Pell, John
John Pell ( 1610 - 12 décembre 1685) était un mathématicien anglais.
Il est né à Southwick dans le Sussex. Il est entré au Trinity college à 13 ans.
Il s'intéressait aux équations diophantiennes. Il est connu pour l'équation de Pell.
France
La France est un pays dont le territoire métropolitain est situé en Europe occidentale. Elle est membre de l'Union européenne, ainsi que de la zone euro et de l'espace Schengen. Elle est membre permanent du Conseil de sécurité des Nations unies.
Historiquement et constitutionnellement, les valeurs qu'elle défend et auxquelles elle est très attachée se fondent sur les Droits de l'Homme.
Militairement, elle est membre de l'OTAN (elle s'est retirée en 1966 de l'organisation militaire intégrée pour y revenir partiellement en 2002) et dispose de la dissuasion nucléaire.
Géographie
Articles détaillés : Géographie de la France ~ Environnement en France
Environnement en FranceSi la France métropolitaine est localisée en Europe occidentale, la France possède aussi des territoires en Amérique du Nord, dans les Antilles, en Amérique du Sud, dans l'Océan Indien, dans le nord et le sud de l'Océan Pacifique, et en Antartique.
Histoire
Article détaillé : Histoire de France
La France actuelle occupe la majeure partie des anciennes Gaules celtiques, puis romaines, mais elle tire son nom des Francs, un peuple germanique qui se forma tardivement et s'installa sur les terres de l'Empire romain.
La majeure partie des régions constituant la France actuelle fut unifiée sous Clovis en 507 (réunion sous la domination franque, ou regnum francorum, des Alamans, des Burgondes et des Wisigoths au nord des Pyrénées). Ce « royaume des Francs » que l'on appelait encore la Gaule garda conscience de son unité et de sa romanité culturelle. Mais il fut partagé puis réuni à de multiples reprises au gré des héritages de la dynastie des Mérovingiens. Les parties de ce royaume s'appelaient Neustrie (Paris), Austrasie (Metz), Bourgogne (Chalon), Aquitaine (Toulouse).
Une deuxième dynastie franque, celle des Carolingiens, supplanta la précédente au milieu du et étendit considérablement le royaume des Francs, bientôt érigé en Empire. Après la mort de Charlemagne, l'empire des Francs fut partagé en trois : la Francia orientalis (à l'est), la Francia occidentalis (à l'ouest) et entre les deux l'éphémère Lotharingie. La partie orientale correspondait à ce qui devint plus tard l'Allemagne et la partie occidentale, à la France. C'est de 842, avec les serments de Strasbourg passés entre les petits-fils de Charlemagne, que date la source la plus ancienne attestant l'usage de deux langues différentes de part et d'autre du Rhin (le tudesque et le roman). Ce texte a donc souvent été présenté comme l'acte fondateur de la France (et de l'Allemagne).
Les descendants de Charlemagne — les Carolingiens — régnèrent sur les territoires correspondant à la France jusqu'en 987, date à laquelle le duc Hugues Capet fut couronné roi de France et fonda une nouvelle dynastie. Les descendants de ce dernier, les Capétiens, étendirent progressivement le domaine royal, consolidèrent l'État français à partir de la fin du et régnèrent sur la France jusqu'en 1792, lorsque Louis XVI fut déposé lors de la Révolution française, et durant un intermède de trente ans, de 1814 à 1848.
À la suite de la Révolution de 1789, la monarchie absolue fut renversée et la monarchie parlementaire fut mise en place les 3 et 14 septembre 1791 mais le 10 août 1792, celle-ci fut renversée.
La première République fut proclamée le 24 juin 1793 par la Constitution de l'an I mais celle-ci ne fut jamais mise en pratique. Le pouvoir était en réalité détenu par un gouvernement révolutionnaire. Le 22 août 1795 la Constitution de l'an III est promulguée, c'est le Directoire. Puis, le 13 décembre 1799, la Constitution de l'an VIII est promulguée instaurant le Consulat et une confusion des pouvoirs. Elle est suivi le 18 mai 1804 de celle de l'an XII, mettant en place le premier Empire. Sous le Premier Empire, la France contrôla brièvement la majeure partie de l'Europe mais s'épuisa dans sa lutte contre le Royaume-Uni, la Prusse, l'Autriche et la Russie.
