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Algèbre Abstraite

Algèbre abstraite

L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, est la branche des mathématiques, qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite est utilisé pour la distinguer de l'algèbre élémentaire qui enseigne les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement les structures algébriques ne sont pas étudiées séparément. Aussi l'algèbre abstraite possède beaucoup de connexions avec toutes les branches des mathématiques. Bases : Théorie des ensembles :
- Notion d'ensemble :
- Sous-ensemble :
- Opérations sur les ensembles :
- Produit cartésien : Correspondances et Relations :
- Relation binaire :
- Fonctions et applications :
- Relation ternaire : Cardinalité : Loi de composition :
- Loi interne :
- Loi externe Structures algébriques : Magma : Quasigroupe : Monoïde : Semigroupe : Groupe : Morphismes : Anneaux : Corps : Tribu (σ-algèbre) Théorie des sous-ensembles flous : Sous-ensemble flou : Opérateur flou Catégorie:Algèbre ko:추상대수학 th:พีชคณิตนามธรรม

Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries


- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre


- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités


- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives


- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)


- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
  - Aire de surfaces usuelles
  - Solides usuels
  - Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques


- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes


- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
  - :en:Clay Mathematics Institute
  - Association Bourbaki
  - Femmes et mathématiques
  - Société Mathématique de France
  - Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
  - Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
  - Numération romaine
- Tables
  - Table d'addition
  - Table de multiplication
  - Table des bases
  - Table des diviseurs
  - Table des facteurs premiers
  - Table des symboles mathématiques
  - Table de constantes mathématiques
  - Table de limites
  - Table de dérivées
  - Table de primitives
  - Table d'intégrales

Liens internes


- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
  - Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes


- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
- ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Théorie des ensembles

ja:公理的集合論
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques et de l'informatique créée principalement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les ensembles et leurs éléments. Un ensemble est vu comme une collection d'objets, appelés les éléments (ou membres) d'un ensemble. En mathématiques, tout objet mathématique (y compris un ensemble) peut être élément d'un ensemble. Initialement controversée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale des mathématiques modernes, puisque cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés. Actuellement, on sépare la théorie des ensembles en deux parties : la théorie naïve des ensembles et la théorie axiomatique des ensembles. La théorie naïve des ensembles, également qualifiée « d'intuitive », a été développée en premier lieu. Par la suite, il s'est avéré que supposer que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell. Pour répondre à ces problèmes, la théorie des ensembles a été reconstruite, en utilisant cette fois une approche axiomatique.

Voir aussi


- Algèbre abstraite
- Ensemble-produit
- Fondation des mathématiques
- Théorie naïve des ensembles
- Théorie axiomatique des ensembles
- Opérations ensemblistes
  - Produit cartésien

Sous-ensemble

catégorie:Théorie des ensembles En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B si tout élément de A est un élément de B.

Ensemble vide

L’Axiome de l'ensemble vide affirme l’existence d’un ensemble sans aucun élément, dit ensemble vide. En notation symbolique : : \exists E / \;\forall x , x \,\not\in \,E Comme un ensemble est déterminé complètement par ses éléments, l’ensemble vide est unique (conséquence de l’Axiome d'extensionnalité). Il est noté « Ø », parfois « ». En notation symbolique, nous obtenons : : \forall A , ( A = \varnothing ) \Leftrightarrow ( \forall x , x \,\not\in \,A )

Ensemble universel

Symétriquement à l’ensemble vide qui ne contient rien, il serait utile de disposer d’un ensemble universel, ou référentiel, qui contiendrait tout, ne serait-ce que comme cadre de référence pour les opérations concernant les ensembles. La première solution qui vient à l’esprit est de définir un « ensemble de tous les ensembles ». Mais l’existence d’un tel ensemble mène à des contradictions tel que le Paradoxe de Russell. À partir de là, deux attitudes sont possibles :
- nous pouvons considérer que l' « ensemble de tous les ensembles » n’existe pas et nous contenter, comme ensemble universel, d’un ensemble de référence suffisamment grand pour contenir tous les objets susceptibles d’intervenir; il est important de comprendre que cet ensemble universel n’est défini que temporairement, dans un contexte donné. Ce n’est qu’un référentiel relatif. :Par exemple, si nous nous intéressons uniquement aux propriétés des nombres réels, alors nous pouvons prendre \ _\mathbb R , ensemble des nombres réels, comme référentiel.
- nous pouvons aussi considérer que l' « ensemble de tous les ensembles » existe, mais que ce n’est pas un ensemble ; d’un point de vue axiomatique, on se place alors dans une théorie des ensembles avec classes. Dans une telle théorie, tous les objets mathématiques sont des classes, qui se répartissent : :
- en ensembles (les classes éléments d’autres classes) ; :
- et en univers (les classes qui n’appartiennent pas à d’autres classes). :On peut alors utiliser l’univers des ensembles comme référentiel absolu, avec précaution toutefois, car certaines opérations n’ont pas de sens avec les univers (par exemple, un univers n’a ni cardinal, ni ensemble des parties...). Les deux attitudes n’entraînent pas de différences sensibles au niveau de la théorie naïve des ensembles. Dans tous les cas, nous noterons « Ω » le référentiel. D’autres notations existent, par exemple « U » (nous n’utiliserons cependant pas cette notation, afin d’éviter tout risque de confusion avec le symbole de l’opération ensembliste de réunion).

Inclusion. Sous-ensembles et sur-ensembles

Soient deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus dans B si tout élément de A est nécessairement un élément de B. En notation symbolique, si l’inclusion est notée « ⊆ » : : (A \subseteq B) \Leftrightarrow [\forall x , (x \in A) \Rightarrow (x \in B)] où « ⇒ » désigne l'implication logique. « A ⊆ B » peut aussi se lire :
- « A est contenu dans B »,
- « A est une partie de B »,
- ou « A est un sous-ensemble de B ». et peut aussi s'écrire « B ⊇ A », qui se lit :
- « B inclut A »,
- « B contient A »,
- « B est une extension de A »,
- ou « B est un sur-ensemble de A ». Un sous-ensemble A d'un ensemble B peut être défini par sa fonction caractéristique   \chi_A \ _ , définie par \chi_A ( x ) vaut 1 si x est élément de A , et 0 sinon : : \forall x \in B , [( \chi_A( x) = 1 ) \Leftrightarrow ( x \in A )] \wedge [( \chi_A( x) = 0 ) \Leftrightarrow ( x \,\not\in \,A )] On appelle aussi cette fonction l'indicatrice de A dans B. Notons que nous pouvons aussi définir en compréhension des sous-ensembles : si P est une proposition, alors est un sous-ensemble de A.

Inclusion large et inclusion stricte. Sous-ensembles propres

Remarquons qu'un ensemble est toujours sous-ensemble de lui-même ( voir proposition 2 ci-dessous ). Il peut être nécessaire d'exclure ce cas et de ne considérer que des sous-ensembles différents de l'ensemble lui-même. C'est pourquoi on définit une inclusion stricte, notée « ⊂ » . Un ensemble A est strictement inclus dans un ensemble B si et seulement si A est inclus dans B sans lui être égal. En notation symbolique : : (A \subset B) \Leftrightarrow [(A \subseteq B) \wedge (A \ne B)] où Λ est le symbole du ET logique. L'inclusion habituelle est alors qualifiée d’inclusion large, mais ce qualificatif est le plus souvent sous-entendu. Note : beaucoup utilisent les symboles « ⊂ » et « ⊃ » pour les inclusions larges (parce que plus faciles à écrire), mais ne disposent pas alors de notation spécifique pour les inclusions strictes. Dans cette encyclopédie, « ⊆ » et « ⊇ » sont utilisés pour les inclusions (larges) alors que « ⊂ » et « ⊃ » sont réservés aux inclusions strictes. Nous avons vu qu'à part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l'ensemble vide. Ces deux sous-ensembles sont parfois dits « triviaux ». Par opposition, les autres sous-ensembles sont appelés sous-ensembles propres. Comme exemple, supposons que :
- A est l'ensemble des nombres réels,
- B est l'ensemble des nombres entiers,
- C est l'ensemble des entiers impairs,
- et D l'ensemble des présidents des États-Unis depuis leur fondation. Alors C est un sous-ensemble de B, B est un sous-ensemble de A, et C est un sous-ensemble de A. Notons que tous les ensembles ne sont pas comparables du point de vue de l'inclusion. Ainsi, dans notre exemple, A n'est pas un sous-ensemble de D, ni D de A.

Propriétés de l'inclusion

Nous avons la : :PROPOSITION 1 : L' ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble. :En notation symbolique : : \forall A , \;\varnothing \subseteq A Démonstration : Pour tout ensemble A, nous devons démontrer que Ø est un sous-ensemble de A. Cela revient à démontrer que tous les éléments de Ø sont des éléments de A. Mais il n’existe pas d’éléments de Ø. Pour les mathématiciens expérimentés, l' inférence « Ø n’a pas d’éléments, donc tous les éléments de Ø sont des éléments de A » est triviale, mais cela peut être dérangeant pour le débutant. Comme Ø n’a pas du tout d’élément, comment des éléments qui n’existent pas, peuvent-ils être éléments de quelque chose d’autre? Il peut être utile de raisonner différemment (par l’absurde). Si nous avions supposé que Ø n' était pas un sous-ensemble de A, nous aurions pu trouver un élément de Ø n’appartenant pas à A. Comme il n’existe pas d’élément de Ø, c’est impossible et donc Ø est par conséquent un sous-ensemble de A. Nous avons aussi la : :PROPOSITION 2 : Tout ensemble est inclus dans lui-même. :En notation symbolique : : \forall A , \;A \subseteq A La preuve en est évidente : (indication : remplacez B par A dans la définition de l’inclusion). C’est aussi le cas de la : :PROPOSITION 3: Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de A. :En notation symbolique : : \forall A , \forall B , (A = B) \Leftrightarrow [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)] Enfin, les inclusions entre les ensembles A, B et C ci-dessus illustrent la : :PROPOSITION 4: Pour trois ensembles quelconques A, B et C, si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de C, alors A est un sous-ensemble de C. :En notation symbolique : : \forall A , \forall B , \forall C , [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq C)] \Rightarrow (A \subseteq C) Là aussi, la preuve en est un exercice facile. En anticipant sur la notion de relation d'ordre, nous pouvons constater que les propositions ci-dessus montrent que l'inclusion est un ordre partiel dans l’ensemble universel Ω et que Ø en est un plus petit élément.

Ensemble des parties

Pour chaque ensemble E, nous pouvons définir un ensemble P dont les éléments sont les sous-ensembles de E : : \forall E , \exists \,P / \;\forall x , (x \in P) \Leftrightarrow (x \subseteq E) L’existence de cet ensemble est garantie par l’axiome de l'ensemble des parties, et son unicité par l’axiome d'extensionnalité. Il est appelé ensemble des parties de E, et noté habituellement « \ _\mathcal P(E) » ou « \ _\mathfrak P (E) » ( lire « P de E » ).
Par exemple si A = , alors \ _\mathfrak P (A) = . Quel que soit l’ensemble E, l’inclusion munit \ _\mathfrak P (E) d’un ordre partiel, voire total si E a moins de deux éléments.

Voir aussi


- Théorie des ensembles
- Notion d’ensemble
- Opérations sur les ensembles
- Produit cartésien
- Correspondances et Relations ja:部分集合 ko:부분집합

Produit cartésien

En mathématiques, la notion de produit cartésien repose avant tout sur celle de couple, ou plus généralement de multiplet. Cette notion permet d'ordonner implicitement les éléments d'un ensemble. Il est alors possible d'introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne).

Notion de couple

Propriété fondamentale

Pour deux objets a et b donnés, le couple contenant a et b est noté « ( a, b ) ». Nous allons suivre le point de vue historique et considérer dans un premier temps cette notion comme une notion primitive. Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple ( a, b ). L'essence de la notion de couple réside dans la propriété fondamentale suivante : : Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles. : ou : :
\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \, [\ ( a_1 , a_2 ) = ( b_1 , b_2 ) \ ] \Leftrightarrow [\ ( a_1 = b_1 ) \wedge ( a_2 = b_2 ) \ ] \,
Cette propriété est à rapprocher du lemme SP2 d'égalité des paires (voir l'article « Ensemble »), pour lesquelles b 1 et b 2 peuvent être permutés par rapport à a 1 et a 2 , ce qui n'est pas le cas pour les couples. Ceci est confirmé par le corollaire suivant : : Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques. : ou : :
\forall\ a , \forall\ b , \, [\ ( a , b ) = ( b , a ) \ ] \Leftrightarrow [\ a = b \ ] \,
Par conséquent:
- pour un couple ( a , b ) :   b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
- pour une paire :   = Les notions de couple et de paire ne doivent donc pas être confondues : :
\forall\ a , \forall\ b , \, ( a , b ) \ne \ \,
L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition : : Si a est différent de b , le couple ( b , a ) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple ( a , b ).