À la fin du premier Empire, en 1814, la monarchie est rétablie avec la Charte du 4 juin 1814. Napoléon I revient au pouvoir d'avril à juin 1815 mais après cette période de Cent-Jours le roi, Louis XVIII, est réinstallé définitivement sur son trône. Le 14 août 1830, à la suite de la révolution des Trois Glorieuses, qui eut lieu les 27, 28 et 29 juillet 1830, une nouvelle Charte est promulguée.
En 1848, la monarchie est une nouvelle fois renversée et la deuxième République est promulguée le 4 novembre. C'est un régime présidentiel qui est instauré.
Le 2 décembre 1851, le président de la République, Louis-Napoléon Bonaparte, commet un coup d'État. Le 14 janvier 1852, il se fait nommer empereur sous le nom de Napoléon III. Sous le Second Empire, le pays connut les débuts de la deuxième industrialisation. Le Second Empire se termine en 1870 après la défaite, à Sedan, de la France contre la Prusse.
De mai à septembre 1870 c'est un retour au régime parlementaire.
En février 1871 est promulguée la troisième République. Celle-ci est un régime d'assemblée jusqu'aux lois constitutionnelles des 24-25 février et 16 juillet 1875. À la suite de ces trois lois constitutionnelles est mis en place un régime parlementaire orléaniste. Sous la Troisième République, la France possédait un vaste empire colonial (ouest de l'Afrique-Indochine). La III République prend fin le 10 juillet 1940 après le vote des pleins pouvoirs au maréchal Pétain pendant la Seconde Guerre mondiale. Celui-ci met en place les actes constitutionnels jusqu'en 1944.
Sortie victorieuse mais au prix de souffrances démographiques et économiques immenses de la Première, puis de la Seconde Guerre mondiale, la France a ensuite la chance de se trouver du côté ouest du rideau de fer pour bénéficier de l'expansion des Trente glorieuses.
À la suite de la Seconde Guerre mondiale, la quatrième République est promulguée le 27 octobre 1946 mais celle-ci n'arrive pas à faire face à la décolonisation de l'Indochine et de l'Algérie principalement.
La constitution de la V République, rédigée sous l'influence de Charles de Gaulle et de Michel Debré, est adoptée 4 octobre 1958. Elle met en place une république semi-parlementaire qui s'avère mieux résister aux instabilités que les républiques parlementaires précédentes.
Depuis les années 1960, la réconciliation, puis la coopération avec l'Allemagne ont permis à la France de jouer un rôle de moteur dans la construction européenne, notamment avec la Communauté économique européenne. Aujourd'hui, elle est l'un des principaux pays de l'Union européenne, partisane d'une Europe politique forte.
Politique
Article détaillé : Politique de la France
La France est une République démocratique à régime semi-présidentiel.
Avant 1962, le Président de la République française était élu au suffrage universel indirect par un collège électoral élargi. Celui-ci était élargi pour éviter la prépondérance du pouvoir législatif sur le pouvoir exécutif qui s'était produit sous IV République et qui avait provoqué le blocage des institutions. En novembre 1962, le président de la République a demandé par référendum qu'il soit élu au suffrage universel direct, en utilisant l'article 11 de la Constitution et non l'article 89 de celle-ci. L'article 11 permet de soumettre au référendum des lois sur les pouvoirs publics, sur l'organisation des institutions ou encore sur les traités internationaux tandis que l'article 89 permet de soumettre une révision constitutionnelle au peuple mais après l'accord du Parlement réuni en Congrés. Ce choix a entrainé le renversement du gouvernement Pompidou par une motion de censure. Cette motion de censure est la seule de la V République à avoir réussi.
Dans la Constitution de la V République, le pouvoir exécutif est renforcé au détriment du pouvoir législatif.