Définition

La propriété fondamentale des couples ne suffit pas en elle-même à définir la notion de couple. C'est pourquoi la définition suivante a été proposée (Wiener, 1914) : : pour tout objet a et tout objet b, le couple ( a , b ) est la paire formée par le singleton et la paire : : ou : :
\forall a , \forall b , ( a , b ) = \
Il est aisé de vérifier que les couples ainsi définis satisfont bien à la propriété fondamentale. D'autres définitions de la notion de couple sont possibles, par exemple en posant ( a, b ) = . Mais ces définitions n'apportent rien de plus et sont incompatibles avec celle de Wiener ; c'est pourquoi on conserve cette dernière au bénéfice de l'antériorité. Par ailleurs, tels qu'ils sont définis, les couples ne peuvent avoir pour composantes que des ensembles, pas des univers. Nous verrons plus loin un moyen de tourner cette limitation.

Produit cartésien de deux ensembles

Définition

Pour tout objet A et tout objet B, il existe un ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante vient de A et la seconde de B : :
\forall\ A , \forall\ B , \exists\ P /\ \forall\ x , \forall\ y , \, [\ ( x \in A ) \wedge ( y \in B ) \ ] \Rightarrow [\ ( x , y ) \in P \ ] \,
L'existence de cet ensemble découle de celle de \ _\mathfrak P [ \ _\mathfrak P ( A \ _ B ) ]   ( où \ _\mathfrak P ( E ) désigne l' ensemble des parties de E ). L'unicité de P   pour A et B donnés est garantie par l' Axiome d'extensionnalité. Cet ensemble est noté « A x B » (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B : :
A \times B = \left \

Exemple

Si A est l'ensemble et B l'ensemble , alors le produit cartésien des ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant : :.

Propriétés


- En règle générale, B x A ≠ A x B. Plus précisément : A x B = B x A ⇔ A = B. Remarque : A x A est noté A2 (lire « A au carré ») et appelé carré cartésien de A : :
A^2 = \
A2 ne doit pas être confondu avec ΔA (lire « delta A »), diagonale de A : :
\Delta A = \
Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide ou se réduit à un singleton.
- Le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide : :
\forall\ A ,\ \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing \,

- Les sous-ensembles d'un produit cartésien sont appelés graphes.

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes : :
\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]
Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement : :
\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par : :
A \times B \times C = \left \
D'après ce qui précède, A x B x C = ( A x B ) x C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est appelé cube cartésien de A et il est noté A3 (lire « A au cube ») : :
A^ = \
Les produits cartésiens furent développés pour la première fois par René Descartes dans le contexte de la géométrie analytique. Si \ _\mathbb R désigne l'ensemble de tous les nombre réels, alors   \ _\mathbb R 2   =   \ _\mathbb R x \ _\mathbb R   représente le plan euclidien et   \ _\mathbb R 3   =   \ _\mathbb R x \ _\mathbb R x \ _\mathbb R   représente l'espace euclidien tri-dimensionnel.

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
- Propriété fondamentale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet : : \forall a_ , \forall a_ , \cdots , \forall a_ , \forall b_ , \forall b_ , \cdots , \forall b_ , :
[\, ( a_ , a_ , \cdots a_ ) = ( b_ , b_ , \cdots b_ ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_ = b_ ) \wedge ( a_ = b_ ) \wedge \cdots ( a_ = b_ ) \,]

- Définition d'un n-uplet : :
\forall a_ , \forall a_ , \cdots \forall a_ , ( a_ , a_ , \cdots a_ , a_ ) = ( ( a_ , a_ , \cdots a_ ) , a_ )

- Produit cartésien de n ensembles : :
A_ \times A_ \times \cdots \times A_ \times A_ = ( A_ \times A_ \times \cdots \times A_ ) \times A_

- Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble : :
A^ = A^ \times A = \prod_^n A = \
Note : Il est possible de définir des produits cartésiens infinis, mais pour le faire, nous avons besoin d'une définition du produit cartésien plus profonde.

Somme disjointe ou cartésienne

Dans une réunion d'ensembles A ∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme   × A  et   × B , où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « Ø » et « » , ou « 0 » et « 1 ». L' union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles est ainsi définie par : :
\forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B )
La notation préfixée « \ _ ( A , B ) » met en évidence que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples, la notion peut s'appliquer aux univers. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés. Plus précisément, si on rencontre un couple dont l'une des composantes est un univers, il s'agit d'un abus d'écriture : le couple est en réalité une somme disjointe. La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles : : \forall A , \forall B , \forall C , :
\dot \cup ( A , B , C ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A , B ) , C ) = ( \ \times A ) \cup ( \ \times B ) \cup ( \ \times C )
Et plus généralement : :
\forall A_1 , \forall A_2 , \cdots \forall A_n , \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ , A_n ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_ ) , A_n )
Cela permet de généraliser l'abus d'écriture précédent : si on rencontre un n-uplet dont l'une des composantes est un univers, il s'agit en réalité d'une somme disjointe de n classes (univers ou ensembles).

Voir aussi


- Mathématiques -- Théorie des ensembles
- Notion d'ensemble
- Sous-ensembles
- Opérations sur les ensembles
- Correspondance et relation Catégorie:Théorie des ensembles ja:直積集合 ko:곱집합

Relation binaire

catégorie:Théorie des ensembles Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est élément de l’ensemble ... » en théorie des ensembles. C’est un cas particulier de relation générale ou correspondance. On retrouve aussi ce concept en théorie des graphes.

Approche expérimentale

De manière informelle, une relation entre deux ensembles est une proposition qui lie certains éléments du premier ensemble avec d’autres éléments du second ensemble. Sur un ensemble F constitué de filles et un ensemble G constitué de garçons, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou une autre relation « Béatrice connaît Paul »... On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles. Dans le cas d’un ensemble fini, on peut alors tenter de représenter la relation par un diagramme: si F = et si G = , la relation aime peut être schématisée par le diagramme suivant : ensemble On pourra déplorer le fait que Delphine n’aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul. On peut aussi tenter de faire la liste des couples ainsi en relation. (pour plus de commodité, on ne conservera que les deux premières lettres du prénom) :G = En mathématique, un « couple » est formé de deux éléments mis entre parenthèses dans un ordre particulier. La relation est définie en première approche comme un ensemble de couples, c’est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l’ensemble relation. Si l’on appelle F l’ensemble des filles, et G l’ensemble des garçons, alors l’ensemble de tous les couples possibles est appelé « produit cartésien de F par G » et est noté F×G et la relation aime est alors définie par l’ensemble E, l’ensemble F et un sous-ensemble de E×F.

Définition formelle

Une relation binaire \mathcal d’un ensemble E vers un ensemble F est définie par une partie \mathcal de E×F. Si (x,y) \in \mathcal on dit que x est en relation avec y et on le note « x\mathcaly ».
- Dans le cas particulier où E = F on dit que \mathcal est une relation binaire définie sur E ou dans E.
- Dans le cas où E = F×F, on parlera de relation ternaire interne sur F.
- Plus généralement, si E = F n - 1, on parlera de relation n-aire sur F. On remarquera qu’il est nécessaire, dans une relation binaire, de préciser l’ensemble E (appelé ensemble de départ), l’ensemble F (appelé ensemble d’arrivée) ET la partie \mathcal de E \times F appelée le graphe de la relation. Une relation binaire peut être considérée comme une fonction de E×F à valeur dans l’ensemble , et qui à un couple ( x , y ) associe Vrai si x est en relation avec y et Faux sinon (indiquant si le couple ( x , y ) est un élément du graphe de la relation ou non).

Composition et inversion

Composition

Si \mathcal est une relation de E dans F et \mathcal de F dans G, on peut définir une relation \mathcal\circ \mathcal de E dans G par : : \mathcal_ = \left\ \, Notation: si \mathcal est une relation sur un ensemble E et n un entier naturel, on note \mathcal^n la composition de \mathcal avec elle-même n fois, avec la convention que \mathcal^0 dénote la relation d’égalité sur E.

Inversion

Si \mathcal est une relation de E sur F, on peut définir une relation de F sur E dite relation inverse ou réciproque, par : : \mathcal_ = \left\ \,. Exemples: : « plus petit que » et « plus grand que » sont des relations inverses l’une de l’autre. : « aime » et « est aimé par » sont aussi inverses l’une de l’autre.

Relation fonctionnelle

Lorsque, pour tout élément x de E, x n’est en relation qu’avec 0 ou 1 élément y de F, on dit que la relation est fonctionnelle. C’est un cas particulier de fonction. En langage formel, la propriété précédente s’écrit : : \forall x \in E, \forall y \in F, \forall z \in F , [ ( x , y ) \in \mathcal_ \and ( x , z ) \in \mathcal_ ] \Rightarrow ( y = z ) \, Pour plus de précisions, voir l'article « Fonction mathématique ». Exemple important : : La diagonale de E est définie par : :: \Delta_E = \left\ \,. : C’est le graphe de la relation d’égalité sur E, notée « =E », ou « = » en l’absence d’ambiguïté sur l’ensemble concerné. : Cette relation est aussi une fonction, l’identité de E, notée « IdE ».

Relation sur (ou dans) un ensemble

Si E = F, on parlera de relation sur (ou dans) E.

Propriétés liées à la réflexivité

Relation réflexive

La relation \mathcal sur E est réflexive ssi tout élément de E est en relation avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall x \in E , x \mathcal x \, Une relation est donc réflexive ssi son graphe contient la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \Delta_E \subseteq \mathcal_ \, En d’autres termes, l’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E est égale à cette diagonale. Exemples:
- la relation d’inclusion entre ensembles est réflexive : tout ensemble est inclus dans lui-même;
- dans un ensemble de nombres, la relation « est un diviseur de » est réflexive : tout nombre est son propre diviseur;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est réflexive... La clôture réflexive, notée « \mathcal^ \, », d’une relation \mathcal sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de \mathcal et de la diagonale de E : : \mathcal_ = \mathcal_ \cup \Delta_E \,

Relation irréflexive

La relation \mathcal sur E est irréflexive ssi tout élément de E n’est pas en relation avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall x \in E , x \not \!\,\mathcal x \, Une relation est donc irréflexive ssi son graphe est disjoint de la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \Delta_E \cap \mathcal_ = \empty \, L’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E se réduit donc à l’ensemble vide. Exemples :
- l’inégalité stricte sur les entiers est un exemple de relation irréflexive : aucun entier n’est strictement inférieur à lui-même;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est irréflexive : personne n’est son propre enfant;
- dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation irréflexive entre ses faces : aucune face n’a qu’un seul côté commun avec elle-même...

Relation aréflexive

La relation \mathcal sur E est aréflexive ssi elle n’est ni réflexive, ni irréflexive. L’intersection de son graphe avec la diagonale de E est donc une partie propre de cette diagonale. Exemple :
- parmi les entiers naturels, la relation « forme un produit pair avec » est aréflexive, puisque 2 est en relation avec lui-même (4 est pair) et 3 ne l’est pas (9 est impair). Remarque : les seules relations à la fois réflexives et irréflexives sont les relations vides. En conséquence, une relation non-vide est :
- soit réflexive
- soit irréflexive
- soit aréflexive

Propriétés liées à la symétrie

Relation symétrique

La relation \mathcal sur E est symétrique ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément est lui aussi en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( y \mathcal x ) \, Une relation est donc symétrique ssi son graphe se confond avec celui de sa relation inverse, c’est-à-dire si : : \mathcal_ = \mathcal_ \, ou encore : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \mathcal_ \,. Exemples :
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est symétrique;
- dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation symétrique entre ses faces : si une face a un côté commun avec une autre face, cette dernière a le même côté commun avec la première face;
- parmi les entiers naturels, la relation « forme un produit pair avec » est symétrique, car la multiplication des entiers est commutative. La clôture symétrique, notée « \mathcal^ \, », d’une relation \mathcal sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de \mathcal et de sa réciproque (ou inverse) : : \mathcal_ = \mathcal_ \cup \mathcal_ \, Cette clôture symétrique est d’ailleurs universelle parmi les relations symétriques contenant \mathcal (ce qui ici, sans entrer dans des considérations catégoriques, signifie que c’est la plus petite!).

Relation antisymétrique

La relation \mathcal sur E est antisymétrique ou faiblement antisymétrique ssi lorsque deux éléments de E sont en relation mutuelle, ils sont en fait confondus, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal x ) ] \Rightarrow ( x = y ) \, Une relation est donc faiblement antisymétrique ssi l'intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est incluse dans la diagonale de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ \subseteq \Delta_E \,. Exemples:
- les relations « plus grand que » et « plus petit que » sur les entiers naturels ou sur les réels.
- la relation « divise » dans l’ensemble des entiers naturels

Relation asymétrique

La relation \mathcal sur E est asymétrique ou fortement antisymétrique ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément n’est pas en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( y \not \!\,\mathcal x ) \, Une relation est donc fortement antisymétrique ssi l’intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est vide, c’est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,. Exemple :
- la relation « est strictement plus grand que » est une relation asymétrique dans l’ensemble des réels.
- dans l’univers des ensembles, la relation « est une partie propre de » est asymétrique;
- dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est asymétrique : personne n’est son propre enfant, ni a fortiori l’enfant de ses enfants... Une relation est fortement antisymétrique ssi elle est faiblement antisymétrique et irréflexive (en d’autres termes, l’asymétrie est un cas particulier d’antisymétrie). Les seules relations symétriques et fortement antisymétriques sont les relations vides.

Relation isolante

La relation \mathcal sur E est isolante ssi tout élément de E ne peut être en relation qu’avec lui-même, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \Rightarrow ( x = y ) \, Une relation est donc isolante ssi son graphe est inclus dans la diagonale de E, c’est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \Delta_E \, Une relation est isolante ssi elle est symétrique et faiblement antisymétrique. Exemples :
- les relations vides sont isolantes;
- l’égalité est une relation isolante...