Le président a acquis des pouvoirs propres tels que le droit de dissolution de l'Assemblée nationale (article 12 de la Constitution), le droit de soumettre au peuple un référendum (article 11 de la Constitution), le pouvoir de nommer le Premier ministre (article 8 de la Constitution) ou encore le droit de message au Parlement (article 18 de la Constitution).
En ce qui concerne le gouvernement, celui-ci détermine et mène la politique de la nation. Il dispose également du pouvoir réglementaire lui permettant de faire adopter des lois. Il fixe également les 3/4 des ordres du jour à l'Assemblée Nationale.
Depuis la réforme constitutionnelle de 2002, le Président de la République est élu pour cinq ans au suffrage universel direct. Il nomme le Premier ministre.
Le Parlement est constitué de l'Assemblée nationale, réunissant 577 députés, et du Sénat, comprenant actuellement 331 sénateurs (346 en 2010) élus pour six ans au suffrage indirect et renouvelé de moitié tous les trois ans (à partir de 2010). Les Français de l'étranger voient leurs intérêt défendus auprès du Parlement par l'Assemblée des Français de l'Étranger.
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Voir aussi : Liste des présidents de la République française
Économie
Article détaillé : Économie de la France
La France est la 4 puissance économique mondiale, derrière les États-Unis, le Japon et l'Allemagne avec un PIB de 2450 milliards de dollars (valeur 2004 au prix et taux de change courants). Ce montant est très proche de celui de la Grande-Bretagne (2124,5 milliards de dollars) qui est juste derrière en 5 ème place, le classement variant selon les taux de change entre le dollar, l'euro et la livre sterling. Toutefois, son rang européen pour le PIB par habitant n'est que 9 sur 15 d'après Eurostat, l'organe officiel des statistiques européennes.
Elle est le quatrième exportateur mondial, le premier pour les services, le second pour les produits agricoles et agro-alimentaires, derrière les Etats-Unis. Elle est la première destination touristique mondiale avec plus de 80 millions de visiteurs par an.
L'économie française est principalement une économie de services, que certains estiment en voie de désindustrialisation. Le secteur tertiaire occupe 72 % de la population active, tandis que le secteur primaire (agriculture, pêche) n'en représente plus que 4 % et le secteur secondaire (industrie) 24 %.
Le taux de chômage a progressé de 0,9 % en janvier 2005 pour s'établir à 2,716 millions de demandeurs d'emploi (10 % de la population active). Ce chômage structurel est l'un des plus élevés d'Europe, alors que depuis 30 ans ce problème est officiellement la priorité gouvernementale quel que soit le parti au pouvoir. Le chômage touche particulièrement les Français d'origine étrangère.
Le déficit commercial pour avril 2005 est de 3,2 milliards d'euros. Entre avril 2004 et avril 2005, il représente 17,4 milliards d'euros (source : Le Monde, 10 juin 2005).
La dette publique selon les critères de Maastrichts se monte à 1066 milliards d'euros pour 2004 soit 67 % du PIB et le déficit annuel à 3,0 % du PIB. Selon les nouvelles normes comptables internationales qui imposent de retraiter tous les engagements hors bilan comme de la dette présente, elle serait de 2 000 milliards d'euros.
Le déficit budgétaire français se creuse en avril 2005 : les dépenses ont augmenté et s'établissent à 108,08 milliards d'euros ; les recettes ont diminué à 77,520 milliards d'euros. D'après le ministère des finances, le déficit s'établit à 42,250 milliards d'euros en avril 2005.
Voir aussi : Liste des grandes entreprises françaises
Démographie
Article détaillé : Démographie de la France
Démographie de la France (chiffres de la FAO, 2005). Population en milliers d'habitants.]]
Religion
Voir aussi : :Catégorie:Religion et mouvement religieux en France
- Par principe, l'État s'interdit en France les recensements à caractère religieux. L'une des études faisant foi dans ce domaine est celle menée tous les trois ans par l'institut CSA. En 2004, l'enquête sur un échantillon de 18 068 personnes, indique que 27 % des Français se déclarent athées et 64,3 % catholiques (69 % en 2001), soit environ 30 millions d'adultes contre seulement 4 millions d'adultes pour toutes les autres religions. La majorité de ceux qui se déclarent catholiques ne sont pas pratiquants.
- Un sondage IFOP d'avril 2004 indique que 44 % des Français déclarent ne pas croire en Dieu. Il n'étaient que 20 % en 1947.
Culture
Articles détaillés : Culture de la France ~ Langues régionales
|+ Fêtes et jours fériés
! Date !! Nom !! Remarques
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| Jour de l'an
| Sainte Marie, mère de Dieu et reine du monde (Circoncision de Jésus-Christ, avant le Concile Vatican II)
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| Lundi suivant le dimanche de Pâques.
| Lundi de Pâques
| Pâques est le premier dimanche qui suit la première pleine lune de printemps.
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| || Fête du Travail
| Traditionnellement le jour de nombreuses manifestations syndicales et politiques en France
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| 8 mai
| Commémoration de la capitulation allemande en 1945
| Commémoration de la fin de la Seconde Guerre mondiale en Europe.
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| Jeudi 40 jours après Pâques || Ascension
| Jésus ayant rassemblé ses fidèles rejoint son père aux cieux
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| Septième dimanche après Pâques et le lundi suivant.
| Pentecôte (et Lundi de Pentecôte)
| Descente du Saint-Esprit parmi les apôtres.
Même si cette journée est encore reconnue comme fériée, le Lundi de Pentecôte a été choisi (sauf arrêté ou arrangement salarial) comme journée de solidarité et est donc depuis 2005 considéré comme travaillé (sans rémunération)
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| 14 juillet || Fête nationale
| Commémoration de la prise de la Bastille en 1789 et de la Fête de la Fédération du 14 juillet 1790.
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| 15 août || Assomption
| Transport au ciel de la très sainte Vierge Marie
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| Toussaint || Fête de tous les saints
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| 11 novembre
| Commémoration de l'armistice de 1918
| Commémoration de la fin de la Première Guerre mondiale
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| 25 décembre || Noël || Naissance de Jésus-Christ
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| 26 décembre || Saint Étienne|| Jours fériés supplémentaires spécifiques aux départements de la Moselle, du Bas-Rhin et du Haut-Rhin
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| Avant-veille de Pâques || Vendredi saint
| rowspan="2" | Jours fériés supplémentaires spécifiques aux départements de la Moselle, du Bas-Rhin et du Haut-Rhin
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Pierre de Fermat
Pierre de Fermat était un juriste et mathématicien français (« le prince des amateurs »), né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres.
Biographie
Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé, bourgeois et second consul de la ville comme marchand de cuir et autres denrées. Il a été éduqué à la maison par sa mère, Claire Delong, professeur de mathématiques. Par la suite, il fait des études de droit à Toulouse, Bordeaux et Orléans. Dès 1631, il achète une charge de conseiller du roi à la Chambre des Requêtes du Parlement de Toulouse. Avec fidélité et assurance dans cet emploi de magistrat, il remplit sa tâche et grimpe rapidement les échelons vers un emploi de notable à la Chambre Criminelle et la Grand’ Chambre et enfin, membre de la chambre de l'édit de Castres (1648). C'est à ce dernier poste qu'une particule de noblesse s'ajoute à son nom et il se nomme dorénavant Pierre de Fermat.
Ses talents de mathématiciens se sont exercés à part de son travail de magistrat puisque les seuls grands écrits que l'on a retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels lArithmetica de Diophante. A ses amis mathématiciens (Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne), il demande de démontrer par la preuve les théories qu'il avance ce qui ravive l'ire des autres envers lui. En 1652, la fameuse peste qui ravage la France s'attaquera à lui mais il y fera face et la combattra. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème est exposé au public et l'on devra attendre jusqu'en 1994 pour qu'il soit prouvé par le mathématicien anglais Andrew Wiles.
Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique.
Contributions
Précurseur du calcul différentiel, il est le premier à utiliser la formule (sinon le concept) du nombre dérivé. Il pose avec Blaise Pascal les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres ».