Relation dissymétrique

La relation \mathcal sur E est dissymétrique ssi elle n’est ni symétrique, ni antisymétrique. L’intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est donc une partie propre de son graphe non contenue dans la diagonale de E. Exemple :
- la relation « divise » dans l’ensemble des entiers relatifs est dissymétrique.

Propriétés liées à la transitivité

Relation transitive

La relation \mathcal sur E est transitive ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément est aussi en relation avec le troisième, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( x \mathcal z ) \, Une relation \mathcal est donc transitive ssi son graphe contient celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \mathcal_ \, Exemple :
- la relation \leq sur les entiers naturels est transitive. On appelle clôture transitive de \mathcal la relation :\bigcup_\mathcal^n elle est universelle parmi les relations transitives contenant \mathcal. Elle est notée « \mathcal^ ».

Relation circulaire

La relation \mathcal sur E est circulaire ssi lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, ce troisième élément est aussi en relation avec le premier, c’est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( z \mathcal x ) \, Une relation \mathcal est donc circulaire ssi le graphe de sa réciproque contient celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \subseteq \mathcal_ \, Exemple :
- dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est circulaire...

Relation antitransitive

La relation \mathcal sur E est antitransitive ssi lorsqu'un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément n'est pas en relation avec le troisième, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( x \not \!\,\mathcal z ) \, Une relation \mathcal est donc antitransitive ssi son graphe est disjoint de celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,

Relation anticirculaire

La relation \mathcal sur E est anticirculaire ssi lorsqu'un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, ce troisième élément n'est pas en relation avec le premier, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal y ) \wedge ( y \mathcal z ) ] \Rightarrow ( z \not \!\,\mathcal x ) \, Une relation \mathcal est donc anticirculaire ssi le graphe de sa réciproque est disjoint de celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cap \mathcal_ = \empty \,

Autres propriétés

Relation connexe

La relation \mathcal sur E est connexe ssi pour toute paire d'éléments distincts de E, elle institue au moins un lien entre les deux éléments considérés, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \vee ( y \mathcal x ) \vee ( x = y ) \, La relation est donc connexe ssi l'union de son graphe, de celui de sa réciproque et de la diagonale de E est égale au carré cartésien de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cup \mathcal_ \cup \Delta_E = E^2 \,

Relation totale

La relation \mathcal sur E est totale ssi pour toute paire d'éléments de E, elle institue au moins un lien entre les deux éléments considérés, c'est-à-dire si : : \forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal y ) \vee ( y \mathcal x ) \, La relation est donc totale ssi l'union de son graphe avec celui de sa réciproque est égale au carré cartésien de E, c'est-à-dire si : : \mathcal_ \cup \mathcal_ = E^2 \, Exemple : la relation \leq sur l'ensemble des réels est une relation totale. Contre-exemple : la relation « divise » sur l'ensemble des entiers naturels n'est pas totale.

Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. C'est une erreur fréquente que de penser que la réflexivité est inutile : une relation transitive et symétrique semble être réflexive. En effet, pour tous x et y , si x\mathcaly alors y\mathcalx (par symétrie) et donc x\mathcalx (par transitivité). Mais la première assertion, x\mathcaly , n'est pas forcément toujours vraie ! Donc la propriété de réflexivité n'est pas une conséquence des deux autres. Le plus parfait exemple de relation d'équivalence, celui qui motive cette définition, est l'égalité. On appelle clôture équivalente de \mathcal, la relation dont le graphe est : : \Delta_E\cup(\mathcal_\cup \mathcal_)^ elle est universelle parmi les relations d’équivalences qui contiennent \mathcal. Pour plus d’information voir l’article « Relation d'équivalence ».

Relation d’ordre

Une relation d’ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique. Ces relations servent à généraliser la notion de « plus grand que ». Tous les éléments ne sont pas forcément comparables par une relation d’ordre; par exemple, dans le plan, si on utilise la relation « loin de l’origine », tous les points sur un même cercle centré sur l’origine sont incomparables. Si la relation est totale alors on dit que l’ordre est total. C’est le cas de la relation « plus grand que » sur les entiers naturels. Plus de détails dans l’article « Relation d'ordre ».

Exemples


- La relation d’appartenance sur E \times \mathcal(E)
- La relation d’inclusion sur \mathcal(E) (relation d’ordre)
- La relation inférieur ou supérieur sur \mathbb (relations d’ordres)
- la relation divise sur \mathbb (relation d’ordre)
- La relation d’égalité (congruencielle ou non) sur E (relation d’équivalence)

Nombre de relations binaires sur des ensembles finis

Considérons un ensemble E fini de cardinal n et un ensemble F fini de cardinal p. Nous pouvons facilement démontrer qu’il y a autant de relations binaires de E sur F que d’applications de E×F dans , ce qui donne 2 np relations. En particulier, si E = F , on trouve 2^ \, relations binaires sur E, dont
- 2^ \, relations réflexives
- 2^ \, relations symétriques
- Pour le nombre de relations transitives, il n’y a toujours pas actuellement de formule « fermée » Le nombre de relations d’équivalence est égal au nombre de partitions d’un ensemble, c’est-à-dire le nombre de Bell.

Voir aussi


- relation d'équivalence
- relation d'ordre
- fonction ja:二項関係

Fonction et application

Mathématiques > Algèbre abstraite > Correspondance et relation > fonction

Présentation

On peut voir une fonction comme une « transformation » d’un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...).

Définition


- Formellement, une fonction f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une correspondance ou relation qui est fonctionnelle; : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   n’apparait au plus qu’une fois. :
- E   est l’ensemble de départ de f ; :
- F   est l’ensemble d’arrivée de f ; :
- et G   est le graphe de f ; G   est noté parfois « Gf » ou « G( f ) » pour préciser de quelle fonction on parle.
- On appelle ensemble de définition de la fonction f   l’ensemble-antécédent de f, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de E   tels qu’il existe un élément y dans F   vérifiant   ( x , y ) ∈ G. L'ensemble de définition de f, noté habituellement « D( f ) » , est un sous-ensemble de E. :Pour tout x de D( f ) , on note « f ( x ) » l’unique élément de F tel que   ( x , f ( x )) ∈ G. :
- Si X et Y sont deux variables, dans Y = f ( X ) , X est une variable indépendante et Y une variable dépendante ( de X ).
- On appelle ensemble-image de f   l’ensemble des éléments y de F   tels qu’il existe un élément x dans E   vérifiant f ( x ) = y. :L’ensemble-image de f, noté « Im( f ) » , est un sous-ensemble de F.
- L’image par f   d’un sous-ensemble E ' de E   est :   f ( E ' ) = . :C’est un sous-ensemble de F , et on a : Im( f ) = f ( E ).
- L’image réciproque ou antécédent par f   d’un sous-ensemble F ' de F   est :   f -1( F ' ) = . :C’est un sous-ensemble de E , et on a : D( f ) = f -1( F ).
- On peut appliquer une fonction f en un point x de son ensemble de définition ; le résultat est noté f ( x ) , et c'est l’unique élément de l’image tel que ( x , f ( x )) ∈ Gf .