Il est très connu pour deux « théorèmes » :
- le « petit théorème de Fermat » ;
- le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n'était qu'une conjecture et l'est resté durant de longs siècles de recherches fiévreuses.
Petit théorème de Fermat
Si p est un nombre premier et n un entier naturel, alors est divisible par p.
Voir aussi : Théorème d'Euler
Théorème de Fermat
Pour qu'un nombre premier impair soit la somme de deux carrés, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo 4.
Démonstration ici.
Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux
Tout entier s'écrit :
- comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
- comme somme d'au plus 4 nombres carrés
- comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
- etc.
- nombres triangulaires : (Le nième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls)
- nombres carrés : (Le nième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
- nombres pentagonaux : (Le nième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3)
- nombres polygonaux d'ordre : (Le nième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo m-2)
Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.
Grand théorème de Fermat (ou Dernier théorème de Fermat)
Il n'existe pas d'entiers strictement positifs , , vérifiant l'équation lorsque est un entier tel que .
Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.
Méthode de la descente infinie
Fermat est par ailleurs l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie. Elle consiste à démontrer que si une proposition P est vraie à un rang r, elle l'est à un rang q inférieur à r. Si on aboutit à une contradiction, on démontre alors que P est fausse. Cette méthode très astucieuse a été utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas particulier n = 4.
Principe de Fermat (optique)
Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui minimise (ou maximise) le temps de parcours.
Voir aussi
Articles connexes
- Nombre de Fermat
- 4 294 967 297
Liens externes
- http://serge.mehl.free.fr/cabrijava/mir_convex.html Page consacrée au principe de Fermat]
Bibliographie
- Paul Féron, Pierre de Fermat : un génie européen (avec le concours de Jacques Arlet, Henri Gilles, Georges Passerat... [et al.]). Toulouse : Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002. 224 p.-[4] p. de pl. 24 cm. ISBN 2-909628-83-3.
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
Fermat, Pierre de
ja:ピエール・ド・フェルマー
ko:피에르 드 페르마
Ensemblecatégorie:Mathématiques
Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout.
Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF ( Zermelo-Fränkel ), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB ( Neumann - Gödel - Bernays ) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.
Ensembles, éléments et appartenance
Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ».
Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn.
Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs.
Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis ( c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments ).
Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit :
:: x ∈ A
Cet énoncé peut se lire :
- « x appartient à A »,
- « x est élément de A »,
- « x est dans A »,
- « A a pour élément x »,
- « A possède x »,
- ou « A contient x ».
Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ».
Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble :
:« z A » signifie « z n’appartient pas à A ».
Egalité de deux ensembles
Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments :
:
où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre ( voir Axiome d'extensionnalité ).
Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu.
Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6.
Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.
Singletons et paires
Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément :
:
L’existence de cet ensemble est garantie par l’ Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « » ( lire « singleton a » ).
Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments :
:
où « V » désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l' Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’ Axiome d'extensionnalité. Il est noté « » ( lire « ensemble a, b » ).
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, n’est autre que le singleton ;
- si a et b sont distincts, est appelé paire de a et de b.
Par exemple, représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 ( voir l’article : « Paire » ).
Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants :
SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément :
:
SP2 : deux paires et sont égales ssi a 1 est égal à b 1 et a 2 à b 2 , ou si a 1 est égal à b 2 et a 2 à b 1 :
:
::
Définition d'un ensemble en extension
La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par . L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité.
Notons les points suivants :
- Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble , bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
- L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, = .
- La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble :
: toujours avec le même exemple, = = .
Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : = .
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble s’écrit plus simplement .
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.
Définition d’un ensemble en compréhension
On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété.
En notation symbolique :
:
L’ensemble E est noté « » ( lire « l’ensemble des x tels que la condition P ( x ) soit vraie » ).
Par exemple :
- désigne l’ensemble des nombres réels,
- désigne l’ensemble de tous ceux qui ont des cheveux blonds,
- et note l’ensemble de tous les chiens.
L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ».
La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle.
Cette notation permet certaines variantes :
- désigne l’ensemble des x déjà éléments de A qui vérifient la condition P. Par exemple, si est l’ensemble des nombre entiers, alors est l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de séparation ).
- désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, est encore l’ensemble de tous les entiers pairs ( voir Axiome de remplacement ).
- est la forme la plus générale de la définition en compréhension.
: Par exemple, est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens.
Notons que s’il est toujours possible de définir un ensemble à partir d’une propriété caractéristique, rien ne garantit que l’ensemble ainsi défini puisse exister pour autant. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ).
Voir aussi
- Théorie des ensembles
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations
ja:集合
ko:집합
PGCD ja:最大公約数 th:ตัวหารร่วมมาก
catégorie:Arithmétique
En mathématiques, le plus grand commun diviseur (abrégé PGCD) de deux entiers qui ne sont pas tous deux nuls, est le plus grand nombre entier naturel qui divise les deux nombres.
Le PGCD de a et b est souvent noté : PGCD(a,b) ; pgcd(a,b) ou a∧b.
Par exemple, pgcd(12,18) = 6, pgcd(-4,14) = 2 et pgcd(5,0) = 5. Le PGCD de 0
et 0 est par convention égal à 0.
Deux nombres entiers sont dits « premiers entre eux » si leur plus grand commun diviseur égale 1. Par exemple, 9 et 28 sont premiers entre eux.
Le plus grand commun diviseur est utile pour réduire les fractions. En divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction a/b par le PGCD de a et b, on obtient une fraction irréductible a/b. Le PGCD de a et b vaut 1.
Considérons par exemple
:42/56 = 3/4
Nous avons divisé le numérateur et le dénominateur par 14, le plus grand commun diviseur de 42 et 56.
Calcul du PGCD
On pourrait calculer le PGCD de deux nombres en écrivant leur décomposition en produit de facteurs premiers et en considérant le produit de certains facteurs premiers communs, mais dans la pratique on n'utilise jamais cette méthode, parce qu'elle est trop lente.
Une méthode beaucoup plus efficace est l'algorithme d'Euclide.
L'algorithme d'Euclide étendu permet de calculer aussi des nombres entiers relatifs p et q tels que :
ap + bq = pgcd(a,b).
Propriétés
Chaque diviseur commun de a et b divise le PGCD de a et b.
Le plus grand commun diviseur des entiers non tous deux nuls a et b peut être défini également comme le plus petit nombre entier strictement positif d qui peut s'écrire sous la forme
ap+bq où p et q sont des nombres entiers.
Si d est le PGCD de a et b, et a divise le produit bc, alors a/d divise c.
Si m est un entier quelconque, alors pgcd(ma,mb) = m pgcd(a,b) et pgcd(a+mb,b) = pgcd(a,b).
Si m est un diviseur commun différent de zéro de a et b, alors pgcd(a/m,b/m) = pgcd(a,b)/m.
Le PGCD de trois entiers peut être calculé par :
:pgcd(a,b,c) = pgcd(pgcd(a,b),c) = pgcd(a,pgcd(b,c))
Le PGCD de a et b est relié au plus petit commun multiple, ppcm(a,b) par la relation :
:pgcd(a,b)
- ppcm(a,b) = ab
De plus, les propriétés suivantes de distributivité sont vérifiées :
:pgcd(a,ppcm(b,c)) = ppcm(pgcd(a,b),pgcd(a,c))
:ppcm(a,pgcd(b,c)) = pgcd(ppcm(a,b),ppcm (a,c))
Géométriquement, pgcd(a,b) est le nombre de points de coordonnées entières sur le segment d'extrémités les points (0,0) et (a,b), sans compter (0,0).
PGCD dans les anneaux commutatifs
Le plus grand commun diviseur peut être défini plus généralement pour les éléments d'un anneau commutatif arbitraire.
Si A est un anneau commutatif, et a et b sont dans A, alors un élément c de A est appelé un diviseur commun de a et b s'il divise à la fois a et b (c'est-à-dire s'il existe des éléments x et y de A tels que cx = a et cy = b).
Si c est un diviseur commun de a et b, et chaque diviseur commun de a et b divise c, alors c est appelé un plus grand commun diviseur de a et b.
Notons que le PGCD de a et b n'est pas unique, | | |