Notion d’application

Définition


- Formellement, une application f   d’un ensemble E   dans un ensemble F   est une fonction applicative, c'est-à-dire une correspondance dont tout élément de l'ensemble de départ E   a une et une seule image : : c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G   est un sous-ensemble de E xF   dans lequel chaque élément de E   apparait une et une seule fois.
- C'est aussi une fonction telle que D( f ) = E. triplet

Exemples


- L’identité ou application identique d’un ensemble ( voir ci-contre ) est l’application de cet ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe cet élément et lui seul (son graphe est donc la diagonale de l’ensemble).
- Si E et F sont des ensembles non vides, et si b est un élément de F , on peut définir l’application constante de valeur b , de E dans F , qui à tout élément associe b (son graphe est donc ).

Restriction d’une fonction

Soit une fonction f d’un ensemble E dans un ensemble F. Si E ' est un sous-ensemble de E , on appelle restriction de f à E '   la fonction notée « f |E ' » de E ' dans F dont le graphe est : : G( f |E ' ) = Remarque : la condition   y = f ( x )   ci-dessus implique que x appartient à D( f ) et que y appartient à Im( f ).

Composition de fonctions

Définition

La composition de deux fonctions permet d’obtenir une troisième fonction, en « appliquant » la deuxième fonction au résultat de la première. Soient deux fonctions :   f : E → F   et   g : F → G   ; leur fonction composée g o f   a pour graphe: : G_ = \left\ \, (c’est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!) En particulier, si x est dans l’ensemble de définition de g o f , on a : g o f ( x ) = g [ f ( x )]. Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et que la composée de deux fonctions est une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine de définition vide!

Théorèmes de monotonie

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante. La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Injectivité et surjectivité


- Une fonction f est dite injective ( ou que c'est une injection, s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall x \in E , \forall y \in E , [ f ( x ) = f ( y ) ] \Rightarrow [ x = y ] \,. : Cela signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition. : La composée de deux injections est une injection et, inversement, si g o f   est une injection, alors f   est une injection.
- Une fonction f est dite surjective ( ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application ) lorsque : : \forall y \in F , \exists x \in E /\, f ( x ) = y . : En d'autres termes, f est surjective ssi l'image de f est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ. : La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si g o f   est une surjection, alors g   est une surjection.
- Une application est dite bijective ( ou que c'est une bijection ) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Bien sûr, les applications ne sont pas toutes des bijections ! : La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Réciproque d'une fonction


- La correspondance réciproque d’une fonction f est une fonction ssi f est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective. La notation habituelle pour cette fonction réciproque est « f -1 » , mais elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse de f, 1 / f , qui peut aussi se noter « f -1 » , et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.
- De manière analogue, la correspondance réciproque d’une application f est une application ssi f est bijective, et cette application réciproque est elle-même une bijection.

Décomposition canonique

On appelle relation binaire associée canoniquement à la fonction f   la correspondance f -1 o f   définie dans E par : : « x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f » Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si f est une application ( voir l'article « Opération sur des correspondances » ). Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient E / ( f -1 o f   ) et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x   de E   sa classe d'équivalence par f -1 o f  , qui n'est autre que f -1 ( ), ensemble des antécédents de f ( x ). Considérons alors la correspondance i de E / ( f -1 o f   ) dans F définie par : : « A est en relation avec y ssi A est l'ensemble des antécédents de y par f -1 o f   » Cette correspondance est une injection, l' injection canonique associée à l'application f. On montre aisément que : f = i o s. En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :
- la surjection s est une bijection ssi f est une injection, c'est-à-dire si f -1 o f = Id E .
- l'injection i est une bijection ssi f est une surjection, c'est-à-dire si f o f -1 = Id F . Ce qui précède peut être étendue à une fonction quelconque, à condition de « compléter » le graphe de f -1 o f   par la diagonale de E, de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que i n'est plus qu'une fonction. En résumé : Toute fonction peut être décomposée de façon unique en une surjection et une fonction injective.
Cette décomposition est la décomposition canonique de la fonction.

Parité d’une fonction réelle

Article détaillé : Parité d'une fonction réelle Une fonction f : E\to F, avec E\subseteq\R et F\subseteq\R,  est  :
- paire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(x) = f(-x). Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.

- impaire si et seulement si pour tout \ x de \ E, on a -x\in E et \ f(-x) = -f(x). Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Voir aussi

Articles connexes


- Étude de fonction Catégorie:Mathématiques
- Catégorie:Théorie des ensembles ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Relation ternaire interne

Une relation ternaire interne dans un ensemble associe des éléments de cet ensemble à des couples formés d’éléments de ce même ensemble. = Définitions = Formellement, une relation ternaire interne est une correspondance dont l’ensemble de départ est le carré cartésien de l’ensemble d’arrivée. En d’autres termes, une relation ternaire interne \mathfrak \, dans un ensemble E est la somme disjointe de trois ensembles :
- un ensemble de départ, E×E ;
- un ensemble d’arrivée, E ;
- et un graphe G, inclus dans E 3, donc formé de triplets d’éléments de E. Si x, y et z sont trois éléments de E , nous pouvons écrire que z est image par \mathfrak \, du couple ( x , y ) de plusieurs manières :
- ( x , y , z ) ∈ G   (notation ensembliste)
- ( x , y , z ) \mathfrak   (notation relationnelle postfixée)
- \mathfrak( x , y , z )   (notation relationnelle préfixée)
- ( x , y ) \mathfrak \, z   (notation relationnelle infixée) Nous utiliserons dans la suite cette dernière notation. Cas particuliers :
- Une opération interne est une relation ternaire interne qui est aussi une fonction.
- Une loi de composition interne est une relation ternaire interne qui est aussi une application. = Exemples =
- La relation d'équidistance dans un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance d : ::Un point A est équidistant de deux points B et C ssi d ( A , B ) = d ( A , C ) : Ce n'est ni une opération, ni une loi de composition interne.
- L' exponentiation Exp définie par :   [ ( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x y ]   : C'est une opération interne dans \mathbb \, , à condition de donner un sens unique à x y quand il y a ambiguïté; ce n'est pas une loi interne dans \mathbb \, : par exemple, ( - 1 ) 1 / 2 n'a pas de sens dans \mathbb \, .
- La différence de deux ensembles Diff :   [ ( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ] . : C'est une loi interne dans l'univers des ensembles, ou dans l'ensemble des parties d'un ensemble.
- Parmi les êtres humains, la relation « sont respectivement père et mère de » n'est ni une opération, ni une loi interne : un couple peut être sans enfants ou en avoir plusieurs.
- Les quatre « opérations » de notre enfance (addition, soustraction, multiplication et division) sont bien des opérations car leur résultat, quand il est défini, l'est toujours sans ambiguïté. = Propriétés = Soit un ensemble E muni d’une relation ternaire interne \mathfrak \,. Remarques :
- Les propriétés suivantes s’appliquent évidemment aussi aux lois de composition internes, mais sous une forme simplifiée par l'emploi d'une notation fonctionnelle (z = f ( x, y ) ou z = x
- \, y ).
- Attention : un couple peut très bien avoir plusieurs images par \mathfrak \,.
- La liste de propriétés qui suit n’est pas exhaustive.

Existence d’éléments remarquables


- \mathfrak \, est idempotente si et seulement si tout élément x de E est image par \mathfrak \, du couple ( x , x ) : ou : : \forall\, x \in E , ( x , x ) \,\mathfrak \, x \,
- \mathfrak \, est dévolutive si et seulement s’il existe un élément de E image par \mathfrak \, de tout couple de la diagonale de E : ou : : \exists\ d \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , x ) \,\mathfrak \, d \,
- \mathfrak \, est unifère à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante a pour image par \mathfrak \, sa seconde composante : ou : : \exists\ e \in E /\ \forall\, x \in E , ( e , x ) \,\mathfrak \, x \,
- \mathfrak \, est unifère à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante a pour image par \mathfrak \, sa première composante : ou : : \exists\ e \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , e ) \,\mathfrak \, x \,
- \mathfrak \, est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et à droite avec le même élément neutre.
- \mathfrak \, est absorbante à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante l’a pour image par \mathfrak \, : ou : : \exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( a , x ) \,\mathfrak \, a \,
- \mathfrak \, est absorbante à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante l’a pour image par \mathfrak \, : ou : : \exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , a ) \,\mathfrak \, a \,
- \mathfrak \, est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et à droite avec le même élément absorbant.
- \mathfrak \, est involutive à gauche si et seulement si elle est dévolutive et unifère à gauche avec l’élément dévolutif pour élément neutre.
- \mathfrak \, est involutive à droite si et seulement si elle est dévolutive et unifère à droite avec l’élément dévolutif pour élément neutre.
- \mathfrak \, est involutive si et seulement si elle est involutive à gauche et à droite avec le même élément involutif.
- \mathfrak \, est nilpotente à gauche si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à gauche avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.
- \mathfrak \, est nilpotente à droite si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à droite avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.
- \mathfrak \, est nilpotente si et seulement si elle est nilpotente à gauche et à droite avec le même élément nilpotent.

Régularité et propriétés apparentées


- \mathfrak \, est régulière à gauche si et seulement si pour toute paire de couples d’éléments de E de même première composante, les deux couples n’ont pas d’image commune par \mathfrak \, : ou : : \forall ( x , y , z , t ) \in E^ , [ ( x , z ) \mathfrak \, t \wedge ( x , y ) \mathfrak \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,
- \mathfrak \, est régulière à droite si et seulement si pour toute paire de couples d'éléments de E de même seconde composante, les deux couples n'ont pas d'image commune par \mathfrak \, : ou : : \forall ( x , y , z , t ) \in E^ , [ ( x , z ) \mathfrak \, t \wedge ( y , z ) \mathfrak \, t ] \Rightarrow [ x = y ] \,
- \mathfrak \, est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et à droite.
- \mathfrak \, est antirégulière si et seulement si pour toute paire de couples d'éléments de E dont la première composante de l'un est égale à la seconde composante de l'autre, les deux couples n'ont pas d'image commune par \mathfrak \, : ou : : \forall ( x , y , z , t ) \in E^ , [ ( x , z ) \mathfrak \, t \wedge ( y , x ) \mathfrak \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,

Associativité et propriétés analogues


- \mathfrak \, est associative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : : \forall ( u , v , w , x , y , z ) \in E^ , [ ( x , y ) \mathfrak \, u \wedge ( u , z ) \mathfrak \, w \wedge ( y , z ) \mathfrak \, v ] \Rightarrow [ ( x , v ) \mathfrak \, w ] \,
- \mathfrak \, est associative des puissances si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : : \forall ( x , y , z ) \in E^ , [ ( x , x ) \mathfrak \, y \wedge ( x , y ) \mathfrak \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak \, z ] \,
- \mathfrak \, est permutative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : : \forall ( r , s , t , u , v , w , x , y , z ) \in E^ , \, :: [ ( x , y ) \mathfrak \, z \wedge ( u , v ) \mathfrak \, w \wedge ( x , u ) \mathfrak \, r \wedge ( y , v ) \mathfrak \, s \wedge ( z , w ) \mathfrak \, t ] \Rightarrow [ ( r , s ) \mathfrak \, t ] \,

Autres propriétés


- \mathfrak \, est commutative si et seulement si toute image par \mathfrak \, d'un couple est aussi image du couple réciproque : ou : : \forall ( x , y , z ) \in E^ , [ ( x , y ) \mathfrak \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak \, z ] \, = Relation ternaire opposée =

Définition et exemples

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire interne \mathfrak \,. La relation ternaire opposée à \mathfrak \, est la relation ternaire interne notée « - \mathfrak \, » , et définie par : : \forall ( x , y , z ) \in E^ , [ ( x , y ) (-\mathfrak) \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , x ) \mathfrak \, z ] \, Par exemple, la relation opposée à l' exponentiation Exp définie par :   [ ( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x y ]   est la relation z = y x . Un autre exemple est la différence de deux ensembles Diff :   [ ( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ] .
Sa relation opposée est définie par [ ( A , B ) (-Diff) C ] ⇔ [ C = B \ A ]. Ou encore, parmi les êtres humains, la relation « sont respectivement père et mère de » a pour opposée la relation « sont respectivement mère et père de ».

Propriétés


- Chaque relation ternaire interne a une relation opposée et une seule.
- Toute relation ternaire est l'opposée de son opposée.
- L'opposée d'une relation ternaire est une opération si et seulement si cette relation est une opération.
- L'opposée d'une relation ternaire est une loi de composition si et seulement si cette relation est une loi de composition.
- Une relation ternaire se confond avec son opposée si et seulement si elle est commutative. = Relations ternaires inverses =

Définitions et exemples

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire interne \mathfrak \,. La relation ternaire inverse à gauche ( ou RTIG) de la relation \mathfrak \, est la relation ternaire interne notée « \lceil \mathfrak \, » , et définie par : : \forall ( x , y , z ) \in E^ , [ ( x , y ) \lceil \mathfrak \, z ] \Leftrightarrow [ ( z , y ) \mathfrak \, x ] \, La relation ternaire inverse à droite ( ou RTID) de la relation \mathfrak \, est la relation ternaire interne notée « \mathfrak \rceil \, » ou « \rceil \mathfrak \, », et définie par : : \forall ( x , y , z ) \in E^ , [ ( x , y ) \mathfrak \rceil \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , z ) \mathfrak \, x ] \, Pour clarifier ces notions reprenons l'exemple de l'exponentiation Exp.
- Sa RTIG est définie par : z = x 1/y ; autrement dit, c'est la racine y-ième de x;
- Sa RTID est définie par : z = log y x ; autrement dit, c'est le logarithme en base y de x. Si \mathfrak \, est commutative, sa RTIG et sa RTID se confondent en une seule relation ternaire inverse (RTI) notée « \bar \mathfrak \, ». Exemples :
- la soustraction est la RTI de l'addition;
- la division est la RTI de la multiplication; Ces exemples montrent qu'en général les RTI ne sont pas commutatives; sauf exception, elles n'ont donc pas elles-mêmes de RTI, seulement une RTIG et une RTID distinctes, la RTIG n'étant autre que la relation ternaire initiale, et la RTID l'opposée de la RTI. Ainsi, la soustraction, non commutative, a pour RTIG l'addition et pour RTID la relation opposée à la soustraction. Cette dernière, par ailleurs, a pour RTID l'addition et pour RTIG la soustraction.

Propriétés


- Toute relation ternaire interne est la RTIG de sa RTIG, et la RTID de la RTID de sa RTID.
- La RTIG de l'opposée d'une relation ternaire est la RTID de cette dernière.
- La RTID de l'opposée d'une relation ternaire est la RTIG de cette dernière.
- La RTID de la RTIG d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTID.
- La RTID de la RTID d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTIG. Dans les propriétés précédentes, des symétries apparaissent. Plus précisément, il est possible d'importer sur l'ensemble \ \, la structure du groupe des permutations à 3 éléments ( \mathfrak \, joue alors le rôle de l'élément neutre ).
- \mathfrak \, est régulière à gauche si et seulement si sa RTIG est une opération interne.
- \mathfrak \, est régulière à droite si et seulement si sa RTID est une opération interne.
- Si \mathfrak \, est commutative, alors elle est régulière si et seulement si sa RTI est une opération interne.
- Si \mathfrak \, est commutative, unifère et inversible, alors sa RTI est une loi de composition interne.
- \mathfrak \, est dévolutive si et seulement si sa RTIG est unifère à gauche , et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID l'est aussi.
- \mathfrak \, est unifère à gauche si et seulement si sa RTIG est dévolutive, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est unifère à droite.
- \mathfrak \, est unifère à droite si et seulement si sa RTIG est unifère à droite, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est dévolutive.
- Si \mathfrak \, est commutative, alors elle est unifère si et seulement si sa RTI est dévolutive et unifère à droite, c'est-à-dire involutive à droite.
- \mathfrak \, est permutative si et seulement si sa RTIG l'est aussi, et cette RTIG est permutative si et seulement si la RTID l'est aussi. Exemples :
- ( \mathbb \,, + ) est un semigroupe; par conséquent, la soustraction est dans \mathbb \, une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0;
- de même, ( \mathbb
- , x ) est un semigroupe, d'où la division dans \mathbb
- est une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1;
- ( \mathbb \,, + ) est un groupe abélien; par conséquent, la soustraction est dans \mathbb \, une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0, c'est-à-dire que ( \mathbb \,, - ) est un antigroupe;
- de même, ( \mathbb
- , x ) est un groupe abélien, d'où la division dans \mathbb
- est une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1, c'est-à-dire que ( \mathbb \,
- , / ) est aussi un antigroupe. = Voir aussi =
- Loi de composition interne
- Structure algébrique Catégorie:mathématiques

Loi de composition

En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F. Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les axiomes de la structure de E.

Notion de loi

Une loi (de composition)
- : E × F → G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x , y ) de E × F, un élément de G noté habituellement « x
- y » (au lieu de la notation fonctionnelle «
- ( x , y ) ») et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y. x et y sont parfois qualifiés d’opérandes, car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération. G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :
- si E = F = G, la loi
- : E × E → E est appelée loi de composition interne dans E;
- si E ≠ F et G = F, la loi
- : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
- si E ≠ F et G = E, la loi
- : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.

Remarque

Il existe plusieurs notations pour les lois :
- la plus courante est la notation infixe; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs : : x
- y \,
- une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis : : x y \,
- la notation préfixe, ou polonaise, se passe de parenthèses : :
- x y \,, parfois
- x , y \,
- la notation suffixe, ou polonaise inverse, se passe aussi de parenthèses : : x y
- \,, parfois x , y
- \,

Exemples


- Un produit scalaire sur un \mathbb-espace vectoriel E est une loi de E× E dans \mathbb.
- l’exponentiation entière des réels est une loi de \mathbb\times \mathbb dans \mathbb;
- les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division; attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n’est pas une loi de composition dans \mathbb \,;
- un exemple de multiplication externe est la multiplication d’un vecteur par un scalaire en algèbre linéaire.

Lois internes

Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre abstraite; elles font partie des groupes, des monoïdes, des semi-groupes, des anneaux, etc. La structure générale de magma est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l’addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives. Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).

Lois externes

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F → F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.

Voir aussi


- Loi de composition interne
- Loi de composition externe
- Structure algébrique
- Algèbre abstraite catégorie:Algèbre Composition

Loi de composition interne

L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces opérations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des opérations en cause. Parmi les opérations étudiées, les lois de composition interne occupent une place privilégiée.

Présentation

On nomme loi de composition interne dans un ensemble une opération qui prend deux éléments de l’ensemble pour donner un résultat dans ce même ensemble. Ainsi, l’addition ou la multiplication sont des lois de composition interne. Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l’opération doit être définie partout). Ainsi :
- la division n’est pas une loi de composition interne, parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens.
- la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
  - s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels , ce n’en est pas une, puisque « 3 - 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
  - si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs , alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

Exemple

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
- zéro est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5   , et   0 + 8 = 8   ;
- pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre, zéro. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi :   3 + (-3) = 0   ;
- on peut échanger les deux éléments autour du signe « + » :   3 + 5 = 5 + 3 = 8   . On dit que l’opération est commutative ;
- on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux manières :
  - en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au résultat,
  - ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9   . :Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)   . On dit que l’opération est associative. Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
- le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
- le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
- on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité. L’en